用勻速圓周運動的分運動導出簡諧運動的嚴格解

莊 洋，雷家睿，趙博涵，黃 敏，趙蕓赫

（1.四川省成都市新都一中銘章學院，四川 成都 610500；2.北京師范大學物理學系，北京 100875）

在力學中，簡諧運動是一種周期運動或振蕩運動，其對應的振子或運動物塊所受的恢復力與位移成正比，方向與位移方向相反。簡諧運動可以作為各種運動的數學模型，例如彈簧的振動。另外，其他現象可以用簡諧運動來近似，例如單擺運動和分子振動。簡諧運動是關于時間的正弦函數，演示了一個單一的諧振頻率。簡諧運動是小幅震動單擺的精近似型，擺在物體末端的凈力必須與位移成正比。這是一個很好的近似，擺動的角度是小的。在現在的科學中，基于簡諧運動衍生的信號波處理，即通過傅立葉分析技術為更復雜運動的表征提供了基礎。

高中階段，簡諧運動的教學是基于實驗現象的[1-11]，根本原因是簡諧運動物體的動力學方程是一個二階微分方程，而這一方程的嚴格求解并不是高中數學的教學內容。而中學物理在振動與波章節進行的教學，以及對于單擺運動的學習都需要基于簡諧運動的學習和內容。在教學中，學生難免對不能求解的方程有疑惑。當然，在進行了求導的學習后，學生可以通過猜測解的形式并利用導數的相關方式對“簡諧運動的運動方程是三角函數”這一結論進行驗證，但是依然不是一種直接的方式。對于學有余力的學生，可以通過高等數學的學習了解微分方程的求解，進而對簡諧運動的運動方程加以求解。本文試圖在高中物理數學體系內給出一種求解簡諧運動的辦法。

1 模型建立

我們首先考慮一根輕彈簧連接的一個可視為質點的物塊的運動。根據牛頓第二定律，該連接勁度系數為k、彈簧質量為m的物體的運動方程為：

其中，x是這一彈簧偏離平衡位置的距離。則我們需要求解微分方程：

這一方程的解為三角函數，然而這一方程的求解并不在高中學生的數學教學大綱內[1-2]。也就是說，在現有高中階段的教學中，學生無法基于已有數學知識求解彈簧振子的運動方程。因此在高中的物理教學中，只能通過實驗來理解“彈簧振子的運動是簡諧振動”這一重要的物理現象，并且沒辦法通過直接的數學求解建立其運動和三角函數所體現的運動規律直接對應。

我們注意到，不少教材和科普材料提到勻速圓周運動的分運動是簡諧運動，也有相應的實驗佐證。而勻速圓周運動的運動規律和受力分析是高中物理的教學內容，也是直觀便于學生理解的知識點。質點在以某點為圓心、半徑為r的圓周上運動，即質點運動時其軌跡是圓周的運動叫“圓周運動”，它是一種最常見的曲線運動，例如電動機轉子、車輪、皮帶輪等都做圓周運動。

圓周運動分為勻速圓周運動和變速圓周運動，比如豎直平面內繩/桿轉動小球、豎直平面內的圓錐擺運動。在圓周運動中，最常見和最簡單的是勻速圓周運動（因為速度是矢量，所以勻速圓周運動實際上是指勻速率圓周運動）。我們希望通過建立勻速圓周運動和簡諧運動的定量規律，以期在運動圓周運動的基礎上讓學生理解并且求解簡諧振動的運動規律。

接下來，我們通過分析做勻速圓周運動物體的分運動來等效解決這一問題。我們考慮在水平圓環上做勻速圓周運動的物體具有質量m，其圓環半徑為r，角速度為ω.這一物體受到圓環的支持力提供向心力，該力的大小為：

考慮圓周運動的物體受到的支持力提供向心力且方向指向圓心，則該力的矢量表示為：

圖1 水平面內做勻速圓周運動的物體

我們將上述分析畫入圖，如圖1所示，該力在橫軸上的投影為：

根據幾何關系，注意到半徑、角度和橫坐標的關系為：

于是我們有：

考慮上式中關于橫坐標的系數（轉速、質量均恒定）為常數，我們定義k≡mω2為該圓周運動分運動所對應的等效勁度系數，則上式可以改寫為：

這意味著我們考慮的做勻速圓周運動物體的水平方向受力大小與水平方向位移成正比，方向相反。這恰好與一個連接勁度系數為k的彈簧的物體受力一致。另外，注意到圓周運動的物體轉過的角度與轉速具有關系：

于是對比可知，連接彈簧的物體被拉開遠離平衡位置r后釋放，其做簡諧震動的位移隨時間的變化為：

對比關于圓周運動中“等效勁度系數”的定義，得到ω=，這正是簡諧運動的周期。綜上，我們可以得到方程（2）的一般解為：

其中，振幅A和相位θ0由所考察簡諧振動的初始條件給定（在圓周運動中對應著物體0時刻所處的角位置）。

2 結論與討論

我們給出的這種等效替代——利用圓周運動在某一方向的投影運動為簡諧震動的辦法巧妙地避免了高中階段求解微分方程的困擾，讓學生直觀地利用圓周運動和運動分解的知識，得到“簡諧振子的運動方程的解就是三角函數”這一結論。此外，圓周運動的分運動就是簡諧振動這一直觀的證明，也給我們提出了一種簡單的觀察簡諧振動的辦法，比如在勻速轉動的轉盤邊緣連接一小燈珠，觀察燈珠在一維上的分運動，并記錄。對于簡諧運動直觀圖像的建立和求解，也給我們利用簡諧運動進行相關的探究性實驗提供了思路，比如文獻[12]研究了水滴在簡諧振動平面上的運動，發現因為簡諧振動的平面誘導，水滴會呈現出規律的星形振蕩圖樣。此外，生活中的一些微小振動都可以在一定程度上近似為簡諧振動。本文關于簡諧振動和圓周運動的聯系也給我們了解生活中的復雜運動提供了一種等效且定量分析的思路。

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