傾斜變截面管理想流體噴射模型的構建

李 軒，李大帥，王俊杰，張冠中，張 雪

(東北師范大學 物理學院，吉林 長春 130024)

理想流體在變截面管中的流動模型可以加深學生對流體動力學和熱學等學科的理解程度，增強自身科學素養水平，因此受到了很多競賽的青睞[1]. 本文把水視為理想流體，首先利用理想氣體狀態方程和伯努利方程得到最大噴射高度的表達式，建立了傾斜變截面管理想流體噴射模型；引入管徑比這一概念，討論了不同傾角下管內氣體溫度、初始水量、管徑比等參量對最大噴射高度的影響，指出文獻[2]分析過程中存在的一些不足并對其進行修正.

1 理論分析

簡化模型如圖1所示，作以下近似：1)空氣視為理想氣體，滿足理想氣體狀態方程；2)水視為理想流體且自身特性(如密度等)不受溫度等因素的影響；3)短時噴射過程中管內氣體溫度保持恒定；4)空氣阻力、空氣流速等對水柱狀態不施加影響；5)變截面管內壁光滑且絕熱.

圖1 處于噴射過程中的變截面管模型

設粗管內徑為r2，高度為H，細管內徑為r1，室溫為T1，大氣壓強為p1，初始管內的水柱高度為h且h

管內氣體變化滿足理想氣體方程

(1)

對噴射過程列伯努利方程

(2)

并根據流體力學連續性方程，有

(3)

(4)

(5)

2 模擬研究

2.1 不同傾角θ下管內氣體溫度T2對最大噴射高度x的影響

設計參量：管徑比ξ=0.1，粗管長H=30 cm，大氣壓強p1=101 kPa，重力加速度g=9.80 m/s2，密度ρ=1 g/cm3，初始水柱高度h=20 cm，室溫t1=25 ℃，氣體溫度t2=25,50,75,100 ℃.不同傾角下管內氣體溫度對最大噴射高度的影響如圖2所示.

圖2 不同傾角下管內氣體溫度對最大噴射高度 影響關系曲線

由圖2可知：1)在氣體溫度不變的情況下，最大噴射高度x隨傾斜角度θ的增大而減小，且減小速率隨傾角增大而漸緩. 其原因可以歸結為隨著傾角的增大，水自身的重力勢作為一種阻礙因素對減小噴射高度的促進作用也在隨之增大；2)不同傾角θ下，氣體溫度T2的改變對θ-x關系曲線的影響程度是不同的，傾角越小，溫度對其影響程度越大. 這反映出傾角θ和溫度T2兩參量對最大噴射高度x的作用效果不同，溫度的升高對噴射高度的增加起到促進作用，而傾角則恰恰相反；3)當溫度t2≤25 ℃時，射流現象不會出現，x值甚至在θ>0°時為負值，即出現了液體倒流現象，且傾角越大，倒流現象越明顯. 射流現象主要靠流體下方的空氣受熱膨脹給流體施以噴射動力形成的，當內部空氣一旦喪失了與外界空氣存在的溫度差之后，熱膨脹現象便不再出現，射流現象也不會產生. 如若此時管又具有一定傾角，此時流體便會由于自身受到的重力作用而產生倒流. 而最大噴射高度為0所需滿足的條件，可對流體列一平衡方程

p2=p1+ρghsinθ0,

(6)

結合(1)式得到

(7)

利用(7)式可以求出在某一特定傾角θ0下流體恰好保持平衡所需的溫度,由實驗可得t2-θ0圖如圖3所示.

圖3 平衡狀態下t2-θ2關系曲線

由圖3可知，傾角越大，其所需要保持平衡狀態的溫度也就越高，并在90°達到最大值，此時流體的重力勢能有最大值，與前文所述理論分析一致.

2.2 不同傾角θ下初始管內水量V1′對最大噴水高度x的影響

設計參量：細管內徑r1=0.50 mm，粗管長H=50 cm，大氣壓強p1=101 kPa，重力加速度g=9.80 m/s2，密度ρ= 1 g/cm3，室溫t1=25 ℃，管內氣體溫度t2=75 ℃，粗管內徑和初始水柱高度h見表1.

圖4為不同傾角下初始水量對最大噴射高度的影響關系曲線，由圖4(a)可知：1)在管徑比固定的情況下，隨著傾斜角度的增加，最大噴射高度減小；2)傾角固定時，管徑比越小，最大噴射高度越大；3)小角度下的管徑比對最大噴射高度的影響是巨大的. 可以看到，ξ1和ξ4僅相差3倍，但在傾角0°時對應的最大噴射高度卻差了接近10倍，但管徑比在大角度下對最大噴射高度的影響卻很小. 圖4(b)的曲線形狀和圖4(a)類似，初始水柱高度同樣也是在小角度處對最大噴射高度影響大，但不同的是，傾角固定時，初始水柱高度越大，最大噴射高度越小. 即初始水量增加時，可能會對最大噴射高度造成2種截然相反的結果. 其中文獻[1]在研究垂直情況下初始水柱高度對最大高度的影響時，給出了“由于吸水量的增加會導致水柱的質量增加，因此噴泉高度會隨吸水的質量增大而減小”這樣的解釋，從這里看來這種解釋是不恰當的，其原因是初始水質量的增加并不一定會造成最大噴射高度的減小. 為此給出較為合理的解釋：1)在初始水柱高度保持不變的情況下，管徑比越大，管路的收縮程度越大，變截面管對應的粗管口的收縮系數增大，粗管口的流速增大，對應有最大噴射高度增大；2)在管徑比保持不變的情況下，增加初始水的高度不僅增加了水的質量，增加了阻力因素，而且減小了熱空氣體積這一動力因素. 這樣從兩方面減小了最大噴射高度.

表1 粗管內徑和初始水柱高度設計參量

(a)h=10 cm時不同粗管內徑下x-θ關系曲線

(b)ξ=1/10時不同初始水柱高度下x-θ關系曲線圖4 不同傾角下初始水量對最大噴射高度影響

2.3 垂直狀態下管徑比ξ對最大噴水高度x的影響

文獻[2]中以吸量管這一變截面管為例對傾角90°時的最大噴水高度影響因素進行了分析，但遺憾的是并未意識到在其他條件不變時，對最大噴水高度起影響作用的因素是管徑比ξ.

傾角θ=90°時管徑比ξ對最大噴水高度x的影響如圖5所示. 設計參量：管長H=30 cm，大氣壓強p1=101 kPa，重力加速度g=9.80 m/s2，密度ρ=1 g/cm3，初始水柱高度h=20 cm，室溫t1=25 ℃，氣體溫度t2=25，50，75，100 ℃.

圖5 垂直狀態下管徑比對最大噴射高度的 影響

由圖5可知，在溫度不變時，增加管徑比可以增大最大噴射高度，但隨著管徑比的增大，最大噴射高度會趨于穩定，即管徑比對最大噴射高度的影響會隨著管徑比的增大而趨近于0. 同時應當看到，在t2=25 ℃時，流體確實會因重力勢作用發生倒流現象. 結果和上述分析結論自洽，再一次說明了上文分析結果的正確性.

3 結 論

建設了傾斜變截面管理想流體噴射模型，并采用數值模擬的方法研究不同傾角參量的改變對最大噴射高度的影響. 分析得到：1)升高溫度、減小傾角、增大管徑比、減少初始水柱高度等方法均可使最大噴射高度增加；2)不同傾角下存在不同的特定溫度對應流體的平衡狀態；3)管徑比在噴射模型構建中具有重要作用，對最大噴射高度的影響會隨著管徑比的增大而趨于0.

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