探究一道與三角形有關(guān)的高考題

□王 娟

2018年高考江蘇卷第13 題是一道與三角形有關(guān)的最值題.

例1在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為_(kāi)_______.

解法1：利用面積拆分相等.

圖1

因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△BCD，

化簡(jiǎn)得：ac=a+c.

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a 時(shí)等號(hào)成立.

解法分析：由于已知夾角的大小，所以直接從面積公式出發(fā)，利用面積相等，從而得到邊之間的關(guān)系式.

解法2：解析幾何法.

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)B與BA垂直的直線為y軸，建立如圖2所示平面直角坐標(biāo)系.

在平面直角坐標(biāo)系中，B（0，0），A（c，0），

因?yàn)锳，D，C三點(diǎn)共線，所以kAD=kCD，即

化簡(jiǎn)得：ac=a+c.

以下同法1.

當(dāng)然建系有多種建法，我們也可以以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)B與BD垂直的直線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.

圖3

利用三點(diǎn)共線同樣可以得到ac=a+c.

本題還有其他解法，這里就不一一詳述，主要針對(duì)直接運(yùn)用解三角形的方法和建立直角坐標(biāo)系的方法來(lái)探討一下關(guān)于這類題目的解法.

同樣類似的題目有：2011年南通一模第14 題：

例2已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為則該三角形面積的最大值為_(kāi)_______.

解法1：直接利用面積公式.

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖4所示.

圖4

設(shè)AB=AC=2a，由D是AB的中點(diǎn)，得到AD=DB=a.

該方法直接從余弦定理出發(fā)，結(jié)合面積公式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求最值.

解法2：解析幾何法.

以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立如圖5所示平面直角坐標(biāo)系.

圖5

9a2+b2=12，

當(dāng)且僅當(dāng)3a=b時(shí)，等號(hào)成立.

所以當(dāng)3a=b時(shí)，三角形面積最大值為2.

解法探究：由南通聯(lián)考題到高考題，這樣兩種思路整體建立在這兩個(gè)三角形本身有足夠特殊的地方，有異曲同工之處.比如例2 是一個(gè)等腰三角形，而例1 的三角形中有60°和120°這樣的特殊角，所以我們?cè)诔诉\(yùn)用最基本的解三角形的思路之外，考慮建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用解析幾何的方法可以更好更快速地解決問(wèn)題.我們?cè)诮馊切蔚念}目時(shí)，如果碰到三角形中存在特殊角，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題.