基于Lee-Cater模型的我國(guó)死亡率預(yù)測(cè)

曹 園

（中國(guó)人民大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100872）

0 引言

根據(jù)《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》及《中國(guó)人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》整理各年男性及女性分年齡死亡率數(shù)據(jù)可看到我國(guó)死亡率水平隨時(shí)間呈下降趨勢(shì)。死亡率改善不僅會(huì)延長(zhǎng)人口預(yù)期壽命，還會(huì)改變?nèi)丝诮Y(jié)構(gòu)、增加老年撫養(yǎng)比。我國(guó)目前已成為人口老齡化發(fā)展速度最快的國(guó)家之一，且是世界上老年人口最多的國(guó)家，即我國(guó)人口老齡化進(jìn)入快速發(fā)展階段的同時(shí)，還伴隨著高齡化的快速推進(jìn)。人口老齡化以及人口老化勢(shì)必對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)各個(gè)方面產(chǎn)生影響。Ashgar Zaidi（2012）[1]認(rèn)為人口老齡化的挑戰(zhàn)可以看作是老齡化相關(guān)的政府支出的增加，特別是養(yǎng)老金支出的增加，使現(xiàn)行的養(yǎng)老保險(xiǎn)制度不可持續(xù)。因此對(duì)死亡率改善程度的準(zhǔn)確預(yù)判，有助于決策層制定符合未來(lái)人口特征的人口政策、經(jīng)濟(jì)政策以及養(yǎng)老政策等。

Lee和Carter（1992）[2]提出了預(yù)測(cè)死亡率的隨機(jī)方法，將影響對(duì)數(shù)中心死亡率的因素分解為時(shí)間和年齡因素，建立了由對(duì)數(shù)表達(dá)式和ARIMA模型構(gòu)成的預(yù)測(cè)死亡率的外推模型，計(jì)算相對(duì)方便簡(jiǎn)單。目前很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者都采用此方法進(jìn)行死亡率的預(yù)測(cè)。Girosi和King（2007）[3]詳細(xì)分析了Lee-Carter模型，并將其與一般的隨機(jī)游走模型進(jìn)行對(duì)比，認(rèn)為該模型是一個(gè)更為簡(jiǎn)單的，可以減少偏差的帶漂移隨機(jī)游走模型的特例。Koissi等（2006）[4]運(yùn)用Lee-Carter模型對(duì)北歐國(guó)家的死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)奇異值分解法、加權(quán)最小二乘法以及極大似然法估計(jì)參數(shù)，認(rèn)為極大似然法具有更好的擬合效果。李南和胡華清（1998）[5]全面介紹了Lee-Carter模型，并應(yīng)用該方法首次完成了中國(guó)隨機(jī)人口預(yù)測(cè)。李志生和劉恒甲（2010）[6]介紹了Lee-Carter模型參數(shù)估計(jì)的四種方法，分別是：奇異值分解法（SVD）、最小二乘法（OLS）、加權(quán)最小二乘法（WLS）、極大似然法（MLE）。但是當(dāng)數(shù)據(jù)缺失時(shí)，隨機(jī)模型的預(yù)測(cè)精度下降。對(duì)于有限數(shù)據(jù)，Li等（2004）[7]令k的表達(dá)式服從帶漂移的隨機(jī)游走模型，并證明如果k服從嚴(yán)格的隨機(jī)游走假設(shè)，則若數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度足夠大只需要3年的數(shù)據(jù)就可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)模型的參數(shù)及死亡率。韓猛和王曉軍（2010）[8]也采用了類似的方法對(duì)Lee-Carter模型進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)對(duì)Lee-Carter模型中的時(shí)間項(xiàng)建立一個(gè)雙隨機(jī)過(guò)程減小因樣本量不足對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。

以上文獻(xiàn)主要存在以下兩個(gè)問(wèn)題。第一，研究發(fā)現(xiàn)高齡人口死亡概率已不再呈指數(shù)增長(zhǎng)，而是在某一水平上下波動(dòng)，具有很強(qiáng)的線性趨勢(shì)。因此，運(yùn)用Lee-Carter模型預(yù)對(duì)高齡人口死亡率結(jié)果預(yù)測(cè)將存在較大的偏差。J.M.Robine等（2007）[9]分別采用了Gompertz、Weibull、Heligman and Pollard、Quadratic、Logistic和Kannisto模型擬合對(duì)高齡死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，通過(guò)對(duì)比分析，認(rèn)為Kannisto模型對(duì)高齡死亡率的模擬效果優(yōu)于其他幾個(gè)模型。安平（2010）[10]選用Gompertz函數(shù)、Coale-Kisker是方法是以及極值理論方法對(duì)高齡人口死亡數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并通過(guò)加權(quán)最小平方法進(jìn)行比較，認(rèn)為Coale-Kisker方法是對(duì)高齡死亡率擴(kuò)展的最佳方法。第二，文獻(xiàn)中對(duì)死亡率數(shù)據(jù)以每5歲的年齡來(lái)分組進(jìn)行參數(shù)估計(jì)及預(yù)測(cè)。然而這種分年齡組處理的方法會(huì)造成預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)一定偏差，顯然一組內(nèi)各年齡的死亡率是不同的。

因此，本文將做以下改進(jìn)：首先，因個(gè)別年齡死亡率缺失或?yàn)榱悖荒軐?duì)這些死亡率數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，因此無(wú)法使用矩陣奇異值分解法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。為了提高預(yù)測(cè)精度，本文采用加入數(shù)據(jù)存在或缺失權(quán)重的極大似然估計(jì)法處理缺失數(shù)據(jù)。其次，通過(guò)對(duì)比Kannisto模型及Coale-Kisker方法可知，后者操作性更強(qiáng)，因此本文通過(guò)Coale-Kisker方法擴(kuò)展高齡死亡率，提高死亡率預(yù)測(cè)精度。最后，本文不對(duì)死亡率進(jìn)行分組處理，直接運(yùn)用分年齡數(shù)據(jù)對(duì)分年齡分性別死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 基本模型

本文對(duì)死亡率的預(yù)測(cè)主要分以下幾個(gè)步驟：

第一步，建立對(duì)數(shù)中心死亡率模型，并通過(guò)過(guò)去數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)。模型基本公式為：

其中，mx，t為t年度x歲人的中心死亡率；αx為影響死亡率的年齡因素，其值為各年齡死亡率按時(shí)間統(tǒng)算出的基數(shù)，即為影響死亡率的時(shí)間因素，表示t年度死亡率水平的變化；βx為各年齡別死亡率的偏差情況；ξx，t為誤差項(xiàng)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為σ。

由模型可知，運(yùn)用任意常數(shù)c對(duì)參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換都可以使原模型保持不變，例如可將參數(shù)變換成：

因此本文對(duì)參數(shù)增加約束條件即使參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，取值唯一確定。模型參數(shù)可由不同方法估計(jì)。

第二步，預(yù)測(cè)κt。運(yùn)用時(shí)間序列模型對(duì)κt進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而根據(jù)死亡率模型推估未來(lái)死亡率。本文采用參數(shù)估計(jì)方法。該方法下假設(shè)死亡人數(shù)可通過(guò)參數(shù)為λx，t的泊松分布進(jìn)行模擬，即dx，t~Poisson(Ex，tmx，t)

其中為 t年度 x歲的死亡人數(shù)，Ex，t為t年度x歲人的死亡風(fēng)險(xiǎn)暴露數(shù)。極大似然函數(shù)表達(dá)式為（Natacha Brouhns，2002）：

其中C為常數(shù)，由不受參數(shù)λ的影響項(xiàng)構(gòu)成。運(yùn)用牛頓迭代公式，根據(jù)約束條件，本文參考李志生和劉恒甲（2010）[6]的初始值選定方案從參數(shù)初始值=0、=1和=0開始，按以下步驟更新參數(shù)：

其中第v次更新需滿足條件設(shè)置迭代更新的停止條件，例如當(dāng)參數(shù)更新使式（2）的增加量很小時(shí)（如小于10-6）停止迭代，得到參數(shù)估計(jì)值。

第三步，對(duì)高齡死亡率進(jìn)行擴(kuò)展。

由于《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》以及《中國(guó)人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》中只有0～89歲的分年齡死亡率數(shù)據(jù)，90歲以上分年齡死亡率數(shù)據(jù)缺失，本文通過(guò)Coale-Kisker方法對(duì)各年份高齡死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展。該方法假設(shè)死亡率以一個(gè)變化的、線性的速率遞增，從提出至今被廣泛使用于高齡人口死亡率的擴(kuò)展。在實(shí)際操作中，一般假設(shè)從85歲開始使用該方法。具體模型如下：

其中k(x)=ln(mx/mx-1)，R為k(x)與k(x-1)的線性差額。由于我國(guó)《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2000—2003)》將終極年齡設(shè)為105歲，因此本文假設(shè)m105=1。由此，可得：

為減小個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)模型整體的影響，可以選用從82～86歲中心死亡率的算術(shù)平均值代替上式的m84，用[ln(m87/m80)]/7代替上式的k(84)。

2 參數(shù)估計(jì)及死亡率預(yù)測(cè)

由《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》及《中國(guó)人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》，可得1995—2015年分年齡、性別死亡率數(shù)據(jù)，其中2000年和2010年分年齡、性別死亡率數(shù)據(jù)缺失，總共19年的樣本數(shù)據(jù)。1996年數(shù)據(jù)為0～84歲分年齡、性別死亡率數(shù)據(jù)以及85歲以上分性別總體死亡率數(shù)據(jù)，其余各年份數(shù)據(jù)為0～89歲分年齡、性別死亡率數(shù)據(jù)以及90歲以上分性別總體死亡率數(shù)據(jù)。將1996年85～89歲分年齡、性別死亡率數(shù)據(jù)視為缺失數(shù)據(jù)。同時(shí)，2005年人口數(shù)據(jù)為百分之一抽樣，其余各年人口數(shù)據(jù)為千分之一抽樣。因此將2005年抽樣分年齡、性別人口數(shù)和抽樣分年齡、性別死亡人口數(shù)除以10，使其與其他各年數(shù)據(jù)保持相同數(shù)量集。

2.1 Lee-Carter模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

本文根據(jù)加入權(quán)重的極大似然參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)男性、女性死亡率模型參數(shù)。結(jié)果見下頁(yè)表1、表2及圖1、圖2。

圖1 男性、女性死亡率模型參數(shù)ax的估計(jì)值變動(dòng)趨勢(shì)

由表1、圖1可知，男性及女性死亡率隨著年齡增加先減小后增大，且男性死亡率高于女性死亡率。

圖2 男性、女性死亡率模型參數(shù)kt的估計(jì)值變動(dòng)趨勢(shì)

由表2、圖2可知，死亡率隨著時(shí)間推移整體呈下降趨勢(shì)，且女性死亡率改善速度快于男性。

表1 死亡率模型參數(shù)αx、βx的估計(jì)值

表2 死亡率模型參數(shù)κt的估計(jì)值

2.2 預(yù)測(cè)

基于參數(shù)估計(jì)，運(yùn)用ARIMA模型，根據(jù)kt的估計(jì)值對(duì)未來(lái)κt的值進(jìn)行預(yù)測(cè)，令缺失的2000年及2010年數(shù)據(jù)為前后兩年κt估計(jì)值的算數(shù)平均值。分別對(duì)ARIMA(2,1,1)、ARIMA(0,1,1)以及ARIMA(1,1,1)模型進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，根據(jù)lnL準(zhǔn)則①lnL是衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn),數(shù)值越大擬合效果越好。lnL=(2k-AIC)/2，其中AIC=2k+nln(RSS/n)，k是參數(shù)的數(shù)量，假設(shè)模型的誤差項(xiàng)服從獨(dú)立正態(tài)分布，n為觀察數(shù)，RSS為剩余殘差平方和。以及t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。lnL數(shù)值越大擬合效果越好，t統(tǒng)計(jì)量越大參數(shù)越顯著。綜合考慮InL檢驗(yàn)以及t統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于男性及女性均選用ARIMA（1,1,1）模型對(duì)參數(shù)κt進(jìn)行預(yù)測(cè)。可計(jì)算男性、女性死亡率模型參數(shù)κt的預(yù)測(cè)表達(dá)式分別為：

根據(jù)預(yù)測(cè)的kt值，預(yù)測(cè)未來(lái)死亡率。

2.3 高齡死亡率擴(kuò)展

在參數(shù)估計(jì)及預(yù)測(cè)kt的基礎(chǔ)上對(duì)未來(lái)各年男性、女性0～89歲分年齡死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)區(qū)間為20年。其次運(yùn)用Coale～Kisker方法預(yù)測(cè)未來(lái)各年85歲以上高齡人口分年齡、性別的死亡率，并用該方法預(yù)測(cè)的未來(lái)各年85～89歲分年齡、性別死亡率替代運(yùn)用Lee-Cater模型預(yù)測(cè)的未來(lái)各年85～89歲分年齡、性別死亡率。

根據(jù)以上方法預(yù)測(cè)的未來(lái)各年分年齡、性別死亡率見下頁(yè)表3（由于篇幅限制，本文展示、2020年、2025年、2030年以及2035年分年齡、性別死亡率數(shù)據(jù)，且只列示部分年齡數(shù)據(jù)）。

由表3預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出我國(guó)死亡率水平將持續(xù)改善。

3 死亡率改善的影響

3.1 對(duì)預(yù)期壽命的影響

x歲人的預(yù)期剩余壽命計(jì)算公式為：

其中Kx(t)為x歲的人預(yù)期壽命的整數(shù)部分。根據(jù)公式（1）及預(yù)測(cè)的死亡率，對(duì)預(yù)期壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見下頁(yè)表4（表中僅展示部分年份）。

由表4可知我國(guó)預(yù)期壽命將不斷延長(zhǎng)。

3.2 對(duì)未來(lái)?yè)狃B(yǎng)比的影響

根據(jù)2033年死亡率數(shù)據(jù)計(jì)算，2033年我國(guó)男性、女性預(yù)期壽命分別為81歲和86歲。此預(yù)期壽命水平與2015年日本預(yù)期壽命水平基本持平（男性平均壽命80歲，女性平均壽命86歲）。考慮到日本是世界上最長(zhǎng)壽的國(guó)家以及我國(guó)與日本經(jīng)濟(jì)生活水平的差距，因此本文假定死亡率收斂于2033年的水平，2033年后分年齡、性別死亡率將維持2033年的水平不變。

忽略人口遷移因素，考慮未來(lái)死亡率及生育率對(duì)未來(lái)分年齡、性別人口進(jìn)行預(yù)測(cè)。我國(guó)總和生育率水平在1996—2003年間約為1.4，最近幾年略有所回升，但大概也只有1.5左右的水平。由于我國(guó)逐漸實(shí)行寬松的人口政策，因此將2016及以后生育率水平設(shè)定為1.55。

表3 分性別、年齡死亡率預(yù)測(cè)結(jié)果

表4 未來(lái)人口預(yù)期壽命

令hx,t表示標(biāo)準(zhǔn)化生育模式，將2015年底的生育模式設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)化生育模式，有：

可見hx,t實(shí)際上是分?jǐn)偪偤蜕市纬煞帜挲g生育率的分年系數(shù)。當(dāng)其不隨時(shí)間變化時(shí)，可以用未來(lái)總和生育率和穩(wěn)定的生育率模式預(yù)測(cè)未來(lái)的分年齡生育率。則可通過(guò)式（4）計(jì)算總和生育率為1.55時(shí)，未來(lái)各年分年齡的生育率水平為：fx，t=hx，2015·1.55 。

由《中國(guó)人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》可知2015年底0～94歲分年齡、性別人口占比，對(duì)于95歲以上分年齡人口占比可根據(jù)擴(kuò)展的跟年齡死亡率進(jìn)行推估，并推出95歲分年齡人口占比。以2015年底總?cè)藬?shù)及人口占比為基數(shù)，基于未來(lái)死亡率、生育率預(yù)測(cè)值，忽略人口遷移因素，預(yù)測(cè)我國(guó)未來(lái)分年齡、分性別人口數(shù)，并計(jì)算老年撫養(yǎng)比。老年撫養(yǎng)比＝(65歲以上人口數(shù)/15～64歲人口數(shù))×100%，見表5。

表5 未來(lái)老年撫養(yǎng)比

由表5可知，我國(guó)未來(lái)老年撫養(yǎng)比不斷上升，到2070年將高達(dá)84.01%，即平均每10個(gè)年輕人會(huì)供養(yǎng)8.4個(gè)老年人。

通過(guò)對(duì)死亡率的預(yù)測(cè)，以及推估的人口預(yù)期壽命和老年撫養(yǎng)比，如此快的老齡化進(jìn)程勢(shì)必給我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)各方面產(chǎn)生影響，特別是加重我國(guó)養(yǎng)老負(fù)擔(dān)，給養(yǎng)老保險(xiǎn)的持續(xù)發(fā)展提出挑戰(zhàn)，對(duì)死亡率及人口結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，有助于決策層制定符合未來(lái)人口特征的人口政策、經(jīng)濟(jì)政策以及養(yǎng)老政策等，弱化人口老齡化帶來(lái)的負(fù)面影響。

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