“二元一次方程（組）”常見錯誤分析

◎顧長亮

學習二元一次方程（組）后，在解答一些問題時，部分同學由于對相關定義、解法理解不透，對問題考慮不周，再加上受思維定勢等因素的影響，常會犯一些錯誤.這里舉一些常見的錯誤，供同學們借鑒.

一、方程（組）概念不清

例1下列方程哪些是二元一次方程：

【錯解】①②③④.

【學生自我分析】多選了①是因為粗心，沒注意代數(shù)式缺少等于0；多選了②④，是因為乍一看x和y的指數(shù)，以為是一次的；少選了⑧是沒注意到等式左右兩邊2x2可以抵消.

【教師點評】犯錯的原因還是概念不清，判斷一個方程是否二元一次方程應注意：（1）方程兩邊的代數(shù)式是整式，④不符合這一條，而①干脆連方程都不是；（2）方程中含有兩個未知數(shù)，與“二元”對應，⑤⑥都不符合這一條；（3）方程中含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，與“一次”對應，②⑤⑦都不符合這一條.所以本題的正確答案為：③⑧.

例2下列哪些方程組是二元一次方程組：

【錯解】①③④.

【學生自我分析】以為二元一次方程組是由兩個方程組成的，且每一個方程都含有兩個未知數(shù).

【教師點評】二元一次方程組的定義∶含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組.這應從三個方面來理解：（1）兩個整式方程的最高次數(shù)是1，所以①不符合；（2）方程組中共有2個未知數(shù)，所以④不符合.只有②③符合這些條件，它們是二元一次方程組.所以本題正確答案為：②③.

二、方程（組）解的概念不清

例3把二元一次方程-2x-y=-8寫成用含y的代數(shù)式表示x的形式，并求方程的正整數(shù)解.

【錯解】因為-2x-y=-8，所以，將y=4代入上式得x=2，所以正整數(shù)解為

【學生自我分析】以為二元一次方程的解是唯一的，發(fā)現(xiàn)把y=4代進去，x剛好為整數(shù)，這樣，就是它的解了.

【教師點評】二元一次方程的解一般有無數(shù)組，本題加了正整數(shù)解的限制條件后，個數(shù)不一定是無數(shù)個，但也不是只有一個.本題在得出后，由x＞0得，即0＜y＜8.當y為偶數(shù)時，x也為整數(shù)，又因為是正整數(shù)解，所以y只能取2，4，6，所以方程組的解為

三、方程（組）解法不熟練

例4用代入法解方程

【錯解】由①得x=60-y，代入②得2（60-y）+3y=80③，解之得y=40，將y=40代入①得x=20，所以原方程組的解為

【學生自我分析】解方程③的時候解錯了，把負號給弄丟了.應該是y=-40，最后正確的解為

【教師點評】代入消元法是解二元一次方程組的一種基本方法，它的一般步驟是：（1）從方程組中選取一個系數(shù)比較簡單的方程，把其中的某一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；（2）把（1）中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數(shù)；（3）解所得到的一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；（4）把所求得的一個未知數(shù)的值代入（1）中的表達式，求出另一個未知數(shù)的值，從而確定方程組的解.

需要特別提出的是：當方程組中有一個方程的一個未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時，用代入法較簡便.該同學代入過程是正確的，在計算中把符號弄錯了，另外還需要養(yǎng)成檢驗的習慣.

例5解二元一次方程組

【錯解】①×10得2（x+1）-5（y-1）=-1，化簡得2x-5y=-8③，由②得2x+2y=4④，

④-③得，，代入②得，方程組的解為

【學生自我分析】應該是①兩邊各項都要同時乘10，而上述解法只將左邊乘10，右邊忘記乘了.應由①×10得2（x+1）-5（y-1）=-10，化簡得2x-5y=-17③，由②得2x+2y=4④，④-③得，7y=21，y=3，代入②得x=-1，所以方程組的解為

【教師點評】本題是較為復雜的加減消元法解二元一次方程組，方程①中有分母，去分母時，依據(jù)等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同乘（或除以）同一個不為零的數(shù)或整式，等式仍然成立.該同學只乘了左邊而沒有乘右邊，導致了錯誤，這是比較典型的錯誤，同學們要盡量避免.