激光調頻連續波測距的精度評定方法研究?

潘浩 曲興華 史春釗 李雅婷 張福民

(天津大學,精密測試技術及儀器國家重點實驗室,天津 300072)

1 引 言

工業制造快速發展的今天,人們對可測量對象的測量速度、測量精度、表面質量的需求越來越高.新一代工業測量的需求朝著快速、高精度、漫反射表面對象測量發展.目前,針對漫反射目標測量的方法主要有立體視覺成像技術[1]、脈沖式激光成像技術[2]、調頻連續波(frequency modulated continuous wave,FMCW)測量技術[3].其中,立體視覺成像技術成本低,技術成熟,可拓展性強,對近距離漫反射表面對象測量具有很好的成像效果.但是,該方法的成像效果依賴于照片的質量,對于白色發光表面和光滑表面以及物體邊緣,其成像質量較差.脈沖式激光成像技術,也稱時間飛行(time of flight,TOF)法測量技術,常用于遙感監測、機載激光雷達、無人汽車等領域.TOF法測量技術測量原理簡單,系統簡便.但是,其測量的精度主要取決于計數電路的精度,故很難突破厘米級精度的限制.FMCW激光測量技術,其測量原理是將包含距離信息的回波信號與本振信號進行拍頻,通過解調拍頻信號,即可獲取目標的距離信息.FMCW這種外差式探測的方式,讓微弱信號的探測成為可能,進而也讓漫反射目標的測量成為可能.2014年,美國國家標準與技術研究院Baumann等[4]在實驗室搭建了一套光頻梳校正過的FMCW激光雷達測距系統,在4 m范圍內實現了對直徑為75μm的仙人掌掃描測量,測量精度達到了亞微米量級.2015年,美國蒙大拿大學Mateo和Barber[5]基于FMCW激光測距的原理,采用三邊測量法對距離為1.5 m的多個不同形狀的加工鋁板進行了掃描測量,重復性精度為100—200μm.近些年來,FMCW測量技術還被應用到光頻域反射計領域,用于光纖網絡的監測和測量[6];應用到合成孔徑雷達,用于目標的三維成像[7];以及應用到醫學的光學相干層析,用于病體組織的無損掃描[8]等.

相比于其他測量技術,激光調頻干涉技術無需靶標或者標記點,能夠快速測量漫反射體的表面信息,而且測量精度能達到微米量級.然而,受制于連續波光源穩定性的影響,激光頻率不能線性地進行變化,導致回波信號與本振信號的拍頻不穩定、分辨力下降,從而無法正確解算出距離信息.為了解決這個問題,國內外學者主要從兩個方向展開了大量的研究.其一,采用主動線性控制技術對光源進行反饋控制.2010年,美國蒙大拿大學的Roos等[9]采用光纖自外差技術,搭建了一套閉環鎖相系統.并根據帶寬大小分別將誤差信號反饋至不同的調頻控制組件(如,電機、壓電陶瓷、注入電流端口等)進行頻率控制,實現了5 THz大帶寬的頻率穩定性控制,線性度達到了34 ppb(1 ppb=10?9).實驗表明,經過線性化后,系統的測距分辨力提高到了31μm,1.5 m測量范圍內的重復性精度達到了86 nm.2011年,蒙大拿大學Barber等[10]采用更高精度和穩定度(10?12)的光學頻率梳作為校正尺子,將啁啾線性度提高到了15 ppb.2015年,上海交通大學Qin等[11]基于超短延遲Mach-Zehnder干涉儀,搭建了一套大帶寬鎖相系統,用于線性調頻控制.為了消除鎖相后殘余的相位誤差,采用了數字相位補償技術,在不犧牲分辨力的前提下,將激光器的相干長度提高了60倍.實驗表明,利用搭建的鎖相環系統可以在8μs時間內實現DFB激光器80 GHz頻率控制,頻率誤差僅小于55 kHz.其二,采用后處理技術,也稱之為“等光頻重采樣技術”.

為了減小插值帶來的誤差影響,2008年,科羅拉多大學Moore和Mcleod[12]提出采用長延遲光纖重采樣方法,分析了等光頻雙路延遲不匹配帶來的測距誤差影響,通過在測量信號端引入光學延遲線的辦法,將測量信號的相位誤差降低至0.2 mrad.2009年,比利時蒙斯理工學院Yüksel等[13]提出采用短光纖延遲進行重采樣的方法,將測得的“光頻-時間”進行線性插值,找到等頻率間隔點以滿足奈奎斯特采樣定理,然后,根據這些等光頻點對測量信號進行重采樣,得到了信噪比較高的距離譜.實驗表明,經重采樣之后的距離分辨力提高了30倍.2017年,哈爾濱工業大學的Liu等[14]基于長光纖等光頻采樣技術,分析了光纖色散對重采樣測距的影響,并采用光學自聚焦函數模型,利用數據迭代的方法來尋找最佳的相位補償值,以此來修正色散引起的頻譜畸變.對距離為3.89 m的目標進行40 nm掃描測量,經色散補償后分辨力達到了32.2μm.本課題組自2012年開始了激光FMCW測距技術的研究,主要對FMCW測距原理[15]、重采樣分析方法優化[16,17]以及測距系統儀器化等方面進行了研究.本文以此為基礎,針對目前出現較多的FMCW測距改進方法,提出了一種精度評定方法,即引入統計信號估計理論的克拉美-羅不等式對不同測距方法進行精度評定.該方法分析了影響測距精度的因素,可為后續優化測量方案以及提高測量精度提供理論指導.

2 測量原理

2.1 三角波調制下的測距原理

FMCW激光器由于內部受到壓電陶遲滯特性、光源相位噪聲等影響,其輸出光頻在理論上并非理想的線性變化.外腔可調諧式激光器出射激光的頻率可以表示為

其中,f0是初始頻率,γ是頻率調制速度,enon(t)是偏離理想線性掃頻的頻率非線性誤差.若忽略激光源的電場強度變化,其出射光的電場可表示為

式中,E0為出射電場的振幅,?non(t)是偏離理想線性掃頻的相位誤差,?0是初始相位.出射光信號經過3 dB分束器后一路作為本振(local oscillator,LO)光,另外一路作為測量光路,經目標表面返回與LO光拍頻,在探測器表面干涉產生拍頻信號,因光電探測器只能響應光功率變化,若考慮到探測器的噪聲,則光電探測器探測到的信號強度可表示為

其中表示對電場關于時間求平均值,I1為測量光路的信號強度,I2為LO光路的信號強度,τm為空間距離延遲,φnon(t,τm)為非線性掃頻的相位差,υ為掃頻激光器的瞬時頻率,Is為探測器自帶的光功率響應噪聲.

為了解決光源非線性掃頻的問題,常常采用雙光路干涉FMCW測距.其中的另外一路稱為輔助干涉光路,通常采用馬赫-曾德爾干涉儀(Mach-Zehnder interferometer,MZI)結構設計,因其具有光濾波特性以及與測量光路具有相同的時頻特性,故其自由光譜范圍(free spectral range,FSR)可用來對主光路信號進行重采樣.

調頻光源的出射光經過MZI的兩臂:一路接延遲單模光纖,另外一路用作本振,兩束光分別經3 dB耦合器耦合再送入平衡探測器(balanced photodetector,BPD)的兩端,將兩光路信號相減,去除直流,消除共模噪聲,得到的拍頻信號可表示為[18]

(4)式中,η為平衡光電探測器的量子效率,ISO為MZI延遲端的信號強度,ILO為本振端的信號強度,τd為光纖延遲,IBs為BPD自帶的光功率響應噪聲.由(3)和(4)式可知,主測量光路與輔助測量光路的拍頻有著相同的時頻特性.若選取MZI拍頻信號的峰谷值點為重采樣時鐘點,即相鄰兩時鐘點的頻率間隔為δυ=0.5FSR≈0.5/τd,則采用時鐘信號可表示為

若不考慮光纖色散,(3)式經過(5)式重采樣之后,其表達式為

由(6)式可以看出,重采樣之后的信號是一個單頻信號,對其進行快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT),得其距離頻譜.其測量距離可表示為

其中,k為FFT之后峰值對應的位置,N為重采樣之后的數據點數,c為真空光速,Rd為MZI的延遲光纖長度,nd為延遲光纖的有效折射率,nair為空氣折射率,在計算中忽略.

2.2 正弦調制下的測距原理

如果激光源的光頻受到正弦調制驅動,則其瞬時光頻可表示為

其中,?B為光頻調制范圍,fmod為光頻的調制頻率.

忽略激光源的電場強度變化,其出射光的電場可表示為

出射光經目標表面反射回來之后與LO光路拍頻,被探測器接收,考慮探測器的噪聲,則拍頻的信號強度可表示為

通常,測量范圍小于20 m,所以τm<7×10?8s,并且調制頻率fmod<105Hz,則fmodτm?1,sin(πfmodτm)≈πfmodτm,sin[2πfmod(t?τm/2)]≈sin(2πfmodt).

這樣,(10)式可近似表示為

這里,光頻變化速率為:γ=π?Bfmodsin(2πfmodt)6 π?Bfmod.

同理,若選取MZI的峰谷值作為時鐘信號點,忽略光纖色散影響,則(11)式可表示為

由(12)式可知,不管是三角波調制還是正弦調制,重采樣之后的信號都是一個單頻信號.因此,正弦調制下的待測距離也可用(7)式表示.

3 距離估計的克拉美-羅邊界

在對FMCW測距信號進行處理時,常常采用FFT對拍頻信號進行頻譜分析.然而,如何判斷評估頻率參量的好壞?怎樣得到具有最小方差的無偏估計?在統計學中常用克拉美-羅下界(Cramer-Rao lower bound,CRLB)來獲取期望的方差下界.CRLB由羅(Rao)1945年提出,并由克拉美(Cramer)加以完善,其指出:任何無偏估計量的方差必定大于等于CRLB,可表示為[19]

其中,J為費希爾(Fisher)信息矩陣,(J?1)ii表示M×M維矩陣的第i行第i列元素,u為未知參量的矢量,p為似然函數,待估計參量ui的無偏估計為i,E{·}表示求期望.

由上一節推導公式可知,待測距離信息可由(6)和(12)式確定.為了方便計算,去除直流,則雙光路FMCW測距系統的干涉信號可簡化表示為

其中,Pb為拍頻交流項的信號強度,fres(fres<1/2)為重采樣之后的信號頻率,θ0為初始相位;這里假設探測器的噪聲Is屬于高斯白噪聲,滿足分布忽略空氣色散,空間待測的距離可表示為

電影《寶貝兒》是由侯孝賢監制，劉杰導演，楊冪、郭京飛主演的具有紀實風格文藝電影。電影講述了患有先天性無肛的寄養女孩江萌在醫院擔任義工工作時，遇到了具有相同病癥的新生兒，但是孩子的父親徐先生卻拒絕給孩子治療，將生命垂危的孩子送到了老年康復中心“等死”。焦急萬分的江萌通過勸說徐先生、報假警以及到康復中心偷孩子等方式，試圖挽救孩子的生命，但最終都以失敗告終。影片講述的是情感與拯救的古老母題，再現了江萌與寄養母親之間的深厚親情，與跛腳不會說話的朋友小軍之間朦朧的愛情，以及她與自己具有相同厄運的患兒融為一體的情感寄托。

構建未知參量fres的似然函數方程:

為了方便計算,令s(k)=Pbcos(2πfresk+θ0),并將似然函數取對數,則其關于未知參量fres的二階偏導數可表示為

對(17)式求數學期望可得

代入s(k),根據(13)式可知,關于fres的CRLB可表示為

假設是a的有效估計,要求估計g(a)=ma,現在選擇g()=m,則E(g())=mE()=ma=g(a),因此g()是無偏估計.根據(15)式,關于待測距離Rm的CRLB可表示為

為了方便計算CRLB,定義信號功率譜(power spectrum density,PSD)的信噪比RSN為單邊譜主峰信號平均值與噪聲的期望方差之比,即

這里信號長度N?1,代入(21)式,則(20)式可簡化為

其中,δR為傅里葉極限距離分辨力,δR=c/2B.

將(23)式代入(22)式可得到CRLB邊界值為

因此,無論是正弦調制、還是三角波調制的雙光路激光FMCW測距,其測距精度評定均有一個極限邊界,該邊界可由(24)式表示.式中,CRLB的邊界大小由掃描帶寬B以及系統的信噪比RSN決定.需要注意的是,CRLB只是雙光路FMCW測距精度的極限,我們無法達到這個邊界值,只能無限地接近這個值.因此,可以根據測量精度與CRLB的差值來判斷測量的可靠性.根據這個邊界,原則上可以通過無限增大掃頻帶寬和系統的信噪比,來不斷提高測距精度.而現實中,受制于系統有源器件噪聲,如散粒噪聲的限制,信噪比有一個極限值,從而精度也會出現一個極限值.根據以上分析,適當地增加掃描帶寬,選擇噪聲較小的探測器等方法,可以提高測距精度.

4 實 驗

由前面的討論分析可知,無論是三角波調制還是正弦波調制的等光頻重采樣測距系統,其測距精度都可以用一個統一的公式(24)式來表示.為了驗證本評定方法,采用正弦調制等光頻測距方案,搭建的測距系統如圖1所示.實驗所選用的光源是New Focus公司的外腔式可調諧光源TLB-6728,受到激光器內部壓電陶瓷響應帶寬的限制,設置正弦調制帶寬為6 GHz,外部驅動信號的調制頻率為1 kHz,輔助干涉光路的光纖延遲長度為80.3 m,因而等光頻重采樣的間隔為1.27 MHz.測量目標為角錐棱鏡.實驗裝置主要分為三部分:絕對距離測量光路、時鐘觸發光路和波長監測光路.其中的波長監測光路使用經溯源過的Wavelength References公司的標準氣體吸收腔(HCN-13-H(16.5)-25-FC/APC),目的是用于波長監測[20].三路的信號分別被探測器(Thorlabs PDA10CS-EC)和BPD(Thorlabs PDB450C-AC)接收,并送入示波器(LeCroyWaveRunner 640zi)中采集.為了確定CRLB的參數,首先要確定實際中掃過的帶寬,可以先通過對輔助拍頻信號進行希爾伯特變換,然后對兩正交信號求相位,繼而進行相位解卷裹即可獲取光頻曲線,如圖2所示.從圖2可以看出,時頻曲線是一條近似正弦的調頻曲線,根據曲線可求出實際掃頻的有效帶寬B為6.139 GHz.因而可求得δR=c/(2B)=24.417 mm.

根據(24)式可知,信噪比是判斷測距精度的關鍵因素.信噪比越高,表明回波接收效率越高,從而拍頻效率也就越高,因此解算出的距離譜峰離噪聲水平帶的距離也就越遠,如圖3所示.這里信噪比的估算是通過計算信號PSD主峰的平均功率與噪聲方差之比得到的.圖3所示為信噪比為36 dB時實測信號和模擬信號的PSD,可以看出,實際信號在主峰附近出現幅度較小的偽峰,其中靠近左側部分主要是由于激光器內部調頻部件的低頻噪聲以及準直器端面反射的回光與LO光拍頻導致.右側出現了矮峰可能是激光器內部的高頻噪聲以及外部正弦輸入信號源的諧波噪聲引起的.

圖1 實驗裝置圖Fig.1.Experimental setup.

圖2 時頻曲線Fig.2.Chirp curve.

圖3 模擬信號(黑色)和實驗信號(粉色)的PSDFig.3.PSD of simulated data(black)and experimental data(pink).

為了驗證多個位置的重復性精度邊界,將目標角錐棱鏡放置在電學導軌位移臺(GCD-302004M)上,每隔50mm測量一個位置,一共測量9個位置.然后分別用直接FFT、樣條插值、補零的方法進行距離估算.9個不同的位置測得的信噪比如圖4所示.從圖4可以看出,在相對距離為100和400 mm的位置,有較大的信噪比,分別為37.7和38.2 dB.根據(24)式的預測,在這兩個位置處會有較高的測距精度.而三種方法實驗估算得到的距離均方差如圖5所示.從圖5可見,這兩處的位置有較小的距離均方差,分別為573和557μm,這兩個位置對應算出的CRLB的平方根為546和544μm,從而印證了之前的預測.

圖4 不同位置處估算的信噪比Fig.4.Signal-to-noise ratios of range peaks in different places.

圖5 不同方法的均方根誤差比較Fig.5.Comparison of root mean square errors obtained by different methods.

5 討 論

前文主要驗證了距離分辨力和信噪比共同作用下,測距精度出現了一個極限邊界.以這個邊界作為系統可達到的測距精度評判標準,通過改善測距估算方法,可以使得測距精度曲線無限接近這個邊界值.以上實驗的驗證只是驗證了極限分辨力在24 mm,信噪比范圍在35—38dB的情形,下面主要討論不同信噪比和分辨力下,測距系統可達到的測量精度估計.如圖6所示,分別設置不同的信噪比18,38,68,108 dB,仿真求得分辨力從20μm到1.6 mm變化下測距精度的變化曲線.隨著信噪比的提升,測距均方差逐漸減小.在分辨力為540μm,即掃描帶寬在2.2 nm,當測量光路的信噪比增加至70 dB以上時,FMCW測距系統即可獲得低于10μm的測距精度.而提高測量光路信噪比的方法主要有增加光源的發射功率、優化光纖耦合裝置的設計、選用噪聲小的光電探測器等.

圖6 不同信噪比下的“分辨力-距離均方差”仿真圖Fig.6.Simulations of range standard deviation versus resolution under different signal-to-noise ratios.

測量儀器的測量速度可以定義為:vmea=1/Tupdate,這里Tupdate為數據更新時間.對應在FMCW雙光路測距系統當中,這個更新時間可以表示為:Tupdate=B/vscan=c/(2·δR·vscan),其中vscan代表激光器的掃描速度.根據(24)式的關系,測定本實驗測量系統的信噪比在38 dB左右波動,在不同掃頻速度下,對不同測量速度可達到的測距精度進行仿真,結果如圖7所示.從圖7可以看出,隨著測量速度的提高,對應的測距均方差開始變大.雖然通過提高激光器掃描速度的方法可以進而提高測距精度,但是根據圖7所示的關系,測量速度在1 pts/s,激光器掃描速度在1000 nm/s情況下,要想實現10 nm的測距精度,就需要掃描1000 nm的頻率帶寬.如此大的帶寬,光纖色散和空氣色散的影響將會十分嚴重,補償起來也將十分困難.不僅如此,若選取采集卡的采樣率為500 MS/s,單次測量則需要存儲500M個點,這勢必也會增加后處理系統的計算負擔.因此,后續可以根據圖7中的關系曲線,選擇合適的掃描帶寬、掃描速度,有效地提高系統測距精度.還有一種辦法是采用現場可編程門陣列技術手段對信號進行實時處理.

圖7 不同調諧速度下的“測量速度-距離均方差”仿真圖Fig.7.Simulations of range standard deviation versus measuring speed under different chirp rates.

6 結 論

本文基于雙光路重采樣技術的調頻測距原理,詳細推導了在考慮噪聲的前提下,不同調制方式下的重采樣后的測距公式,以及其距離估算的CRLB.以此為基礎,分析了影響測量精度的兩個因素,即掃描帶寬和信噪比,并得到了實驗驗證.實驗表明,該距離估算邊界不會受到距離估算方法的影響,通過該邊界可以確定不同距離估算方法的性能.不僅如此,還對不同掃描帶寬和信噪比下的測量場景的測距精度做了仿真預測,并提出了參考解決方法.該精度評定方法可以為改善FMCW測距系統性能提供理論參考.

參考文獻

[1]Scharstein D,Szeliski R 2003Proceedings of the 2003 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern RecognitionMadison,USA,June 18–20,2003 p195

[2]Miller M E,Lefsky M,Pang Y 2011Remote Sens.Environ.115 298

[3]Cabral A,Rebordao J 2007Opt.Engin.46 073602

[4]Baumann E,Giorgetta F R,Deschênes J D,Swann W C,Coddington I,Newbury N R 2014Opt.Express22 24914

[5]Mateo A B,Barber Z W 2015Appl.Opt.54 6019

[6]Weid J P,Passy R,Mussi G,Gisin N 1997J.Lightw.Technol.15 1131

[7]Li G,Wang R,Song Z,Zhang K,Wu Y,Pan J 2017Appl.Opt.56 3257

[8]Chen Y,Aguirre A D,Hsiung P L,Huang S W,Mashimo H,Schmitt J M,Fujimoto J G 2008Opt.Express16 2469

[9]Roos P A,Reibel R R,Berg T,Kaylor B,Barber Z W,Babbitt W R 2009Opt.Lett.34 3692

[10]Barber Z W,Giorgetta F R,Roos P A,Coddington I,Dahl J R,Reibel R R,Green field N,Newbury N R 2011Opt.Lett.36 1152

[11]Qin J,Zhou Q,Xie W,Xu Y,Yu S,Liu Z,Tong Y,Dong Y,Hu W 2015Opt.Lett.40 4500

[12]Moore E D,Mcleod R R 2008Opt.Express16 13139

[13]Yüksel K,Wuilpart M,Mégret P 2009Opt.Express17 5845

[14]Liu G,Xu X,Liu B,Chen F,Hu T,Lu C,Gan Y 2017Opt.Commun.386 57

[15]Shi G,Zhang F,Qu X,Meng X 2014Opt.Eng.53 122402

[16]Meng X S,Zhang F M,Qu X H 2015Acta Phys.Sin.23 230601(in Chinese)[孟祥松,張福民,曲興華 2015物理學報23 230601]

[17]Pan H,Zhang F,Shi C,Qu X 2017Appl.Opt.56 6956

[18]Zheng J 2004Appl.Opt.43 4189

[19]Ye Z F 2009Statistical Signal Processing(Hefei:University of Science and Technology of China Press)p255(in Chinese)[葉中付 2009統計信號處理(合肥:中國科學技術大學出版社)第255頁]

[20]Swann W C,Gilbert S L 2005J.Opt.Soc.Am.B22 1749