2017年數學文化高考題賞析及教學建議

王國學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）02-0189-02

數學文化體現了數學的人文價值和科學價值，滲透數學文化的命題能增加中華優秀傳統文化的內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮命題的育人功能和積極導向作用。《普通高中數學課程標準》提出對數學文化的學習要求是數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢， 及數學對推動社會發展的作用。2017年修訂的高考數學考試大綱提出加強數學文化考查的要求并在高考中得到了體現。下面就以2017年滲透數學文化的高考試題作一賞析。

例1 （2017年高考數學全國Ⅰ卷理科第2題）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱。在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）。

A.14B.π8C.12D.π4

太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案， 俗稱陰陽魚。太極是中國古代的哲學術語， 意為派生萬物的本源， 太極圖形象化地表達了陰陽輪轉、相輔相成是萬物生成變化根源的哲理。本題在編擬過程中在陰陽魚的外圍增加了正方形， 意在暗喻中國古代天圓地方的理念。試題以此為情境， 設計幾何概型以及幾何概率計算問題， 體現中國古代傳統文化， 同時試題貼近考生生活， 通過本題的求解， 使考生感受中華傳統優秀文化的民族性與世界性。

例2 （2017年高考數學全國Ⅱ卷理科第3題）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題："遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）。

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

本題開宗明義地引入我國古代數學名著《算法統宗》， 然后通過詩歌提出數學問題， 闡明試題的數學史背景，激發考生對中華民族優秀傳統文化的喜愛。《算法統宗》是我國明代數學家程大位的名著， 是我國珠算史上的一個里程碑。書中的文字淺顯易懂， 由淺入深， 試題中的詩句背景源自古代社會生活中常見的7層塔， 同時引入了一個等比數列的相關問題。本題展示了數學的知識和思維方式等在中國古代社會、生活等的廣泛滲透和應用， 對引導學生樹立數學應用意識具有積極的意義。

例3 （2017年高考數學全國Ⅰ卷理科第8題）下面程序框圖是為了求出滿足3n？2n>1000的最小偶數n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入（ ）

A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2

C.A 1 000和n=n+1D.A 1 000和n=n+2

本題巧妙地設置了兩個空白框中的不等式和等式作為選擇題的提問，考查考生對程序框圖基本邏輯結構以及對算法語句的含義的理解程度， 從而揭示了數學知識是如何解決具體數學問題的過程， 體現了數學的創造性。

例4（2017年高考數學浙江卷第11題）我國古代數學家劉徽創立的"割圓術"可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度，祖沖之繼承并發展了"割圓術"，將π的值精確到小數點后七位，其結果領先世界一千多年，"割圓術"的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積S6，則S6=_____。

數學家劉徽用割圓術求出圓周率是3.141024。除了數學家劉徽還有我國偉大的數學家祖沖之計算出圓周率在3.1415926和3.1415927之間，是世界上第一個把圓周率的值的計算精確到七位小數的人，比國外數學家得出這樣精確數值的時間，至少要早一千年。隨著科學技術的迅速發展，人們利用電子計算機可以算出小數點后上億位……

劉徽的 "割圓術"在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明，成為人類文明史中不朽的篇章。 "割圓術"是當時計算圓周率的比較先進的算法，至今仍有一定的應用價值。它體現了以直代曲、無限趨近、"內外夾逼"的思想，這些思想是人們在解決數學問題時最基本、最樸素的思想，在其他領域也有著廣泛的應用。"割圓術"這個算法本身很有趣，操作性強，"算理"明確，能被翻譯成計算機程序上機運行，體現了中國古代數學的算法特征及輝煌成就。對激發學生的民族自豪感和愛國精神，培養追求科學真理和創新精神有積極意義。

例5（2017年高考數學江蘇卷第6題）如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2的值是______。

阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.圓柱的體積與球的體積之比以及圓柱的表面積與球的表面積之比均為3：2（即本題答案），相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發現。

數學學科蘊含著豐富的審美因素，具有極高的美學價值，且有以下四個方面的表現形式：對稱美、簡潔美、和諧美、奇異美。本題即是以古希臘數學家阿基米德的墓碑文為數學文化背景，體現數學的美。

例5 （2017年高考數學全國Ⅰ卷理科第19題）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）。根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N（μ，σ2）。（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數，求P（X≥1）及X的數學期望;

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查。

（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性;

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

經計算得 ，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，。

用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值 ，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ （精確到0.01）。附：若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ-3σ

本題的背景是產品制造中的質量管理過程。無論產品質量， 還是生產過程的狀態都存在著波動， 統計方法能夠對這些波動的狀況和相關關系進行定量分析， 因此是管理、改進產品質量非常有用的工具。本題據此設計了依據3σ原理、根據產品質量指標的波動情況對生產過程作出判斷。試題循序漸進， 逐步把統計思想融入試題中， 完整地展示了在面對實際數據問題時， 如何利用所學數學知識、數學思想解決問題的過程， 體現了數學知識和原理在現代社會中的應用。

縱觀近幾年高考試題不難發現數學文化在高考中的體現非常明顯， 2015年全國新課標一卷理科第6題和新課標二卷理科第8題分別是"九章算術"和"更相減損術";2016年新課標二卷的"秦九韶算法";在之前的地方性高考試題中也有上海湖北等地的"竹九節問題"和"祖堩原理"等。這類滲透數學文化的命題，不僅將數學知識、思想方法、數學精神融為一體，體現了數學學科對學生核心素養的考核，以及對學生的理性思維能力和創新應用能力的考核。因此，在平時的教學中，我們教師應該：

（1）要多閱讀數學史和數學名著，深入挖掘材料背后所隱含的教學價值，全面提高自身的數學修養，把名著中體現的適合教學的相關專業知識、數學史知識、數學的人文精神等提取出來，運用到數學教學工作中去。

（2）要有意識的去鍛煉學生的數學閱讀能力和數學化能力，以便使學生在考試中能夠從這些富含文化背景的題目上快速理清楚題目的核心條件與核心問題。

（3）把課堂上或書本中的數學知識靈活地延伸到實際生活中，多向學生介紹數學在實際生產生活中的廣泛應用，鼓勵學生多留意數學在日常生活和科學技術上的應用事例。

（4）適時地引導學生去發現數學的美，并讓學生在學習中不斷感悟數學所呈現出來的美，增強學生興趣的同時，讓學生認識到數學并不僅是計算的工具，更是一種美，一種文化的集合，使學生在邏輯算術的熏陶中獲得一種深層的理性文化素養。

總之，一線教師應時刻樹立數學文化意識，讓學生不僅了解祖先的聰明智慧，增強民族自豪感，也讓學生了解數學知識背后豐富的歷史淵源，感受數學文化的熏陶，體會數學獨特的文化魅力。