非參數部分帶測量誤差的部分線性模型估計

孫 燕，胡美娣

（上海財經大學a.經濟學院；b.數理經濟學教育部重點實驗室，上海 200434）

0 引言

許多個體和企業的決策需要基于相關經濟理論揭示其經濟關系與經濟活動的數量規律，而經濟理論涉及的很多變量往往是無法直接觀測到的，如永久收入、效用、能力和預期等。在永久收入假說中，可假定記錄的某個個體收入是從某個潛在的、期望為“永久性收入”的收入總體中取出的一個樣本，因此用記錄的收入來測度永久性收入存在著測量誤差。微觀調查數據也往往存在著上面提到的“誤差”[1]，故隨著基于微觀調查數據的研究的急劇增加，能處理測量誤差的計量方法變得越來越重要。這是因為忽略測量誤差很可能會產生內生性問題，導致模型參數估計的非一致性[2]，從而很可能會掩蓋變量之間的真實關系，由此得到的推斷也是不正確的。如在多數商品消費研究中發現的“increasing dispersion”現象[3]，即隨著總消費X的增加，某商品消費Y的波動幅度增大（Var(Y|X)隨X的增大而增大），并基于這樣的行為特征導出了商品需求規律。但Nadai和Lewbel[4]的最新研究發現“increasing dispersion”現象事實上部分是由測量誤差引起的，并不能完全用個人消費行為特征進行解釋，這對政策制定有重要的含義。又如陳琳[5]在我國城鎮代際收入彈性的估計中糾正了測量誤差，由此識別出了純粹由收入因素導致的變動關系。

另一方面，實際應用中許多經濟變量之間很可能存在著非線性的關系，有很多學者研究了解釋變量帶測量誤差的非線性模型的估計[6,7]，但實際問題研究中非線性模型設定的依據往往并不充分，因此很可能存在模型設定偏誤問題。于是很多學者開始考慮非參數測量誤差模型的估計問題，如Fan和Truong[8]在測量誤差分布已知的條件下，利用核卷積方法建立了非參數函數的估計；Schennach[9]及Hu和Sasaki[10]則在能夠得到解釋變量的另一個不精確觀測條件下，驗證了非參數函數的可識別性，并基于此建立了非參數估計；Nadai和Lewbe[4]基于工具變量驗證了非參數函數的可識別性，并基于廣義矩（GMM）方法建立了非參數部分的估計。雖然非參數函數的設定具有很好的靈活性，但當解釋變量個數較多時會遭遇“維數詛咒”問題，因此難以在實際應用中得到廣泛應用。

半參數模型既能充分利用現有信息，把與被解釋變量有明確關系的這部分解釋變量或控制變量設為參數形式，又能把與被解釋變量關系不夠明確的或者是研究感興趣的這部分解釋變量設為非參數形式，這種非參數的設定也為實際應用中參數設定是否合理提供了數據證據和檢驗的框架。關于半參數測量誤差模型的研究，Liang[11]在測量誤差分布已知的條件下，給出了非參部分帶測量誤差的部分線性模型的估計；李小莉[12]則基于帶測量誤差的解釋變量的輔助信息，研究了幾種半參數模型的估計問題，但她們僅考慮了線性解釋變量部分帶測量誤差但非參數部分不帶測量誤差的情形的估計，且其提出的輔助信息在經濟學問題中難以獲得。

綜上，為了得到解釋變量存在測量誤差時模型未知部分的一致估計，需要新增假定條件，該條件往往被稱為識別條件，如測量誤差分布已知、存在解釋變量的另一個不精確度量或者工具變量等。統計學和計量中關于測量誤差模型的研究，較大的差異是模型的識別條件，由此建立了不同的估計。現有統計學中的識別條件概括而言有誤差分布已知、誤差方差已知或存在大量重復不精確觀測，這些條件在經濟學問題的研究中往往不成立。不同于現有文獻，本文將探討基于微觀經濟數據的非參數部分帶測量誤差的部分線性模型，借鑒Schennach[9]的識別方法，基于核估計、Fourier變換和特征函數建立了模型中未知部分的估計，并將其運用于我國城鎮居民食品消費與收入關系的研究中，試圖識別出純粹由于永久收入變動導致的商品消費變動的影響效應。

1 非參數部分帶測量誤差的部分線性模型

1.1 模型

本文考慮如下非參部分帶測量誤差的部分線性模型：

其中y為解釋變量；z∈R是本文感興趣的解釋變量，但z的觀測帶有測量誤差，即觀測到的是w1，u1為不可觀測的測量誤差；g(·)為未知光滑函數；x∈Rp為其他p個解釋變量或控制變量（不含常數項），β∈Rp為未知回歸系數；ε為隨機誤差項。模型（1）既充分利用了先驗信息，又具有一定的靈活性，也為實證應用中常見的g(·)的線性設定是否準確提供了一個檢驗的框架，本文感興趣的正是g(·)的估計。

雖然本文假定x不存在測量誤差，但事實上若x中也存在測量誤差，只要x中的測量誤差與z獨立，則x中的測量誤差并不會影響g(·)的估計。同樣地，若解釋變量y中的測量誤差與x，z獨立，則y中的測量誤差也不會影響g(·)的估計。為簡單計，本文假定y中也不存在測量誤差。

1.2 未知光滑函數的識別與估計

由于模型（1）中的解釋變量z存在測量誤差，故僅基于(y，w1，x)的觀測樣本和現有條件是無法唯一確定未知函數g(·)的。同文獻[9]，本文假定可以得到z的另一個不精確測量w2：w2=z+u2，其中u2的期望可以為非零，如微觀調查中上一年度的收入數據。若進一步假定E(ε|x，z，u2)=0，E(u1|z，u2)=0，z與u2相互獨立，則由文獻[9]定理 1及文獻[10]定理1可得，基于樣本 (y，w1，w2，x)，模型（1）中的未知函數g(z)是唯一確定的（即是可識別的）。

為了得到非參部分g(z)的估計，本文采用二步估計方法，即先假定回歸系數β已知，利用非參數測量誤差模型的估計方法得到g(·)的初始估計，然后將其代入模型（1）并利用非線性最小二乘法得到β的估計，最后將代入得到g(·)的最終估計。具體地：

步驟1：假定參數β已知，(w，w，xj)為樣本數據，則可得g(·)的初始估計為（其估計過程見下文）：

κ(·)表示核函數K(·)的Fourier變換。

步驟2：將估計式（2）代入模型（1），并利用非線性最小二乘法可得β的估計為:

求解該最小化問題可得：

其中：

步驟3：將式（3）代入式（2）即可得g(·)的最終估計。

1.3 回歸系數已知時非參數估計式（2）的導出

回歸系數β已知時，上文給出的非參數函數估計式（2）并不是顯而易見的，本文將給出式（2）的估計過程。若模型（1）中的z可觀測，則在回歸系數β已知時，模型（1）中非參數函數g(·)在點τ處的常見核估計為式（4）的矩估計：

其中Y=y-xTβ，Kh(·)=K(·/h)/h，K(·)為核函數，h為窗寬。

這里的問題是z是無法觀測的，能觀測到的是存在測量誤差的w1和另一個不精確度量w2。綜合借鑒文獻[8]、文獻[9]定理1的方法，本文將基于式（4）給出式（2）中g(·)的初始估計。具體地：

其中fz(·)為z的密度函數。記i=，則K(·)的Fourier變換為

故

將其代入式（5），通過變量代換及積分順序交換可得：

同理可得式（6）可化為:

其中?z(t)=E(eitz)為隨機變量z的特征函數。

下面結合文獻[9]定理1和文獻[10]定理1的方法給出式（7）、式（8）中 未 知 部 分E(Yeiωz)和?z(t)的 基 于(y，w1，w2，x)的表達式。

因為w2=z+u2，z與u2相互獨立，故基于特征函數性質可得：

又經計算可得二維隨機變量(w1，w2)的特征函數為?w1w2(t2)=E(eit1w1+it2w2)，于是由E(u1|z，u2)=0 ，z與u2相互獨立可得：

同理由 (Y，w2)的特征函數?Yw2(t，t2)=E(eitY+it2w2)，式（9）及條件E(ε|z，u2)=0，z與u2相互獨立，可導出：

將式（11）、（12）分別代入式（7）、（8），并用樣本矩替換總體矩即可得估計式（2）。

2 Monte Carlo模擬

下面將采用Monte Carlo模擬研究驗證估計量在實際運行中的表現。數據真實生成過程為：y=xTβ+g(z)+ε,β=0.75，w1=z+u1，w2=z+u2，本文能觀測到的就是(y，w1，w2，x)的數據。考慮如下三個不同非參數函數設定的數值模擬例子：

例1：

例2：

例3：

在這三個例子中，考察了不同的非參數函數設定形式，且在第二個例子中，允許第二個觀測的測量誤差u2均值不為0。另外，在上述三個模擬例子中，帶測量誤差部分的解釋變量其信號噪音比為4:1，觀測到的數據中測量誤差占比20%，應該不算太大。分別從相應的模型中獨立抽取樣本容量n=200，500的樣本，重復抽取500次，生成樣本容量相同的500個仿真數據集。基于文中的估計方法，使用Silverman[13]提出的經驗準則選擇帶寬h，即h=1.06*σ^*n-1/5，其中σ^是w1的樣本標準差。

為了比較本文估計的效果，在模擬計算中本文還分別給出了無測量誤差的核估計（即將z的數據代入）作為基準，并與帶測量誤差的核估計（即將z替換為w1）進行對比。這里同樣使用兩步法給出這兩個核估計，即：

步驟1：假定參數β已知，利用NW核估計方法，得到g(·)的初始估計：

步驟2：將非參數初始估計式（13）代入模型（1），并利用非線性最小二乘法可得β的估計為：

步驟3：將式（3）代入式（2）即可得g(·)的最終估計。

無測量誤差下g(·)的核估計為用各zj替換上述步驟中相應的vj（記為NW noerror）；而帶測量誤差的g(·)核估計為用各w替換上述步驟中相應的vj（記為NW error）。本文NW估計均采用標準正態核，估計結果如圖1至圖6所示，其中從左至右分別是本文的估計、NW error的估計和NW noerror估計。圖中實線表示函數真實值，五條虛線從上至下分別表示非參數估計的90th、70th、50th、30th、10th分位數。由圖可見，本文非參估計的中位線幾乎與真值重合，且比不考慮測量誤差的NW error估計偏差小，尤其在曲線的曲率比較大的地方表現得更為明顯。而且在本文的例子中，可觀測數據中的測量誤差占比較小為20%，可見測量誤差的存在導致NW error的核估計偏差較大，尤其在非線性部分偏差更大。顯然，隨著樣本容量的增大，本文提出的非參數部分估計越來越靠近真實曲線。

圖1 g(z)=sin(z)時非線性部分估計結果（N=200）

圖2 g(z)=sin(z)時非線性部分估計結果（N=500）

圖3 g(z)=exp(z)/(1+exp(z))時非線性部分估計結果（N=200）

圖4 g(z)=exp(z)/(1+exp(z))時非線性部分估計結果（N=500）

圖5 g(z)=-z2/4時非線性部分估計結果（N=200）

圖6 g(z)=-z2/4時非線性部分估計結果（N=500）

3 實例應用

根據Friedman[14]的永久收入假說，消費僅依賴于家庭的永久收入。然而，由于永久收入是不可觀測的，研究者們往往使用家庭的歷史或者當前收入作為其觀測值，顯然數據中存在著測量誤差。本文將基于中國居民收入調查數據庫（縮寫CHIP）2002年城鎮居民的數據，利用模型（1）研究食品消費與收入的關系。本文假定收入消費的函數形式g(·)未知，這種非參數的設定方法能給實證應用中參數形式的設定是否準確提供數據證據。除了收入之外，還有其他因素會影響消費，如袁志剛和宋錚[15]認為人口年齡結構的變化改變了城鎮居民的消費行為。因此本文在模型中加入了人口結構的控制變量。由于我國國土遼闊，各地區經濟發展水平、消費習慣和客觀環境不同，因此，將分東、中、西三組分別探討城鎮居民家庭食品消費與收入的關系。

3.1 數據說明

家庭人口結構變量包含家庭人口年齡結構變化和人口總數變化兩個概念，根據邵鋼[16]對不同的年齡組食品消費水平的系數假設，本文將家庭成員按年齡分成兒童組：0～14歲、成人組：15～60歲以及老人組：60+歲，并將兒童組和老年組都按0.8折算成標準人，對家庭內所有成員按標準人進行加總得到家庭總標準人量，并取對數作為本文家庭人口結構變量。收入是家庭總年收入（元/年），消費是家庭總年消費（元/年）。本文刪掉了其中有缺失數據的樣本。數據描述性統計見表1。

表1 數據的描述性統計

3.2 估計結果

基于模型（1），其中g(·)表示控制人口結構后，東中西三地區的永久收入與食品消費的關系，其斜率表示食品消費的收入彈性；利用上文的估計方法得東中西三地區的永久收入對數與食品支出對數關系g(·)估計如圖7所示。由此可見，各個地區食品支出對數與家庭收入對數關系大體呈線性關系，這也驗證了在食品消費與收入關系研究中的對數線性模型設定是合理的。且在相同收入水平下，中部地區食品支出最少；而在低收入和高收入水平下，東部地區食品支出最多。程蘭芳[17]將東部地區2002年食品支出比重大的原因歸于東部地區在肉禽品、奶制品以及外用餐等項上消費支出遠遠高于中西部地區。而中部地區收入水平較低，因而物價水平更低，從而導致相同收入水平下，中部地區家庭食品支出最小。

圖7 家庭食品支出對數與家庭收入對數關系

4 結論

測量誤差的存在往往導致模型存在內生性問題，忽略它將使得線性和非線性模型的估計非一致，因此，本文研究了非參部分帶測量誤差的部分線性模型的估計，該模型的設定具有很大的靈活性，能防止模型設定偏誤導致感興趣變量估計的非一致性，也為實證應用中參數形式的設定是否合理提供了數據檢驗的方法。本文在帶測量誤差的解釋變量存在另一不精確度量的前提下，結合核估計、Fourier變換和特征函數方法建立了非參數部分的兩步估計。蒙特卡洛模擬結果表明本文的估計量在估計非線性部分時更好，偏差較小。最后本文將該模型及方法運用于我國城鎮家庭食品消費與收入關系的估計上，結果發現樣本數據支持對數線性模型的設定，更嚴格的統計檢驗有待進一步的研究。

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