動力吸振器PQ定點理論研究

張 多

（陜西航空職業技術學院，陜西 漢中 723000）

前言

動力吸振器是工程實際中一種常用的振動控制技術。動力吸振器從發明到現在已歷經一個多世紀[1]。因其結構相對簡單，并且能夠有效的減小頻率變化不大的機構和設備的振動，所以已經成為工程領域中對振動進行控制的重要手段。當主系統無阻尼時具有PQ定點現象，通過該現象可對吸振器參數進行優化[2]。

傳統的PQ定點理論是在動力吸振器的質量比和固有頻率一定的情況下進行討論。在本文中推導了動力吸振器的質量比和固有頻率比對P、Q兩點振幅倍率的影響。文中分析的結論，對動力吸振器的設計和半主動控制具有一定的應用價值。

1 動力吸振器的基本原理

動力吸振器作為一種減振裝置，其減振原理不是靠耗損能量進行減振，而是通過吸振器質量的動力作用，使吸振器在主系統上產生一個與強迫振動力相抵消的反作用力，以此來達到減振的目的[3]。圖1為主系統無阻尼時動力吸振器模型，m1、k1為主系統的質量、剛度；m2、k2、c2為吸振器的質量、剛度、阻尼；主系統的位移x1，動力吸振器的位移為x2；坐標原點都選擇在各自的靜平衡位置。

圖1 動力吸振器模型

應用牛頓第二定律，可以建立以下數學模型：

當F為簡諧激勵時，，系統的響應可以表示為：

由Hahnkamm的PQ定點理論可知[4]，當主系統參數和動力吸振器的質量和固有頻率一定后，無論吸振器阻尼比如何變化，主系統的振幅倍率曲線總有兩個共同的交點P、Q，即兩點的振幅倍率不受阻尼比的影響，當主系統質量m1=1，剛度為k1=1時，做出主系統在不同吸振器阻尼比下的振幅倍率曲線，如圖2所示。

圖2 不同阻尼比情況下的主系統振幅倍率曲線（μ=0.25，γ=0.7）

2 吸振器質量比和固有頻率比與PQ振幅倍率的關系

通過上述分析可知，當主系統參數確定，動力吸振器的質量比和固有頻率比一定時，PQ定點的振幅倍率的大小和吸振器的阻尼沒有關系。但當吸振器的質量比和固有頻率比發生變化時，P、Q兩點的振幅倍率大小就會發生變化。現推導吸振器質量比和固有頻率比對P、Q兩點振幅倍率的影響。

這兩條振幅曲線的交點為PQ定點，由于這兩定點的振幅與阻尼無關，所以兩曲線相交時有以下關系式：

通過上式與公式（7）聯立可求得；由于λP小于λQ，置為：

將其帶入公式（3）即可求出在不同質量比和固有頻率比下，定點P、Q的振幅倍率的大小。

3 吸振器質量比和固有頻率比對主系統減振效果的影響

3.1 質量比和固有頻率對主系統振幅倍率的影響

動力吸振器的質量對主系統減振效果有明顯的影響，圖3為不同質量比μ對主系統減振效果的影響。由圖可知，當質量比μ越大時，在減振頻帶內吸振器對主系統的減振效果越好，此時動力吸振器的有效減振頻帶也越寬。但是當質量比μ不斷變大時，在一階共振頻率對應的峰值振幅倍率會不斷變大，二階共振頻率對應的峰值振幅倍率不斷減小。還因為在實際應用中，既要考慮安裝空間位置還要考慮吸振器質量對結構的整體影響，所以選取吸振器質量時只能在合適的范圍內進行考慮。

圖3 質量比對主系統振幅倍率的影響

圖4為固有頻率對比振幅倍率的影響。在圖中，固有頻率比影響主系統振幅倍率曲線上兩個共振峰的位置。當固有頻率比越大時，一階共振峰對應的峰值振幅倍率越大，二階共振峰對應的振幅倍率越小。選取一個合適的固有頻率比，可以使兩個共振峰的值相等。

圖4 固有頻率比對主系統振幅倍率的影響

3.2 質量比和固有頻率對PQ定點振幅倍率的影響

圖5 質量比μ對定點P、Q振幅倍率的影響

在不同的質量比下，P、Q兩點的振幅倍率大小有不同的變化趨勢。圖5（a）、（b）為不同吸振器剛度下質量比對P、Q振幅的影響。在圖中，隨著質量比不斷增加，P點的振幅隨之減小，但是不論質量比如何變化，定點P的振幅都不可能小于1。隨著質量比的增加，定點Q的振幅先增加后減小。實際應用中吸振器安裝質量受空間大小、安裝條件等影響，所以為了保證吸振器在寬頻范圍內有較好的減振效果，質量比應控制在合適的范圍內。

在不同的固有頻率比下，P、Q兩點的振幅大小有不同的變化趨勢。在圖6中，討論了在不同的質量比下固有頻率比對P、Q振幅的影響。隨著固有頻率比不斷增大，定點P的振幅不斷增大，而定點Q的振幅不斷的減小。

圖6 固有頻率比γ對定點P、Q振幅倍率的影響

4 結論

對于傳統PQ定點的研究，是在當主系統參數確定，吸振器的質量比和固有頻率比一定時，主系統的振幅倍率曲線在不同阻尼比下進行討論。在本文中推導了吸振器質量比、固有頻率比對兩定點振幅倍率的關系，分別分析了質量比、固有頻率比對P、Q振幅倍率大小的影響，為動力吸振器的參數選擇和半主動控制提供了一定的參考。

參考文獻

[1] 背戶一登.動力吸振器及其應用[M].北京:機械工業出版社,2013:6-7.

[2] 靳曉雄,張立軍,江浩.汽車振動分析[M].上海:同濟大學出版社,2011:81-82.

[3] 劉耀宗.被動式動力吸振技術研究進展[J],機械工程學報. 2007 43(3):14-19.

[4] Hahnkamm E,Die Dampfung von Fundamentschwingungen bei veranderlicher Erregerfrequenz [J].Ingenieur Archiv,4:191-201,1932.