基于Julia分形的多渦卷憶阻混沌系統(tǒng)?

肖利全 段書凱 王麗丹

1)(西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院,重慶 400715)

2)(非線性電路與智能信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400715)

1 引 言

1971年,Chua首次提出憶阻器[1];2008年,惠普實(shí)驗(yàn)室率先研發(fā)出憶阻器實(shí)物模型[2].自此,憶阻器在非易失存儲(chǔ)[3]、聯(lián)想記憶[4]、非線性電路與系統(tǒng)[5]等眾多領(lǐng)域有了廣泛的應(yīng)用.

分形[6?8]與混沌是緊密聯(lián)系的,雖然分形與混沌的起源不同,發(fā)展過(guò)程也不相同,但它們的研究?jī)?nèi)容在本質(zhì)上有著很大的相似性,混沌主要在于研究過(guò)程的行為特性,分形更著重于研究吸引子自身的結(jié)構(gòu).混沌吸引子也是分形集,而分形集便是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中那些不穩(wěn)定軌跡的初始點(diǎn)的集合.對(duì)混沌和分形這兩個(gè)領(lǐng)域的研究已碩果累累[9?14],Bouallegue[15]通過(guò)復(fù)雜的分形網(wǎng)絡(luò)及變換產(chǎn)生混沌吸引子,作為聯(lián)系如此緊密的兩個(gè)學(xué)科,將分形與混沌系統(tǒng)相結(jié)合的研究是有意義的.

基于此,本文探索分形與混沌系統(tǒng)的結(jié)合,將經(jīng)典的Julia分形過(guò)程及其變形應(yīng)用于憶阻混沌系統(tǒng)中,數(shù)值仿真結(jié)果表明,它能產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子,而且它的渦卷數(shù)可通過(guò)參數(shù)很好地進(jìn)行控制.在已有的產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法中,如分段線性函數(shù)[16]、階躍函數(shù)[17]、正弦函數(shù)[18]、開關(guān)流形[19?21]、時(shí)滯飽和序列[22?25],這些使用功能函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法,使混沌系統(tǒng)變得不光滑,而將分形過(guò)程應(yīng)用于混沌系統(tǒng)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法,則彌補(bǔ)了這一不足.

本文第2部分構(gòu)建了一個(gè)新的憶阻混沌系統(tǒng),并對(duì)它的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析,驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌特性;第3部分將Julia分形過(guò)程、帶系數(shù)的Julia分形過(guò)程、高階Julia分形過(guò)程和多項(xiàng)式Julia分形過(guò)程分別應(yīng)用到本文提出的憶阻混沌系統(tǒng)中,得到了復(fù)雜多變的混沌吸引子,如環(huán)形多渦卷混沌吸引子,還討論了分形過(guò)程中一個(gè)復(fù)常數(shù)的影響,通過(guò)改變復(fù)常數(shù)的取值,能夠得到多種形狀的混沌吸引子,如趨于分離狀的多渦卷混沌吸引子;第4部分是本文的總結(jié).

2 新憶阻混沌系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

2.1 新憶阻混沌系統(tǒng)的提出

本文構(gòu)建了一個(gè)新的憶阻混沌系統(tǒng),可由以下方程描述:

其中,a,b,c,d,e為系統(tǒng)參數(shù);u,v,w為狀態(tài)變量.h(·)滿足二氧化鈦憶阻器的磁通與電荷之間的關(guān)系,可表示為[12]

2.2 動(dòng)力學(xué)特性

2.2.1 對(duì)稱性和不變性

觀察系統(tǒng)方程(1)不難發(fā)現(xiàn),在坐標(biāo)變換(u,v,w)→(?u,?v,w)下,系統(tǒng)(1)的微分方程保持不變.也就是系統(tǒng)(1)關(guān)于w軸對(duì)稱.

2.2.2 耗散性

將系統(tǒng)(1)改寫成下面的矢量形式:

向量場(chǎng)F(X)在R3上的散度為

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子 (a)三維圖;(b)u-v平面;(c)u-w平面;(d)v-w平面Fig.1.Attractor of system(1):(a)Three-dimensional view;(b)u-v plane;(c)u-w plane;(d)v-w plane.

對(duì)于系統(tǒng)(1),它的散度可以計(jì)算為?F=1?a?b.當(dāng)1?a?b<0時(shí),?F0.體積(V)的收縮速率為

求解可得

系統(tǒng)的體積元以指數(shù)形式快速縮減到0.本文所選取的參數(shù)a=8,b=5,則?F=1?a?b=?12<0,故系統(tǒng)(1)是耗散的.當(dāng)t→∞時(shí),每個(gè)體積元組成的系統(tǒng)軌道以指數(shù)(1?a?b)縮小到0.因此,系統(tǒng)的所有軌跡被限制在一個(gè)包含零體積的有限集內(nèi),且收斂到一個(gè)零體積的吸引子上.

2.2.3 系統(tǒng)平衡點(diǎn)

為了得到系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn),令方程(1)中的可得

求得系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000,e=12時(shí),有三個(gè)平衡點(diǎn)S1(0,0,0),S2(3.9129,0.4053,5.1036)和S3(?3.9129,?0.4053,5.1036).

系統(tǒng)(1)線性化的Jacobian矩陣為

將平衡點(diǎn)S1代入(8)式,得到系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)S1處的特征值λ1=?13.5125,λ2=6.5152,λ3=?3.λ1和λ3為負(fù)實(shí)根,λ2為正實(shí)根,故平衡點(diǎn)S1是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).

在平衡點(diǎn)S2(3.9129,0.4053,5.1036)處,求得其特征值為λ1=?10.4769+10.1340i,λ2=?10.4769?10.1340i,λ3=10.9537.λ1和λ2為一對(duì)共軛復(fù)根,λ3為正實(shí)數(shù),故平衡點(diǎn)S1是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn).

同理,可求出在S3(?3.9129,?0.4053,5.1036)處的特征值為λ1=?10.4769+10.1340i,λ2=10.4769?10.1340i,λ3=10.9537.平衡點(diǎn)S3和S2具有相同的特征值,故S3也是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn).

2.2.4 Lyapunov指數(shù)和分?jǐn)?shù)維

眾所周知,Lyapunov指數(shù)是分析動(dòng)力系統(tǒng)非線性行為的一種方法,實(shí)際上它測(cè)量了相空間中運(yùn)動(dòng)軌跡的收斂或發(fā)散的指數(shù)率.如果系統(tǒng)至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)是正的,那么該系統(tǒng)可以被視為混沌系統(tǒng).當(dāng)初始狀態(tài)為(u,v,w)=(1,1,1),且系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000,e=12時(shí),得到如圖2所示的系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜,相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)值分別是LE1=1.3078,LE2=?0.0011028,LE3=?11.3067.

圖2 系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2.Lyapunov exponent spectrum of system(1).

此外,在Lyapunov指數(shù)譜的基礎(chǔ)上,可以得到Lyapunov維數(shù).Lyapunov維數(shù)的定義為

其中j是滿足的最大整數(shù).Lyapunov維數(shù)用來(lái)衡量混沌吸引子的幾何標(biāo)度性質(zhì)或復(fù)雜性.在系統(tǒng)(1)中,在誤差允許的范圍內(nèi),LE1>0,LE2≈0,LE3<0且|LE1|<|LE3|,所以有j=2且代入(9)式,可得DL=2.1156,混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)大于2且小于3.吸引子的分?jǐn)?shù)維性質(zhì),不僅意味著該系統(tǒng)具有非周期軌道,而且說(shuō)明了不同條件下的軌跡處于分離狀態(tài).

2.2.5 功率譜

圖3為系統(tǒng)(1)的功率譜圖,從圖中可以看出,功率譜是連續(xù)的,且伴隨有尖峰出現(xiàn),可判定運(yùn)動(dòng)處于混沌狀態(tài).

圖3 系統(tǒng)(1)的頻譜圖Fig.3.Power spectrum of system(1).

3 新憶阻混沌系統(tǒng)在分形中的應(yīng)用

本節(jié)將憶阻混沌系統(tǒng)與分形相結(jié)合,得到能產(chǎn)生多渦卷的憶阻混沌系統(tǒng).數(shù)值仿真結(jié)果表明,該方法是可行的和有效的.與其他產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法相比,通過(guò)分形過(guò)程產(chǎn)生的多渦卷混沌吸引子的方法,能較好地調(diào)整混沌系統(tǒng)的渦卷數(shù).

3.1 通過(guò)Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

在Julia分形式中,Zn=xn+iyn,Zn+1=xn+1+iyn+1和Z0=x0+iy0都是復(fù)數(shù),Z0是復(fù)常數(shù).這里先不討論Z0,本文將在3.5節(jié)統(tǒng)一討論復(fù)常數(shù)Z0.則有

在三維坐標(biāo)系(u,v,w)的u和v之間加入分形過(guò)程,即在映射(x,y,z)→(x2?y2,2xy,z)中,令u=x2?y2,v=2xy,w=z,則有

得到關(guān)于x,y,z的系統(tǒng)方程為

將方程(1)代入(12)式中,有

得到產(chǎn)生多渦卷混沌系統(tǒng)方程為

圖4為系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000和e=12時(shí)系統(tǒng)(14)的相圖.

圖4 系統(tǒng)(14)的混沌吸引子 (a)三維圖;(b)x-y平面;(c)x-z平面;(d)y-z平面Fig.4.Attractor of system(14):(a)Three-dimensional view;(b)x-y plane;(c)x-z plane;(d)y-z plane.

3.2 帶系數(shù)的變形Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

現(xiàn)在,考慮給Julia分形表達(dá)式的項(xiàng)乘以一個(gè)系數(shù)k,得到一個(gè)變形的Julia分形:

此時(shí),映射矩陣為

采用與3.1節(jié)相同的方法,得到新的混沌系統(tǒng)方程:

圖5為系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000和e=12,k取不同值時(shí),系統(tǒng)(17)在x-y平面的相圖.此時(shí),k均取正實(shí)數(shù).從圖5可以看出,k的不同取值只會(huì)改變混沌吸引子的尺寸大小,不會(huì)改變吸引子的形狀,且k越大時(shí),系統(tǒng)(17)相圖的尺寸越小,吸引子越聚合.

3.3 高階Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

在Julia分形修改為得到廣義高階Julia分形

考慮m>3,則3.1節(jié)中的映射變?yōu)?x,y,z)→(Re[(x+iy)m],Im[(x+iy)m],z),且有u=Re[(x+iy)m],v=Im[(x+iy)m],w=z,故產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的系統(tǒng)方程為

這里分別為

圖5 k取不同值時(shí)系統(tǒng)(17)在x-y平面的相圖 (a)k=2;(b)k=10;(c)k=100;(d)k=1000Fig.5.Chaotic attractors at x-y plane of system(17)at the different parameter k:(a)k=2;(b)k=10;(c)k=100;(d)k=1000.

圖6 多渦卷混沌系統(tǒng)的吸引子 (a)m=3時(shí),6渦卷混沌系統(tǒng);(b)m=4時(shí),8渦卷混沌系統(tǒng);(c)m=5時(shí),10渦卷混沌系統(tǒng);(d)m=10時(shí),20渦卷混沌系統(tǒng)Fig.6.Attractors of multi-scroll chaotic system:(a)m=3,a 6-scroll chaotic system;(b)m=4,a 8-scroll chaotic system;(c)m=5,a 10-scroll chaotic system;(d)m=10,a 20-scroll chaotic system.

u和v的完整表達(dá)式為大量的仿真結(jié)果表明,當(dāng)m取大于1的正整數(shù)時(shí),都能得到多渦卷混沌系統(tǒng).圖6為系統(tǒng)參數(shù)a=8,b=5,c=3,d=100000和e=12時(shí),m分別取3,4,5,10時(shí),(19)式所表示的混沌系統(tǒng)在x-y平面的吸引子圖.

3.4 多項(xiàng)式Julia分形產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)

在Julia分形的基礎(chǔ)上,把分形迭代式更改為多項(xiàng)式形式:

其中運(yùn)用相同的方法,將此迭代關(guān)系式應(yīng)用于系統(tǒng)(1)中.為了更好地研究項(xiàng)在迭代式中的作用,進(jìn)而影響通過(guò)(24)式所產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng),簡(jiǎn)單起見(jiàn),取pj=1/L,即p1=p2=···pL=1/L.與前面3.1節(jié)、3.2節(jié)和3.3節(jié)的討論類似,先不考慮Z0對(duì)系統(tǒng)的影響,即令Z0=0.關(guān)于Z0對(duì)系統(tǒng)的影響,統(tǒng)一在3.5節(jié)中討論.下面對(duì)L取不同值時(shí)的新混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真,圖7為L(zhǎng)取不同值時(shí)的多渦卷混沌吸引子在x-y平面相圖.

仔細(xì)觀察上面的迭代(24)式,不難發(fā)現(xiàn),pj的取值也對(duì)產(chǎn)生的多渦卷混沌系統(tǒng)有較大影響.當(dāng)p1=1時(shí),對(duì)于2jL,都有pj=0,通過(guò)分形產(chǎn)生的混沌系統(tǒng)即為原始系統(tǒng)(1).當(dāng)p2=1時(shí),對(duì)于1jL且j2都有pj=0,通過(guò)分形產(chǎn)生的系統(tǒng)就是3.1節(jié)中的系統(tǒng)(14).當(dāng)3kL,k∈N+,pk=1時(shí),對(duì)于1jL且jk,都有pj=0,這就和3.3節(jié)系統(tǒng)(19)相同(此時(shí),3.3節(jié)中的參數(shù)m就相當(dāng)于這里的參數(shù)k).

3.5 復(fù)常數(shù)Z0對(duì)系統(tǒng)的影響

前文主要討論了Julia分形中指數(shù)項(xiàng)的作用,讓Z0=0.本節(jié)著重討論復(fù)常數(shù)Z0取不同值時(shí),對(duì)混沌系統(tǒng)的影響.考慮Z0=x0+iy00,將它代入u和v的表達(dá)式中,更新u和v的值.

對(duì)于3.1節(jié)的u和v,有

對(duì)于3.2節(jié)的u和v,有

在3.3節(jié)中,就有

同理,對(duì)于3.4節(jié)中的u和v,有

這里,同樣取pj=1/L,j=1,2,···,L.圖8反映了Z0取不同值時(shí),對(duì)混沌系統(tǒng)的影響.

圖7 L取不同值時(shí)的混沌吸引子 (a)L=2;(b)L=3Fig.7.The chaotic attractors at x-y plane with different L:(a)L=2;(b)L=3.

圖8 Z0取不同值時(shí),系統(tǒng)在x-y平面的相圖 (a)(25)式,Z0=1+0.5i;(b)(26)式,k=2,Z0=3?0.1i;(c)(27)式,m=3,Z0=?3.5?1.2i;(d)(28)式,L=3,p=1/3,Z0=?1+0.5iFig.8.Chaotic attractors at x-y plane with different Z0:(a)Eq.(25),Z0=?1+0.5i;(b)Eq.(26),k=2 and Z0=3?0.1i;(c)Eq.(27),m=3 and Z0=?3.5?1.2i;(d)Eq.(28),L=3,p=1/3,Z0=?1+0.5i.

4 結(jié) 論

憶阻器作為一種體積小、功耗低的新型元件,在混沌電路中有著較高的應(yīng)用價(jià)值.本文新構(gòu)建了一個(gè)基于磁控二氧化鈦憶阻器的三維憶阻混沌系統(tǒng),通過(guò)分析系統(tǒng)的對(duì)稱性、耗散性、平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、功率譜、Lyapunov指數(shù)和分?jǐn)?shù)維,對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析,從而驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌特性.此外,本文還嘗試著將經(jīng)典的Julia分形過(guò)程及其變形應(yīng)用于混沌系統(tǒng)中,產(chǎn)生了豐富的多渦卷混沌吸引子,不僅彌補(bǔ)了通過(guò)功能函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的不足,而且其渦卷數(shù)能隨著某些參數(shù)的變化而變化.改變Julia分形及其變形中復(fù)常數(shù)的值,能得到不同形狀的混沌吸引子.這也為進(jìn)一步研究分形與混沌系統(tǒng)的結(jié)合提供了參考.

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