巧用中心對(duì)稱解決問題

袁 勇

對(duì)于圖形的中心對(duì)稱性，許多同學(xué)雖然能掌握，但并不能靈活運(yùn)用.本文通過一些例子來說明平行四邊形的中心對(duì)稱性在幾何題中的應(yīng)用.

一、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的性質(zhì)

【例1】如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、CD中點(diǎn)，CE、BF相交于點(diǎn)M，請(qǐng)你說明AM和AB的關(guān)系.

圖1

【分析】要確定AB和AM的關(guān)系，只要將△EDC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°到△EAN的位置，并說明△MNB為直角三角形且MA為其斜邊中線即可.

【解】∵E為AD中點(diǎn)，在正方形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，∴將Rt△EDC繞點(diǎn)E 旋轉(zhuǎn) 180°后得Rt△EAN，則Rt△EDC≌Rt△EAN.∴AN=CD=AB.∴A為NB中點(diǎn).又∵F是CD中點(diǎn)，∴DF=CF,∠D=∠BCD=90°，BC=CD.∴ Rt△ EDC≌Rt△ FCB，∴∠CBF=∠DCE.又∵∠CBF+∠MFC=90°，∴∠DCE+∠MFC=90°.∴∠FMC=90°，即△NMB為直角三角形.∵A是NB中點(diǎn)，∴AM=AB.

二、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)

【例2】如圖2所示，在梯形ABCD中，DC∥AB，M、N分別為對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)（.1）判斷MN、AB、DC的位置關(guān)系；（2）簡述MN=（AB-DC）的理由.

圖2

【分析】解決中點(diǎn)問題，常利用中點(diǎn)作中心對(duì)稱圖形，進(jìn)而構(gòu)造全等三角形.

【解】（1）連接CN并延長，交AB于點(diǎn)E.∵N為BD 中 點(diǎn) ，∴DN=BN，∠DNC=∠ENB.∵DC∥AB，∴∠1=∠2.∴△DCN≌△BEN.∴CN=EN，DC=BE.在△CAE中，CN=EN，CM=AM，∴MN∥AB.（2）∵AE=

三、平行四邊形的中心對(duì)稱性

【例3】過?ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線EF、GH，分別與?ABCD四條邊交于E、F和G、H，如圖3所示.試判斷四邊形EGFH的形狀，簡述理由.

圖3

【分析】由題意可知，四邊形EGFH首先為平行四邊形，又因?yàn)镋F⊥GH，故為菱形.

【解】四邊形EGFH是菱形，理由是：∵四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴O是ABCD的對(duì)稱中心.∵GH過點(diǎn)O，交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，∴G、H是以O(shè)為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn).∴OG=OH.同理OE=OF，∴四邊形EGFH為平行四邊形.又∵EF⊥GH，∴?EGFH為菱形.

以上幾例是最為常見的幾種對(duì)稱變換，具有一定的代表性.“對(duì)稱變換，變而不變”，所謂變，是因?yàn)榘涯硞€(gè)圖形或其某一部分轉(zhuǎn)換到了一個(gè)新的位置；所謂不變，是指在變化中，被轉(zhuǎn)化部分的內(nèi)部結(jié)構(gòu)未變，而且與其他對(duì)象的內(nèi)在關(guān)系未變.