基于變異系數相同的異方差分析

戴金輝

（山東工商學院 統計學院，山東煙臺264005）

0 引言

如果只涉及兩總體，檢驗其均值是否相等，這是假設檢驗問題；而涉及到檢驗多個總體的均值是否相等時，倘若應用假設檢驗進行兩兩均值比較，有時可能會行不通，即使可行，效率也低下，這時如果用方差分析來解決問題，則起到事半功倍的效果。方差分析是一種特殊形式的假設檢驗，方差分析可以同時對多個總體均值是否相等進行檢驗，如果把其他影響因素的作用固定下來，僅考慮一個影響因素對實驗結果的影響，就是單因素方差分析；考慮兩個影響因素，在其共同作用下只進行多次實驗（超過一次），就是有重復的雙因素方差分析。因素在不同的水平下，實驗的次數可以相同也可以不同。

方差分析滿足三個假定：（1）每個總體都應該服從正態分布；（2）各個總體的方差相等；（3）實驗結果是相互獨立的。如果各個總體的方差不相等，就不滿足方差分析的條件，不能直接進行方差分析了，本文針對一種特殊情況——在各個總體方差不相等的條件下，但是各個總體的變異系數相同，進行方差分析。

1 基于變異系數相同的單因素方差分析

1.1 變異系數相同的單因素方差分析思路

設A1，A2，…，An是因素A的m個取值，假定在第i個水平下進行了ni次實驗，實驗結果為Xij，并且Xij~N(，i=1，2，…，m;j=1，2，…，ni方差不相等，不能直接進行方差分析。如果Xij~N(μi，，i=1，2，…，m;j=1，2，…，ni中，滿足條件Xij~N(kiμ，σ2)i=1，2，…，m;j=1，2，…，ni，即μi=kiμ，σi=kiσ i=1，2，…，m，即各個不同因素水平對應的變異系數v=，i=1，2，…，m為一個

i常數則可以對Xij進行處理，得到Yij，其中i=1，2，…，m;j=1，2，…，ni，則Yij~N(μ，σ2)，i=1，2，…，m;j=1，2，…ni，Yij滿足方差分析的條件，進行方差分析。單因素方差分析的數據結構模型為：

在單因素方差分析中，表示所有實驗結果的數目；，表示所有實驗結果的均值，則表示第i個水平實驗結果的均值，則

1.2 變異系數相同的單因素方差分析步驟

第一步：提出原假設與備擇假設

第二步：構造檢驗統計量

總平方和

其自由度為n-1。

為了假設檢驗的需要，對總平方和進行分解，把它分解為因素A及其實驗誤差兩個部分：

組間平方和SSR是因素A的均值與總均值之間的離差平方和。

其自由度為m-1。

離差項平方和SSE指除因素A外，由于實驗誤差影響產生的離差平方和。

其自由度為n-m。

由于各平方和受到實驗結果數目的影響，為了消除實驗結果數目對平方和計算結果的影響，可以用各平方和除以對應的自由度，得到均方。

第三步：根據顯著性水平α，確定臨界值Fα(m-1,n-1)。

第四步：做出統計決策。若F＞Fα(m-1，n-1) ，拒絕原假設，各總體均值都相等，如果F＜Fα(m-1，n-1) ，不拒絕原假設，各總體均值不全相等。

以上內容列成方差分析表，見表1。

表1 方差分析表

2 基于變異系數相同的無重復雙因素方差分析

2.1 變異系數相同的無重復雙因素方差分析思路

考慮兩個影響因素，分別為因素A與因素B，因素A有m個水平，因素B有n個水平，但在Ai與Bj的共同作用下只進行一次實驗，也就是在組合(Ai，Bj)i=1，2，…，n;j=1，2，…，m下只有一次實驗結果Xij，并且Xij~N()，i=1，2，…，m;j=1，2，…，ni方差不相等，不滿足方差分析的條件（2），不能直接進行方差分析。如果Xij~N(μij，)，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n中，滿足條件Xij~N(kijμ，σ2)，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n，即μij=kij μ，σij=kijσ，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n即各個不同因素水平對應的變異系數n為一個常數則可以對Xij進行處理，得到Yij，其中Yij=2，…，m;j=1，2，…，n，Yij滿足方差分析的條件，可以進行方差分析。

無重復的雙因素方差分析的數據結構模型為：在無重復的雙因素方差分析中，所有實驗結果的數目表示所有實驗結果的均值，則，表示因素A第i個水平實驗結果的均值，則表示因素B第j個水平實驗結果的均值，則

2.2 變異系數相同的無重復雙因素方差分析步驟

第一步：提出原假設與備擇假設

HA0:μ1.=μ2.=…=μm.（因素A對實驗結果沒有顯著影響）

HA1:μ1.，μ2.，…，μm.不全相等（因素A對實驗結果有顯著影響）

HB0:μ.1=μ.2=…=μ.n（因素B對實驗結果沒有顯著影響）

HB1:μ.1，μ.2，…，μ.n不全相等（因素B對實驗結果有顯著影響）

第二步：構造檢驗統計量

其自由度為mn-1。

為了假設檢驗的需要，對總平方和進行分解，把它分解為因素A、因素B及其實驗誤差三個部分：

因素A的組間平方和SSR是均值與總均值之間的離差平方和。

其自由度為n-1。

因素B的組間平方和SSC是均值與總均值之間的離差平方和。

其自由度為m-1。

離差項平方和SSE指除因素A、因素B外，由于實驗誤差影響產生的離差平方和。

其自由度為(m-1)(n-1)。

第三步：根據顯著性水平α，因素A的臨界值Fα(m-1，(m-1)(n-1)) ，因素 B 的臨界值Fα(n-1，(m-1)(n-1))。

第四步：做出統計決策。

若因素A的統計量的值FA＞Fα(m-1，(m-1)(n-1)) ，拒絕原假設，因素A的各總體均值都相等，如果FA＜Fα(m-1，(m-1)(n-1))，不拒絕原假設，因素A的各總體均值不全相等。

若因素B的統計量的值FB＞Fα(n-1，(m-1)(n-1)) ，拒絕原假設，因素B的各總體均值都相等，如果FB＜Fα(n-1，(m-1)(n-1))，不拒絕原假設，因素B的各總體均值不全相等。

以上內容列成方差分析表，見表2。

表2 無重復的雙因素方差分析表

3 基于變異系數相同的有重復雙因素方差分析

3.1 變異系數相同的有重復雙因素方差分析思路

在因素A與因素B的共同作用下，組合(Ai，Bj)i=1，2，…，n，j=1，2，…，m進行l次實驗（等重復實驗），一次實驗結果Xijk，并且Xijk~N(μij，)，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n;k=1，2，…，l方差不相等，不滿足方差分析的條件（2），不能直接進行方差分析。如果Xijk~N(μij，σ)，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n;k=1，2，…，l中 ，滿 足 條 件Xijk~N(kijμ，σ2)，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n;k=1，2，…，l，即μij=kijμ，σij=kijσ，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n即各個不同因素水平對應的變異系數2，…，m;j=1，2，…，n為一個常數則可以對Xij進行處理，得到Yij，其中，則Yij~N(μ，σ2)，i=1，2，…，m;j=1，2，…，ni，Yij滿足方差分析的條件，可以進行方差分析。

有重復的雙因素方差分析的數據結構模型為：

在有重復的雙因素方差分析中，所有實驗結果的數目，表示所有實驗結果的均值，則，表示因素A第i個水平與因素B第j個水平實驗結果的均值，則，表示因素A第i個水平實驗結果的均值，則

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表示因素B第j個水平實驗結果的均值，則

3.2 變異系數相同的有重復雙因素方差分析步驟

第一步：提出原假設與備擇假設

HA0:μ1..=μ2..=…=μm..（因素A對實驗結果沒有顯著影響）

HA1:μ1..，μ2..，…，μm..不全相等（因素A對實驗結果有顯著影響）

HB0:μ.1.=μ.2.=…=μ.n.（因素B對實驗結果沒有顯著影響）

HB1:μ.1.，μ.2.，…，μ.n.不全相等（因素B對實驗結果有顯著影響）

HAB0:μij.( )

i=1，2，…，m;j=1，2，…，n全相等（因素 A與因素B交互作用對實驗結果沒有顯著影響）HAB1:μij.( )

i=1，2，…，m;j=1，2，…，n不全相等（因素A與因素B交互作用對實驗結果有顯著影響）

第二步：構造檢驗統計量

其自由度為mnl-1。

為了假設檢驗的需要，對總平方和進行分解，把它分解為因素A、因素B、因素A與因素B、實驗誤差四個部分：

其中：

因素A的組間平方和SSA是均值i..與總均值之間的離差平方和：

因素B的組間平方和SSB是均值與總均值之間的離差平方和：

因素A與因素B的交互作用平方和SSAB是均值xijk與均值之間的離差平方和：

離差項平方和SSE指除因素A、因素B外、因素A與因素B交互作用外，由于實驗誤差影響產生的離差平方和：

由于各平方和受到實驗結果的個數的影響，為了消除實驗結果數目對平方和計算結果的影響，可以用各平方和除以對應的自由度，得到均方。

因素A的組間均方為

因素B的組間均方為

因素A與因素B的交互作用的組間均方為

離差項均方為

因素A的檢驗統計量為

因素B的檢驗統計量為

因素A與因素B的交互作用的檢驗統計量為FAB=

第三步：根據顯著性水平α，因素A的臨界值Fα(m-1，mn(l-1)) ，因素B的臨界值Fα(n-1，mn(l-1)) ，因素A與因素B的交互作用的臨界值為Fα((m-1)(n-1)，mn(l-1))。

第四步：做出統計決策

若因素A的統計量的值FA＞Fα(m-1，mn(l-1)) ，拒絕原假設，因素A的各總體均值都相等，如果FA＜Fα(m-1，mn(l-1))，不拒絕原假設，因素A的各總體均值不全相等。

若因素B的統計量的值FB＞Fα(n-1，mn(l-1)) ，拒絕原假設，因素B的各總體均值都相等，如果FB＜Fα(n-1，mn(l-1))，不拒絕原假設，因素B的各總體均值不全相等。

若因素A與因素B的交互作用的統計量的值FAB＞Fα((m-1)(n-1)，mn(l-1))，拒絕原假設，因素A與因素B的交互作用的各總體均值都相等，如果FAB＜Fα((m-1)(n-1)，mn(l-1))，不拒絕原假設，因素A與因素B的交互作用的各總體均值不全相等。

以上內容列成方差分析表，見表3。

表3 有重復的雙因素方差分析表

4 結束語

在進行方差分析時，如果各總體的方差不相等，不能直接進行方差分析，如果各總體的變異系數相等，則可以把原始的實驗數據除以變異系數進行變換，變換后的數據方差相同，就可以直接進行方差分析了。

參考文獻：

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[3] 戴金輝，袁靜.單因素方差分析與多元性回歸分析檢驗方法比較[J].統計與決策，2016，（9）.

[4] 戴金輝，代金輝.方差分析在跳水運動員成員成績管理中的應用[J].統計與決策，2016，（22）.