共面變相位星座多目標(biāo)交匯序列優(yōu)化方法

呂博洋，邵興悅，袁 斌，楊桂清

(1.北京機(jī)電工程總體設(shè)計(jì)部，北京 100854；2.中國航天科工運(yùn)載技術(shù)研究院，北京 100037)

0 引言

隨著通信和導(dǎo)航等技術(shù)的快速發(fā)展，由多顆衛(wèi)星組成的衛(wèi)星星座憑借其覆蓋能力強(qiáng)和可靠性高的優(yōu)勢(shì)開始在相關(guān)領(lǐng)域發(fā)揮越來越大的作用[1]。為了使星座在受到太陽風(fēng)暴等不利因素大面積影響后仍能夠充分發(fā)揮效能，利用具有快速響應(yīng)能力的運(yùn)載器以較少的發(fā)射次數(shù)，一次搭載多個(gè)具有變軌能力的空間機(jī)動(dòng)裝置實(shí)現(xiàn)與星座中不同目標(biāo)的交匯，實(shí)現(xiàn)對(duì)在軌航天器的交匯、接近并進(jìn)行近距離檢測(cè)和相關(guān)維護(hù)在當(dāng)前情況下就顯得尤為重要。

張雅聲等[2]研究了單個(gè)航天器利用初始軌道面與目標(biāo)航天器軌道的交點(diǎn)實(shí)現(xiàn)與異面航天器的交匯；張敬等[3]對(duì)單個(gè)航天器在不進(jìn)行變軌情況下與星座中多目標(biāo)交匯的軌道進(jìn)行研究。本文以Lambert軌道為基礎(chǔ)，提出基于穿越點(diǎn)[2]的機(jī)動(dòng)軌道共面變相位交匯方法，將復(fù)雜的空間交匯關(guān)系轉(zhuǎn)換為同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)不同轉(zhuǎn)移角、不同轉(zhuǎn)移時(shí)間的Lambert交匯問題；從空間幾何解析法的角度出發(fā)，推導(dǎo)了交匯點(diǎn)的快速確定方法；基于空間機(jī)動(dòng)裝置分離點(diǎn)參數(shù)，分析并得到轉(zhuǎn)移角、轉(zhuǎn)移時(shí)間包絡(luò)區(qū)，給出能量約束下的多目標(biāo)交匯序列確定方法。在此基礎(chǔ)上利用離散優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)基于星座效能的機(jī)動(dòng)裝置交匯目標(biāo)序列的優(yōu)化，在發(fā)射次數(shù)有限的情況下將星座效能恢復(fù)至正常水平。

1 同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)的多目標(biāo)交匯

對(duì)于利用同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)的多個(gè)機(jī)動(dòng)裝置與Walker星座進(jìn)行多目標(biāo)交匯的情況如下：

圖1為機(jī)動(dòng)裝置在同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)與星座中多個(gè)目標(biāo)交匯示意圖。其中，機(jī)動(dòng)軌道面是由射向A0、分離點(diǎn)位置和分離時(shí)刻共同決定的一個(gè)平面，所有以射向A0、在同一分離點(diǎn)并在同一分離時(shí)刻進(jìn)入軌道的機(jī)動(dòng)裝置均位于該平面內(nèi)。平面與目標(biāo)軌道的交點(diǎn)如圖1所示。由于進(jìn)行軌道交匯的過程中需要同時(shí)滿足多個(gè)位置約束和時(shí)間約束，確定機(jī)動(dòng)裝置在同一軌道面內(nèi)與不同目標(biāo)軌道的交匯目標(biāo)以及時(shí)序存在較大的難度。因而需要尋求一種確定交匯點(diǎn)位置以及機(jī)動(dòng)裝置變軌相位和時(shí)間的解析方法對(duì)此問題進(jìn)行解決。

圖1 同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)的多目標(biāo)交匯Fig.1 Multi-targets meeting in the same plane of maneuver

為了便于描述機(jī)動(dòng)軌道面與各目標(biāo)軌道面之間的空間幾何關(guān)系，將機(jī)動(dòng)裝置所處的軌道面轉(zhuǎn)換為一個(gè)與目標(biāo)軌道高度相同并位于機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)的圓軌道。這條軌道與目標(biāo)軌道的交點(diǎn)位置與機(jī)動(dòng)軌道面和目標(biāo)軌道的交點(diǎn)相同，如圖2所示。這樣就將機(jī)動(dòng)裝置與多個(gè)異面目標(biāo)的空間交匯轉(zhuǎn)化為機(jī)動(dòng)裝置在多個(gè)軌道面內(nèi)與共面目標(biāo)的交匯。

圖2 同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)的目標(biāo)軌道交點(diǎn)與機(jī)動(dòng)軌道Fig.2 Orbit of targets and maneuvering trajectories in the same plane of maneuver

1.1 機(jī)動(dòng)裝置變軌相位和時(shí)間的確定

設(shè)目標(biāo)航天器S1位于軌道傾角為i1、升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ω1、軌道半徑為r1的圓軌道O1上；空間機(jī)動(dòng)裝置W1位于軌道傾角為i2、升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ω2的橢圓軌道。由于機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)軌道的交點(diǎn)同樣位于該軌道面內(nèi)，因此利用升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ω2、軌道傾角為i2、軌道半徑同為r1的圓軌道O2可以對(duì)軌道交點(diǎn)位置以及兩者相位關(guān)系進(jìn)行描述。

1.1.1 機(jī)動(dòng)軌道面與目標(biāo)軌道交點(diǎn)的確定

如圖3所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為O1和O2的升交點(diǎn)，軌道O1和O2相交于點(diǎn)C。其中，f1為點(diǎn)C在O1上的緯度幅角，f2為點(diǎn)C在O2上的緯度幅角，α為O1和O2在點(diǎn)C處的夾角，ΔΩ為O1和O2的升交點(diǎn)赤經(jīng)之差。

圖3 軌道交點(diǎn)示意圖Fig.3 Sketch map of orbital node

由球面三角形公式[4-5]可得，

α= arccos[-cos∠CABcos∠CBA+

sin∠CABsin∠CBAcosΔΩ]

(1)

(2)

其中，當(dāng)Ω1<Ω2<Ω1+π時(shí)，即點(diǎn)C在O2的升段上：

當(dāng)Ω1<Ω2+π<Ω1+π時(shí)，即點(diǎn)C在O2的降段上：

即可確定O1和O2的交點(diǎn)f1、f2。

1.1.2 機(jī)動(dòng)裝置相位和時(shí)間的確定

設(shè)機(jī)動(dòng)裝置W在t0時(shí)刻到達(dá)運(yùn)載段分離點(diǎn)，在軌道O1上，目標(biāo)航天器S1該時(shí)刻的緯度幅角為fS1(t0)。此時(shí)，目標(biāo)航天器S1與軌道O1、O2的交點(diǎn)C的相位差為：

Δf1(t0)=f1-fS1(t0)

由分離點(diǎn)位置以及軌道傾角，可知分離點(diǎn)在機(jī)動(dòng)軌道面，即軌道O2內(nèi)的緯度幅角f0為[4]：

(3)

其中，φk為分離點(diǎn)赤緯。

因此，由分離點(diǎn)緯度幅角f0和交匯點(diǎn)在O2上的緯度幅角f2可得機(jī)動(dòng)裝置在分離點(diǎn)處與軌道交點(diǎn)C的相位之差為：

Δf2(t0)=f2-fW(t0)
fW(t0)=f0

在t時(shí)刻，機(jī)動(dòng)裝置W和目標(biāo)航天器S1與軌道交點(diǎn)的相位差分別為：

Δf1(t)=f1-fS1(t)

Δf2(t)=f2-fW(t)

假設(shè)機(jī)動(dòng)裝置W與目標(biāo)航天器S1在t時(shí)刻交匯，在t時(shí)刻必有

即

則目標(biāo)航天器S1沿軌道O1從t0時(shí)刻所在位置運(yùn)行至交點(diǎn)所需的時(shí)間為：

(4)

其中，T為目標(biāo)航天器S1的軌道周期。

機(jī)動(dòng)裝置W沿機(jī)動(dòng)軌道從分離點(diǎn)運(yùn)行至交點(diǎn)過程中經(jīng)過的弧段對(duì)應(yīng)的地心角為：

f2-f0=Δf2(t0)

(5)

因而，若令機(jī)動(dòng)裝置W在軌道傾角為i2、升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ω2的軌道面內(nèi)與沿軌道O1運(yùn)行的航天器S1交匯，機(jī)動(dòng)裝置W需同時(shí)滿足軌道轉(zhuǎn)移角度Δf2(t0)、轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt1的相位約束和時(shí)間約束。將軌道轉(zhuǎn)移角度Δf2(t0)記為β，轉(zhuǎn)移時(shí)間記為ttrans，如圖3所示，可得：

(6)

同理，改變目標(biāo)軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)，可得到機(jī)動(dòng)軌道面與星座中所有目標(biāo)軌道的交點(diǎn)以及機(jī)動(dòng)裝置Wi與目標(biāo)航天器Si交匯對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移角βi、轉(zhuǎn)移時(shí)間ttrans_i(i=1,2,…,n，n為星座中的目標(biāo)軌道數(shù)量)。

1.2 變軌待增速度約束下的轉(zhuǎn)移角-時(shí)間包絡(luò)區(qū)

對(duì)于單圈內(nèi)的Lambert轉(zhuǎn)移，當(dāng)變軌轉(zhuǎn)移時(shí)間和轉(zhuǎn)移角給定后，轉(zhuǎn)移軌道類型以及轉(zhuǎn)移速度就能夠確定。設(shè)機(jī)動(dòng)裝置W在分離點(diǎn)的速度為vk0、速度傾角為θk0，軌道轉(zhuǎn)移的需要速度為vk、速度傾角為θk，Δθ為θk與θk0之差，則

Δθ=θk-θk0

將分離點(diǎn)速度vk0沿vk做投影，在vk方向和垂直vk分別得到兩個(gè)速度分量[5]：

v1=vk0cosΔθ

v2=vk0sinΔθ

則

即

(7)

由式(7)可知，待增速度Δv受到速度vk、vk0和速度傾角θk、θk0的共同影響。其中，vk0和θk0為分離參數(shù)，vk和θk由軌道轉(zhuǎn)移角度β和轉(zhuǎn)移時(shí)間ttrans決定。

當(dāng)運(yùn)載段分離點(diǎn)速度vk0和分離點(diǎn)速度傾角θk0給定、目標(biāo)軌道為軌道周期為12h的圓軌道時(shí)，待增速度Δv隨軌道轉(zhuǎn)移角度β和轉(zhuǎn)移時(shí)間ttrans的變化情況如圖4、圖5所示。

圖4為θk0=30°時(shí)，Δv隨軌道轉(zhuǎn)移角度和轉(zhuǎn)移時(shí)間的變化情況，Δv在β=70°～150°附近較小，在β=0°和β=360°附近急劇增大，在β=360°附近達(dá)到最大值。圖5為θk0=70°時(shí)，Δv隨軌道轉(zhuǎn)移角度和轉(zhuǎn)移時(shí)間的變化情況，Δv在β=50°附近較小，在β=0°附近小幅增大，在β=360°附近急劇增大，在β=360°附近達(dá)到最大值。

在不同分離點(diǎn)速度傾角下，分離點(diǎn)速度vk0變化不大且軌道轉(zhuǎn)移速度vk隨轉(zhuǎn)移角度和轉(zhuǎn)移時(shí)間的變化幅度明顯小于Δv的變化幅度。對(duì)比圖4和圖5不難發(fā)現(xiàn):分離點(diǎn)速度傾角θk0對(duì)Δv的大小影響較大；Δv較小值所對(duì)應(yīng)的區(qū)域分別與θk0=30°等值線和θk0=70°等值線所在區(qū)域一致(如圖7所示)。在θk與θk0相差較大的區(qū)域，Δv急劇增大；而需要速度(如圖6所示)的變化幅度明顯小于待增速度的變化幅度。由此發(fā)現(xiàn)，θk和θk0是影響待增速度大小的主要因素，通過調(diào)整分離點(diǎn)速度傾角θk0能夠有效降低機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)交匯所需的Δv。

圖4 θ=30°時(shí)轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間-待增速度曲面Fig.4 Transfer angles-transfer times-required increasing speeds as θ=30°

圖5 θ=70°時(shí)轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間-待增速度曲面Fig.5 Transfer angles-transfer times-required increasing speeds as θ=70°

圖6 變軌需要速度隨轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間變化情況Fig.6 Required speeds with transfer angles-transfer times

(a)傾角隨轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間變化情況

(b)傾角等值線圖圖7 θk隨轉(zhuǎn)移角和轉(zhuǎn)移時(shí)間的變化情況Fig.7 θk with transfer angles and transfer times

在實(shí)際情況中，由于機(jī)動(dòng)裝置攜帶的推進(jìn)劑數(shù)量有限，通常利用最大增速Δvmax對(duì)機(jī)動(dòng)裝置進(jìn)行變軌機(jī)動(dòng)時(shí)的待增速度Δv進(jìn)行限制。根據(jù)前面得到的待增速度曲面，令Δv=Δvmax可在轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間-待增速度曲面中得到滿足最大增速約束的包絡(luò)區(qū)域，該區(qū)域中所包含的點(diǎn)與滿足最大增速需求的變軌轉(zhuǎn)移角β和轉(zhuǎn)移時(shí)間ttrans組合相對(duì)應(yīng)。

令Δvmax=2600m/s，分別得到θk0=30°和θk0=70°時(shí)滿足Δv≤Δvmax的包絡(luò)區(qū)，如圖8、圖9所示。

圖8和圖9分別為分離點(diǎn)速度傾角為30°和70°時(shí)，滿足變軌最大增速約束ttrans-β包絡(luò)區(qū)。在0°<β<360°范圍內(nèi)，θk0=30°對(duì)應(yīng)的可交匯轉(zhuǎn)移角范圍是72.58°～154°，θk0=70°對(duì)應(yīng)的可交匯轉(zhuǎn)移角范圍是16.33°～52.74°。利用包絡(luò)區(qū)能夠得到可交匯范圍內(nèi)的某個(gè)轉(zhuǎn)移角度對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移時(shí)間區(qū)間，從而確定目標(biāo)在交匯點(diǎn)附近的可交匯弧段，即只要機(jī)動(dòng)裝置在目標(biāo)經(jīng)過該弧段時(shí)進(jìn)入相應(yīng)的機(jī)動(dòng)軌道，機(jī)動(dòng)裝置就有能力在交匯點(diǎn)與目標(biāo)進(jìn)行交匯。

對(duì)于同一機(jī)動(dòng)軌道面內(nèi)分離時(shí)刻相同的多個(gè)機(jī)動(dòng)裝置與星座中多個(gè)目標(biāo)交匯的情況進(jìn)行如下分析：

假設(shè)機(jī)動(dòng)裝置Wi在軌道面Ow上，其軌道傾角為iw，升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ωw，分離點(diǎn)緯度幅角為fw0，分離點(diǎn)速度為vk0,速度傾角為θk0；目標(biāo)航天器Si沿軌道Oi運(yùn)行。機(jī)動(dòng)軌道面與目標(biāo)軌道Oi(i=1,2，…,n，n為星座中的目標(biāo)軌道面數(shù)量)相交于交匯點(diǎn)Pi；在軌道Ow內(nèi)，機(jī)動(dòng)裝置從分離點(diǎn)至交匯點(diǎn)的轉(zhuǎn)移角為βi；Pi在Oi和Ow上的緯度幅角分別為f1i和f2i。參照θ=θk0時(shí)轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間包線，得到β=βi與Δv=Δvmax曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移時(shí)間上限和下限為tup_i和tdown_i。通過計(jì)算目標(biāo)Si經(jīng)過交匯點(diǎn)的時(shí)刻就能夠得到機(jī)動(dòng)裝置Wi的分離時(shí)間范圍Ai。

圖8 θk0=30°時(shí)轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間包絡(luò)區(qū)Fig.8 Envelope area of transfer angles and transfer times as θk0=30°

圖9 θk0=70°時(shí)轉(zhuǎn)移角-轉(zhuǎn)移時(shí)間包絡(luò)區(qū)Fig.9 Envelope area of transfer angles and transfer times as θk0=70°

同理，可得到軌道面Ow與星座內(nèi)其余軌道的交點(diǎn)以及相應(yīng)的可交匯弧段和分離時(shí)間范圍。

若機(jī)動(dòng)航天器的分離時(shí)間范圍滿足

Ak∩Ak+1∩…∩Ak+j≠φ

(k=1,2，…,n；j=1,2,…,n-1)

在軌道面Ow內(nèi)的機(jī)動(dòng)裝置可對(duì)j+1個(gè)軌道面上的目標(biāo)進(jìn)行交匯，并將分離時(shí)間范圍的交集記為Aw。只要機(jī)動(dòng)裝置的分離時(shí)間tk0∈Aw，機(jī)動(dòng)裝置就能夠?qū)崿F(xiàn)與j+1個(gè)軌道面上目標(biāo)的交匯。

對(duì)于Δvmax，可以從另外一個(gè)角度分析其含義。由式(7)可知，當(dāng)Δv=Δvmax時(shí)，

若要讓分離點(diǎn)速度為vk0的航天器在速度增量Δv的作用下達(dá)到需要速度vk，且滿足Δv≤Δvmax，分離點(diǎn)速度傾角θk0應(yīng)滿足如下要求:

θk-Δθmax≤θk0≤θk+Δθmax

因而，在機(jī)動(dòng)裝置的分離點(diǎn)速度大小和需要速度大小為定值時(shí)，最大待增速度Δvmax越大，Δθmax越大，機(jī)動(dòng)裝置對(duì)運(yùn)載段分離點(diǎn)速度傾角θk0的適應(yīng)范圍也越大。

2 目標(biāo)序列的優(yōu)化

在完成機(jī)動(dòng)裝置交匯序列的確定后，在不同時(shí)間、射向及分離速度傾角下可以得到多組目標(biāo)序列。但由于不同序列包含相同目標(biāo)，且星座中不同衛(wèi)星對(duì)指定區(qū)域的導(dǎo)航精度貢獻(xiàn)程度有所不同，如何在發(fā)射次數(shù)有限的情況下對(duì)目標(biāo)序列進(jìn)行優(yōu)化,使指定區(qū)域內(nèi)的有效覆蓋得到最大程度保證成為一個(gè)需要解決的問題。

2.1 序列優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)目標(biāo)序列優(yōu)化的實(shí)際需求，建立模型如下[6-7]：

設(shè)目標(biāo)的總數(shù)量為n，目標(biāo)序列(分離時(shí)間、射向、分離速度傾角、接近目標(biāo)的組合)的總數(shù)量為q，空間機(jī)動(dòng)裝置的最大發(fā)射次數(shù)為m，pi為反映不同目標(biāo)“價(jià)值”大小的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)；xi為反映目標(biāo)序列是否被選取的優(yōu)化變量，當(dāng)?shù)趇個(gè)序列被選取時(shí)xi=1，反之xi=0；x為包含優(yōu)化變量xi的行向量，x=[x1,…,xq]；機(jī)動(dòng)裝置對(duì)于同一目標(biāo)僅進(jìn)行一次接近，同一時(shí)刻只有一組機(jī)動(dòng)裝置進(jìn)入機(jī)動(dòng)軌道，則

其中，不等式約束矩陣A及向量b分別為(n+1)×q維的矩陣和n+1維列向量， Aj為約束矩陣A中位于第j行的q維行向量，bl為列向量b中的第l個(gè)元素，兩者可分為前n行和第n+1行兩部分。

前n行代表對(duì)機(jī)動(dòng)裝置與同一目標(biāo)交會(huì)次數(shù)的約束，Aj中的各元素代表對(duì)應(yīng)的目標(biāo)序列中是否包含第j個(gè)目標(biāo)。當(dāng)?shù)趇個(gè)序列中包含第j個(gè)目標(biāo)時(shí)，Aji=1；若不包含，則Aji=0。

例如A1x≤b1代表在所選取的目標(biāo)序列中包含第1個(gè)目標(biāo)的總次數(shù)不超過b1，則根據(jù)前文假設(shè)(機(jī)動(dòng)裝置對(duì)于同一目標(biāo)僅進(jìn)行一次接近)可知，

bl=1l∈{1,2，…,n}

第n+1行代表對(duì)目標(biāo)序列選取數(shù)量的約束，即滿足An+1x≤b1。由于機(jī)動(dòng)裝置的最大發(fā)射次數(shù)為m，則

An+1=[1,…,1]1×q,bn+1=m

2.2 評(píng)價(jià)參數(shù)的設(shè)定

幾何精度因子作為衡量衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)定位精度的重要指標(biāo)，反映了導(dǎo)航衛(wèi)星幾何構(gòu)型對(duì)定位精度的影響[8-9]。由于導(dǎo)航衛(wèi)星星座中不同衛(wèi)星對(duì)指定區(qū)域的覆蓋特性有所不同,在利用整數(shù)規(guī)劃算法[6]對(duì)目標(biāo)序列的選取進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要一個(gè)參數(shù)表征不同衛(wèi)星對(duì)指定區(qū)域幾何精度因子貢獻(xiàn)程度的大小。這一參數(shù)應(yīng)當(dāng)能夠準(zhǔn)確衡量目標(biāo)的重要程度并體現(xiàn)出不同序列在能量等方面的特性，是進(jìn)行相關(guān)優(yōu)化工作的基礎(chǔ)。

目標(biāo)特性評(píng)價(jià)參數(shù)主要反映星座對(duì)某一區(qū)域提供相關(guān)服務(wù)時(shí)目標(biāo)對(duì)服務(wù)質(zhì)量貢獻(xiàn)程度，體現(xiàn)該目標(biāo)在星座中的重要程度。經(jīng)分析，按照將目標(biāo)對(duì)指定區(qū)域的覆蓋總時(shí)長和訪問次數(shù)綜合考慮的方式設(shè)定目標(biāo)特性評(píng)價(jià)參數(shù)。設(shè)第i個(gè)目標(biāo)對(duì)指定區(qū)域的覆蓋總時(shí)長為ti、訪問次數(shù)為ni(i=1,2，…,m，m為星座中的衛(wèi)星總數(shù)量)，所有目標(biāo)中覆蓋總時(shí)長的最大值為tmax、最小值為tmin，最大訪問次數(shù)為nmax、最小訪問次數(shù)為nmin，則

pt(i)和pn(i)分別為反映目標(biāo)覆蓋總時(shí)長和訪問次數(shù)大小的系數(shù)，覆蓋總時(shí)長或訪問次數(shù)的數(shù)值越大對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)參數(shù)的數(shù)值越接近1，反之越接近0。在將目標(biāo)的覆蓋總時(shí)長和訪問次數(shù)綜合考慮時(shí)，取加權(quán)系數(shù)ηt和ηn，滿足ηt+ηn=1，則第i個(gè)目標(biāo)的目標(biāo)特性評(píng)價(jià)參數(shù)為

通過調(diào)整加權(quán)系數(shù)ηt和ηn進(jìn)而調(diào)整覆蓋總時(shí)長和訪問次數(shù)在目標(biāo)特性評(píng)價(jià)參數(shù)中所占的比重，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的覆蓋總時(shí)長和訪問次數(shù)的綜合考量。通過比較不同加權(quán)系數(shù)，選取ηt=0.65，ηn=0.35。

此外，在不同時(shí)刻、多個(gè)射向和入軌速度傾角下的同一組序列可能出現(xiàn)待增速度Δv有所不同的情況，因而有必要將不同入軌條件下目標(biāo)序列的待增速度大小作為序列選取的評(píng)價(jià)指標(biāo)之一。設(shè)目標(biāo)序列中包含l個(gè)目標(biāo)，機(jī)動(dòng)裝置與序列中第j個(gè)目標(biāo)進(jìn)行空間接近所需的待增速度為Δv(j)，則待增速度評(píng)價(jià)參數(shù)為

反映該組序列在當(dāng)前射向、入軌時(shí)刻以及入軌速度傾角下的待增速度大小，數(shù)值越大表明此時(shí)機(jī)動(dòng)裝置與序列中目標(biāo)接近所需的待增速度越小。若序列中第j個(gè)目標(biāo)的待增速度最大，則將該目標(biāo)的待增速度評(píng)價(jià)參數(shù)作為反映該序列能量需求大小的評(píng)價(jià)參數(shù)。

2.3 目標(biāo)序列的優(yōu)化

在對(duì)目標(biāo)序列進(jìn)行優(yōu)化前進(jìn)行如下設(shè)定：目標(biāo)星座的構(gòu)型為24/6/2，軌道傾角為55°，軌道周期為12h；將目標(biāo)序列入軌時(shí)間范圍限定為UTC時(shí)間00:00:00.00～24:00:00.00，序列中的目標(biāo)數(shù)量均為3個(gè)，每組目標(biāo)序列的入軌點(diǎn)位置相同，射向A0為0～180°，入軌速度傾角θk0為30°～70°，軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間限定為5000s～30000s，最大待增速度為2600m/s；同一入軌時(shí)刻只選取一組序列，機(jī)動(dòng)裝置對(duì)于同一目標(biāo)只進(jìn)行一次接近；當(dāng)最大發(fā)射次數(shù)為m時(shí)，機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)接近使得目標(biāo)對(duì)指定區(qū)域的覆蓋效能最優(yōu)且機(jī)動(dòng)裝置所需的最大待增速度最小。

目標(biāo)序列優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型如2.1節(jié)所述。由于目標(biāo)序列的優(yōu)化可以歸納為0-1整數(shù)規(guī)劃問題，優(yōu)化算法采用基于線性規(guī)劃的分支定界法求解序列優(yōu)化問題。

當(dāng)導(dǎo)航星座中有4個(gè)軌道面發(fā)生衛(wèi)星大面積失效的情況時(shí)，按照覆蓋效能最優(yōu)的策略選取交匯目標(biāo)，以較少的發(fā)射次數(shù)滿足指定區(qū)域內(nèi)平均幾何精度因子小于6的精度需求。發(fā)射次數(shù)分別為1次、2次、3次和4次時(shí)的優(yōu)化結(jié)果，如表1所示。

表1 不同發(fā)射次數(shù)下的優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，利用STK得到機(jī)動(dòng)裝置與相應(yīng)目標(biāo)交匯后指定區(qū)域內(nèi)的平均幾何精度因子。導(dǎo)航星座在只有兩個(gè)軌道面的衛(wèi)星能夠正常工作的情況下，平均幾何精度因子為765.3288，不能滿足對(duì)指定區(qū)域的有效覆蓋。當(dāng)發(fā)射次數(shù)為1時(shí)，機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)實(shí)施交匯后平均幾何精度因子為308.6203；當(dāng)發(fā)射次數(shù)為2時(shí)，機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)實(shí)施交匯后平均幾何精度因子為33.6798；當(dāng)發(fā)射次數(shù)為3時(shí)，機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)實(shí)施交匯后平均幾何精度因子為4.4778；當(dāng)發(fā)射次數(shù)為4時(shí)，機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)實(shí)施交匯后平均幾何精度因子為2.3724。計(jì)算結(jié)果表明:這種將評(píng)價(jià)參數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)系數(shù)進(jìn)行目標(biāo)序列優(yōu)化的方法是有效的。

圖10所示為發(fā)射次數(shù)分別為1次、2次、3次和4次時(shí)，機(jī)動(dòng)裝置按照優(yōu)化結(jié)果與目標(biāo)交匯后指定區(qū)域的幾何精度因子分布情況。圖10中顏色越深的區(qū)域，代表該區(qū)域的幾何精度因子越大，導(dǎo)航精度也越差。當(dāng)發(fā)射次數(shù)為3次時(shí)，導(dǎo)航衛(wèi)星星座為指定區(qū)域提供的定位精度已能夠滿足使用需求，即令指定區(qū)域?qū)Ш骄葷M足精度需求的最小發(fā)射次數(shù)為3次；當(dāng)發(fā)射次數(shù)為4次時(shí)，導(dǎo)航衛(wèi)星星座提供的定位精度達(dá)到星座在初始狀態(tài)下的精度水平。

圖10 不同發(fā)射次數(shù)的幾何精度因子分布情況Fig.10 Distribution geometric dilution of precison of difference times of launch

3 結(jié)束語

本文在利用空間幾何解析法確定機(jī)動(dòng)裝置變軌相位和時(shí)間基礎(chǔ)上，從機(jī)動(dòng)裝置與目標(biāo)相對(duì)時(shí)間、空間位置關(guān)系的角度對(duì)增速需求與其的關(guān)系進(jìn)行分析，提出利用機(jī)動(dòng)裝置的變軌速度需求與運(yùn)載段分離條件、相位轉(zhuǎn)移角和轉(zhuǎn)移時(shí)間包絡(luò)區(qū)確定星座多目標(biāo)交匯序列的方法。在此基礎(chǔ)上，考慮覆蓋效能利用離散優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)序列的優(yōu)化，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，為后續(xù)的實(shí)際應(yīng)用提供了參考。

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