試析數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的具體體現(xiàn)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值究竟何在？這是學(xué)生經(jīng)常會問到的問題，也是多數(shù)教師難以回答的問題。進(jìn)入中學(xué)階段后，數(shù)學(xué)知識逐漸變得抽象起來，似乎與現(xiàn)實(shí)世界的需求脫離，學(xué)生有這種疑問不足為奇。其實(shí)，這是學(xué)生未真正認(rèn)識數(shù)學(xué)價(jià)值所在的表現(xiàn)。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)真正的可貴之處，是在數(shù)學(xué)的實(shí)踐之中。借用中科院報(bào)告中的一句話： “學(xué)科的強(qiáng)大生命力在于對社會進(jìn)步的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)也不例外。”因此，擁有一定的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，是學(xué)生不可或缺的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

簡單來講，數(shù)學(xué)實(shí)踐能力可以分為以下幾個方面。

一、綜合數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的知識解決問題的能力

數(shù)學(xué)課程是按照數(shù)學(xué)的科學(xué)體系和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行設(shè)計(jì)的，其中的數(shù)、圖、量、形等方面的內(nèi)容有密切的聯(lián)系。對學(xué)生來說，把握好數(shù)學(xué)知識的整體性，理解和領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，才能真正把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提高解決實(shí)際問題的能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生能有效綜合數(shù)學(xué)知識解決問題，提高其對數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的第一步。

數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用往往體現(xiàn)在知識的多重理解和使用上。實(shí)踐中，教師往往通過設(shè)置適當(dāng)?shù)睦}促進(jìn)學(xué)生知識的綜合。如下列試題：

求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數(shù)取得最小值的集合。

該題主要考查正弦定理、余弦定理，其中還滲透了三角函數(shù)式的恒等變形。本題的解答過程中用到了交換律和結(jié)合律，平方關(guān)系、二倍角正弦公式、余弦公式的逆用，化six2x+cos2x為一個角的三角函數(shù)公式，正弦函數(shù)y=Asin（wx+?）的性質(zhì)：最值及最值點(diǎn)集合等。題目雖然不難，但構(gòu)建了學(xué)科知識的內(nèi)部聯(lián)系，考查了學(xué)生綜合掌握數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

除了同一范疇內(nèi)數(shù)學(xué)知識 （幾何或代數(shù)）的綜合應(yīng)用，幾何與代數(shù)綜合應(yīng)用的考查也成了中高考的常態(tài)內(nèi)容。這類題目把代數(shù)的基本概念、性質(zhì)、思想方法與解析幾何的基本概念、性質(zhì)、思想方法等內(nèi)容融合在一起，大多數(shù)題目創(chuàng)意新穎、深刻，是對學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的考查。如下面的試題：

設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，證明存在一個三角形，它的邊長為試計(jì)算這個三角形的面積。

學(xué)生的解題思路通常是通過證明三個數(shù)中最大數(shù)小于其他兩數(shù)之和，從而證得三角形的存在。經(jīng)過嘗試后，發(fā)現(xiàn)本題用這一方法很難證明，海倫公式求面積法在此題中也很難運(yùn)用。

觀察三邊長的特征，我們很容易注意到，由勾股定理，很容易構(gòu)造一個邊長為a+b，c+d的矩形 （如下圖）：

在AD上取E，使AE=b，ED=a；在AB上取F，使由圖易知：

這樣，我們構(gòu)造的△EFC就是一個以題中三個數(shù)為邊長的三角形。其面積為：

這一解題過程，從代數(shù)問題到幾何問題，又從幾何問題回到代數(shù)問題，體現(xiàn)了學(xué)生綜合幾何與代數(shù)知識，多角度思考和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。這樣的數(shù)學(xué)解題過程，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的基礎(chǔ)。

二、將數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識結(jié)合的能力

數(shù)學(xué)與其他科學(xué)，尤其與自然科學(xué)的發(fā)展總是相輔相成的。如今，數(shù)學(xué)的應(yīng)用幾乎滲透到了每一個學(xué)科領(lǐng)域中。即使在社會學(xué)科、人文學(xué)科，也越來越多地用到數(shù)學(xué)知識及其思想方法。某種程度上來講，數(shù)學(xué)是一種通用的科學(xué)語言，也是解決其他學(xué)科問題的工具之一。

對學(xué)生而言，應(yīng)該該如何結(jié)合其他學(xué)科知識進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐？這就需要學(xué)生以科學(xué)的態(tài)度看待我們觀察到的現(xiàn)象。物理學(xué)中數(shù)學(xué)知識的重要性尤為突出。從最簡單的重力加速度的圖像 （一元二次方程），到振動圖線和波形圖，熱學(xué)中的p-V圖、p-T圖，以及電學(xué)中的I-U圖，我們利用數(shù)學(xué)知識可以分析這些圖像，兩個物理量用圖像表達(dá)是什么函數(shù)關(guān)系，圖像的切線、橫截距、縱截距、漸近線，圖像的斜率、交點(diǎn)，圖像與軸所圍的面積等分別代表什么含義。將物理?xiàng)l件、物理過程用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來，就屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，即學(xué)生在物理學(xué)科中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐的能力。高考物理試題中對學(xué)生物理與數(shù)學(xué)結(jié)合能力的考查也頻頻出現(xiàn)。

再以探究生物現(xiàn)象為例。在寒冷的冬天，貓睡覺時(shí)總是把身體縮成一個球形，這樣裸露在冷空氣中的表面積最小；蜘蛛絲結(jié)的八卦網(wǎng)既復(fù)雜又美麗，這種八角形的幾何圖案，即使我們用直尺和圓規(guī)也難畫得那樣勻稱。對這些自然現(xiàn)象的探究，就需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識。通過構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，可以定量地描述生命物質(zhì)運(yùn)動的過程，將一個復(fù)雜的生物學(xué)問題轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學(xué)問題。通過對數(shù)學(xué)模型的邏輯推理、求解和運(yùn)算，就能夠獲得客觀事物的有關(guān)結(jié)論，達(dá)到對生命現(xiàn)象進(jìn)行研究的目的。

三、在日常生活中實(shí)踐數(shù)學(xué)的能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》提出的十大核心詞之一 “應(yīng)用意識”，包含了兩個方面：一是有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題；二是認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，能夠用數(shù)學(xué)的方法解決。學(xué)生在生活中進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐，是培養(yǎng)應(yīng)用意識的基本途徑。數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)踐的結(jié)合，也是知與行的結(jié)合，學(xué)生可從中獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

日常生活中的數(shù)學(xué)實(shí)踐，首先體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)知識解決生活中遇到的問題上。我們在購物、繳費(fèi)、貸款時(shí)，商家為了提高銷售額，往往會提供多種付款方式或優(yōu)惠方案。作為消費(fèi)者，要認(rèn)真對比，仔細(xì)分析，學(xué)會運(yùn)用自己掌握的數(shù)學(xué)知識選擇最優(yōu)惠的方案。此外，在面臨某些決策的時(shí)候，也需要我們理性地用數(shù)學(xué)知識來輔助決策。例如：

有三家公司為大學(xué)生甲提供應(yīng)聘機(jī)會，按面試的時(shí)間順序，這三家公司分別記為A，B，C。每家公司都可提供 “極好” “好”和 “一般”三種職位。甲獲得極好、好和一般的可能概率依次為0.2，0.3和0.4，還有0.1的概率為沒有獲得職位，即沒有工資。三家公司的工資承諾表如下：

?

如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時(shí)，對該公司提供的各種職位應(yīng)作何種選擇？

在這一決策問題中，大學(xué)生甲必須綜合考慮三家公司的待遇問題，對其提供的職務(wù)、待遇和自己工作能力來判斷決策，比較三個公司提供的哪個職位使自己得到最多的工資待遇，而不是簡單地看哪家公司的極好職位工資最高。有了這樣的數(shù)學(xué)實(shí)踐意識，做出求職決策的時(shí)候才不會盲目。

日常生活中的數(shù)學(xué)實(shí)踐，還體現(xiàn)在將生活問題數(shù)學(xué)化上。教師可以通過提供真實(shí)可感的生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生掌握從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問題的方法，讓其感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。數(shù)學(xué)知識實(shí)踐既與學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)緊密相連，又可以讓學(xué)生通過自己的親身實(shí)踐，體驗(yàn)到生活中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

學(xué)生在長期的數(shù)學(xué)實(shí)踐中，逐步形成數(shù)學(xué)實(shí)踐的能力，明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的意義，自然會對探求數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生樂趣。如此，學(xué)生科學(xué)精神得以梳理，數(shù)學(xué)能力得到提高，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才不是一句空話。