基于Udwadia-Kalaba理論的自動離合器位置跟蹤控制?

張 琰，趙 韓，黃 康，姜建滿

(1.合肥工業大學機械工程學院，合肥 230009； 2.安徽江淮汽車集團股份有限公司，合肥 230009)

前言

對于具有相互約束的復雜機械系統如何進行動力學的建模是分析動力學研究領域的重點和難點之一。自Lagrange建立分析力學以來，眾多的數學家和物理學家在這一領域都做出了重要的貢獻。如Maggi方程、Boltzmann-Hamel方程、Gibbs-Appell方程、Udwadia-Kalaba方程等，但以上大多數研究中都是基于達朗貝爾(d’Alembert)原理和虛位移原理。針對約束系統，可以利用拉格朗日(Lagrange)乘子進行約束力的有效計算，但在實際應用中有一定的困難，尤其是針對復雜的多自由度機械系統。文獻[1]～文獻[4]中提出了Udwadia-Kalaba方程，此方法可在不出現Lagrange乘子的條件下，相對簡單地求出完整約束和非完整約束狀態下的系統運動方程，并給出解析解，成為分析動力學領域里的一項重大突破。

基于Udwadia-Kalaba方程的約束控制是目前伺服約束控制中較為前沿的研究方向之一。Udwadia首先應用伺服約束的控制方法對非線性機械系統的軌跡進行跟蹤控制，并進行了初步的研究[5]。與傳統的非線性機械系統的控制相比，該伺服控制的方法在不增加運算的基礎上，實現了對機械系統軌跡的精確跟蹤控制。利用Udwadia等的研究成果，文獻[6]～文獻[10]中較為詳細地提出了機械系統伺服約束控制的概念和如何利用伺服控制來實現約束力的設計。在利用Udwadia-Kalaba方程對不確定系統的自適應魯棒控制方面，文獻[11]～文獻[13]中也進行了深入研究。文獻[14]中在Udwadia-Kalaba方程基礎之上，對完整和非完整約束狀態下非線性機械系統的控制進行了深入地研究，并提出一種狀態反饋控制器。

針對離合器位置跟蹤控制，目前已有很多先進的控制方法，文獻[15]和文獻[16]中提出了反饋線性化的方法，將非線性問題轉化為線性控制問題，再根據線性控制理論進行控制器的設計。但是該方法是建立在系統的數學模型基礎之上，當系統的參數發生變化后，該方法的控制效果將變差。文獻[17]和文獻[18]中給出了滑模變結構的控制方法，根據系統狀態偏離滑模切換面的程度來切換控制器的控制參數或結構，進而使系統按照切換面確定的規律運動，該控制具有較好的魯棒性。但實際系統中存在著慣性、固定空間滯后和狀態測量誤差，這些現象會導致高頻抖振的發生，這種抖振將會使離合器的跟蹤控制效果變差[19-20]。由于離合器在起步、換擋時的接合時間很短(大約0.7～2s)，采用較復雜的控制方法在短時間內完成系統的辨識和矯正不太合適，因此必須采用簡單且魯棒性較好的控制算法。

本文中將離合器的接合規律視為系統的約束，用伺服控制的方式來施加約束力，并利用Udwadia-Kalaba方程來分析求解約束力。建立電流-位置雙閉環控制系統來實現離合器位置的精確跟蹤控制，通過試驗與傳統的控制方法對比控制效果。

1 約束機械系統的動力學模型

1.1 約束機械系統

對于某機械系統，取狀態變量的廣義坐標表述為q＝[q1，q2，…，qn]T，其系統動能為

式中：M(q，t)＝MT(q，t)為n×n維對稱且正定的質量矩陣；N(q，t) ∈R1×n且P(q，t) ∈R。

該系統不受外界約束時，其運動方程為

將式(1)代入式(2)得非約束系統的運動方程為

其中

此處，可視為該非約束機械系統所受的合外力。

假設該機械系統受到一組約束：

式中：A li(q，t)和A l(q，t)都為n×1維列矩陣，式中表示的約束可以是完整約束、非完整約束、定常約束和非定常約束等。式(3)的Pfaffian形式為

假設虛位移為δq∈Rn，則

上述約束寫成矩陣的形式為

其中：A＝[A li]m×n；b＝[b1b2…bm]T

該“約束機械系統”的動力學方程為

式中：可視為由外加約束所造成的約束力。

拉格朗日力學中，用Lagrange乘子表述約束時最常見的系統建模法。該法中，約束力表述為

式中λ∈Rm為Lagrange乘子。因而式(5)可表述為

式(3)和式(6)聯立可解出系統的廣義加速度q¨∈Rm和Lagrange乘子λ∈Rn，但這些解一般不能以解析解的形式給出。因此，Lagrange的建模方法不能用于通用的系統特性分析(如穩定性和收斂性等)和控制系統的設計[4]。

1.2 Udwadia-Kalaba理論

假設在約束條件式(4)下，有一組n維向量v為系統某瞬時位移，則

Av＝0

令v＝M-1/2u，B＝AM-1/2則有

Bu＝0

式中：u為n維非零向量，B為約束矩陣。

令為n維列矩陣，由式(4)計算得

式中：y為任意n維向量；I為單位矩陣。

由于約束力在虛位移上所做的功之和為零，則

由以上定義，

將式(7)帶入式(8)得

因為Bu＝0，uTBT＝0，根據Moore-Penrose廣義逆矩陣的性質可知，uTB+＝0，故式(9)可簡化為

將式(10)代入式(7)得

由定義得

將上式兩邊同時乘以M，并代入B＝AM-1/2得

式(12)被稱為Udwadia-Kalaba動力學方程[21]，于是，受約束機械系統所受約束力為

2 離合器位置跟蹤控制

2.1 離合器接合過程的動力學模型

離合器及其執行機構的簡圖如圖1所示。其中，膜片彈簧簡化成杠桿、彈簧和阻尼系統。膜片彈簧小端連接分離軸承，其小端位移λ2等于分離軸承的軸向位移，膜片彈簧大端連接壓盤，其大端位移λ1等于壓盤的軸向位移。

圖2為膜片彈簧的載荷-變形特性曲線。由離合器接合過程和膜片彈簧工作狀態分析可知，離合器的接合可以分為以下3個階段。

(1)空行程階段

圖1 離合器及其執行機構結構簡圖

圖2 膜片彈簧的載荷 變形特性

從分離狀態到接合開始時，膜片彈簧小端處于最大位移處，分離指小端施加的載荷F2從最大值開始逐漸減小，此時，膜片大端尚未與壓盤接觸，膜片彈簧大端載荷F1＝0，即空行程階段。此時，膜片彈簧特性取F2＝f(λ2f)特性階段的c2b2，即分離軸承小端的載荷位移關系為

式中：R為膜片彈簧外徑；ri為膜片彈簧內半徑；rf為膜片彈簧承載半徑；r0為膜片彈簧小端半徑；L為膜片彈簧外承載半徑；l為膜片彈簧內承載半徑；E為膜片彈簧彈性模量；μ為膜片彈簧泊松比；h為膜片彈簧內錐高；t為膜片彈簧板厚。

(2)滑摩階段

隨著膜片彈簧小端位移的減小，大端碟簧部分開始接觸壓盤，由于碟簧部分為剛性，因此大端的變形量保持不變。大端與壓盤之間的載荷F1從零開始增大(大端載荷特性曲線為O2b1段)，直到離合器從動盤與飛輪轉速同步。同時，分離指小端施加的載荷F2繼續減小，由膜片彈簧特性分析可知，該階段小端載荷線性減小至零(小端特性曲線為b2O2段)，即分離軸承小端的載荷位移關系為

其中

(3)同步階段

從離合器從動盤與飛輪同步開始，至離合器傳遞轉矩不再增長為同步階段，離合器大端恢復至預壓緊狀態(點a1)。大端載荷變化為b1a1段，小端在該階段沒有載荷。

分離軸承的受力分析如圖3所示，撥叉對分離軸承的軸向壓力為Qc，即理想的約束力，膜片彈簧對分離軸承的軸向壓力為F′2，跟膜片彈簧小端的軸向載荷F2為作用力和反作用力，即無外在約束(理想控制力)時，由于彈性恢復力，膜片彈簧仍能夠恢復到初始狀態，其載荷和變形關系為式(14)。分離軸承的運動方程為

圖3 分離軸承受力分析

2.2 Udwadia-Kalaba理論在離合器位置控制中的應用

離合器執行機構的原理框圖如圖4所示。速度環需要使用光電編碼器，由于汽車機艙的工作環境比較惡劣，光電編碼器對環境要求較高，考慮成本和可靠性等因素，本文中只使用電流-位置雙閉環控制系統。電流控制器采用PID控制，輸出為電機PWM值。位置控制器采用上節闡述的Udwadia-Kalaba控制方法。

圖4 自動離合器位置跟蹤控制原理圖

將相關參數代入式(5)得

空行程階段：

滑摩階段：

分離軸承的約束為文獻[21]中離合器的接合規律，將該控制規律進行最小二乘法曲線擬合：

對上式約束求時間的2階導數，并代入式(4)得

根據式(12)，該分離軸承的運動方程為

代入以上各參數，對空行程階段和滑摩階段分別進行詳細解析。

3 離合器跟蹤控制試驗

本文中研究的自動離合器執行機構采用電磁閥—液壓式如圖5所示，它結構簡單，控制精度高，空間布置方便，主要由液壓泵、高速開關閥等部件組成。它利用PWM信號控制高速開關閥的通斷時刻，直接控制離合器工作油缸的充放油速度，從而實現離合器的分離和接合。由圖5可知，離合器接合位置為分離軸承的軸向位移，即膜片彈簧小端的軸向位移xc＝λ2。位移傳感器檢測分離油缸內活塞的實時位移xp，經分離撥叉機構的幾何關系可折合到分離軸承處的軸向位移，即滿足關系式xp＝f(xc)。

圖5 自動離合器執行機構的工作原理圖

3.1 臺架試驗

離合器位置跟蹤控制試驗在AMT試驗臺架上進行，離合器當前接合位置由位置傳感器進行檢測。目前采用較多的是“快—慢—快”的離合器接合規律[22]，如圖6所示。AB段為空行程階段，此時沒有轉矩的傳遞，為減少動力中斷時間，減小沖擊感，應盡快接合離合器；BC段為滑摩階段，該階段應調整離合器的接合速度，不宜過快以滿足換擋舒適性，又不宜過慢以免增大離合器的磨損；CD段為同步階段，為縮短換擋時間應以最大接合速度接合離合器。

本文中采用馬瑞利某款離合器，后備系數為1.5，平均壓力為0.3MPa，摩擦片外徑為250mm，內徑為155mm，厚度為3.5mm。本文中采取的A/D轉換器的分辨率為10bit，離合器的總行程為45mm。AMT試驗臺架如圖7所示，主要由AMT控制系統和試驗設備構成，試驗設備主要有電動機、轉矩儀、AMT系統(帶有離合器總成)、增速器、換向器、電渦流測功機和慣性飛輪組。

圖6 自動離合器的接合規律曲線

圖7 AMT試驗臺架布置示意

車輛行駛過程中受到各種阻力，經過換算求出變速器輸出軸上的阻力矩，由試驗臺架通過電渦流測功機對增速器的輸出軸進行加載來模擬。在給定試驗工況下，經換算求出測功機上的加載轉矩

Tdm(t)為

式中：ird為變速器輸出軸到車輪的傳動比；irg為臺架試驗上變速器輸出軸到測功機的傳動比；ηrd為變速器輸出軸到車輪的傳動效率；ηrg為臺架試驗上變速器輸出軸到測功機的傳動效率。

車輛的加速阻力在臺架試驗上通過對慣性飛輪組加載來模擬，包括平移質量和旋轉質量兩部分，由于旋轉質量系數較難獲得，因此，此處采取能量等效的原理，將平移質量換算成轉動慣量，慣性飛輪組的轉動慣量Jrg為

式中：M車為整車質量為車輪半徑；I車輪為所有車輪轉動慣量的總和。

在試驗臺上模擬車輛在平直的干燥瀝青路面上縮短均勻加速，實際操作為節氣門開度均勻變化，在換擋過程中節氣門關閉。根據以上行駛工況，節氣門開度的變化率反映了駕駛員的操作意圖，電渦流測功機根據式(16)模擬道路情況，慣性飛輪組根據式(17)來模擬加速阻力。根據節氣門開度和道路負載對試驗臺控制系統進行初始化，通過調節節氣門開度的變化和電渦流測功機的勵磁電流來達到不同的控制要求，試驗參數如表1所示。

表1 臺架試驗參數

為驗證本文中提出的基于Udwadia-Kalaba理論的離合器位置跟蹤控制性能，分別進行了基于Udwadia-Kalaba理論的控制和常規PID控制的試驗。通過對比，取2擋升3擋的部分離合器位置跟蹤試驗曲線結果圖進行說明。圖8(a)和圖8(b)為采取常規PID控制的離合器位置跟蹤結果曲線，圖8(c)和圖8(d)為采取U-K控制的離合器位置跟蹤結果曲線。

圖8 常規PID控制和U-K控制離合器位置跟蹤曲線和誤差

圖8(a)和圖8(c)中的曲線1表示離合器目標接合位置曲線，曲線2表示不同控制策略下離合器的實際接合位置曲線。由圖可見，常規PID控制下，離合器接合過程反應較慢出現比較嚴重的滯后和超調，大的超調意味著更大的接合速度，導致車輛在換擋過程中出現較大的沖擊，使離合器磨損加劇，壽命縮短。通過對比誤差曲線，可以明顯看出，U-K控制方法的跟蹤誤差最大值比常規PID控制的最大誤差減小62.5%左右，且振蕩幅度明顯減小，顯示出優越的動態控制性能。從圖中還可以看出，最大誤差出現在速度改變最大時，這是由于系統慣性引起的，無法消除，只能通過一定的手段來減小。

3.2 實車試驗

為進一步驗證本文中提出的離合器跟蹤控制方法的效果，在實車上分別進行了不同擋位的升擋和降擋試驗，圖9為試驗樣車系統框架圖，表2為AMT試驗樣車的主要參數表。

圖9 試驗樣車系統框架圖

表2 AMT試驗樣車主要參數

在良好的瀝青路面進行整車換擋試驗，原地起步，逐漸從1擋連續換擋至5擋，然后松開加速踏板，逐漸從5擋降至1擋。在換擋試驗過程中，當車輛達到換擋車速時，節氣門開度迅速減小至零，離合器開始分離，離合器控制系統發出退擋、選擋和換擋的控制指令給執行機構，操縱執行機構進行相應動作，然后離合器進行接合，同時節氣門開度根據TCU的控制策略逐漸恢復至目標開度，完成換擋過程。圖10(a)和圖10(b)分別示出了1擋升2擋的仿真和實車試驗的對比結果，實車試驗位置跟蹤誤差的最大值為1.22mm，而仿真的位置跟蹤誤差的最大值為0.85mm。試驗時由于存在諸多的外界干擾，加上所建模型也存在一定的簡化，使仿真結果與試驗結果存在一定的偏差，但從圖中曲線可以看出兩種結果基本吻合，進一步驗證了本文中所設計的離合器接合位置跟蹤控制方法的可行性。圖11和圖12分別為升擋和降擋過程離合器位置跟蹤和誤差曲線。

圖10 1擋-2擋試驗對比曲線

由圖11可見，離合器位置跟蹤誤差最大值分別為1.71，1.65和1.95mm，離合器最大行程為45mm，故位置誤差百分比為3.8%，3.67%和4.33%，滿足一般跟蹤誤差在5%以內的精度要求。由圖12可見，離合器位置跟蹤誤差最大值分別為2.08，2.15和2.14mm，位置誤差百分比分別為4.62%，4.78%和4.76%，也都滿足誤差在5%以內的精度要求。可以看出，本文中提出的關于離合器位置跟蹤控制的Udwadia-Kalaba方法在實車試驗上得到了較好的驗證。在換擋試驗中，由于系統存在慣性，離合器位置跟蹤有一定的滯后，誤差最大值出現在速度改變方向的時段。升擋和降擋過程中，離合器的實際位置都能較好地跟蹤目標位置，說明基于U-K理論的跟蹤控制系統具有較好的自適應性和魯棒性。

圖11 升擋位置跟蹤和跟蹤誤差曲線

圖12 降擋位置跟蹤和跟蹤誤差曲線

4 結論

AMT自動離合器位置控制是一個模型較為復雜的非線性系統，本文中運用目前較為前沿的基于Udwadia-Kalaba方程的伺服約束控制對離合器位置跟蹤進行控制。設計電流-位置雙閉環控制系統將離合器接合規律視為一種約束，為滿足該約束要求給系統施加一定的伺服約束力，利用Udwadia-Kalaba方程對伺服約束力進行求解。分別進行了臺架和實車試驗，結果表明，此控制器具有較好的魯棒性和動態控制性能，基于Udwadia-Kalaba理論的離合器位置跟蹤控制能較好地實現離合器位置的準確跟蹤。

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