神秘的非歐幾何——非歐世界

劉瑋

不同曲面上的三角形內角和不同，平行公理也不同，它們是不同的幾何世界。平面上的幾何是歐幾里得幾何，雙曲面上是羅巴切夫斯基幾何，球面上是黎曼幾何。

浩天：“黎曼幾何還是好理解的，我們就生活在地球上。在海上航行的人明顯可以看出海平面的彎曲，但是不能說我們的空間也這么彎曲了吧？羅氏幾何的雙曲空間很難想象。”

“歷史上數學家們提出過許多模型來實現羅氏幾何。”鵬飛把羅氏幾何模型向浩天作了簡介。

第一個是貝爾特拉米模型，就是右頁表中的模型，即由曳物線（什么是曳物線？感興趣的同學可在“中學科技”微信公眾號回復“曳物線”，獲得解釋）旋轉而成的偽球面，偽球面上的測地線就是非歐幾何中的直線。

第二個模型是克萊因給出的，他將無窮大的歐氏平面用一個有限的圓來表示，圓的邊界就是無窮遠，圓中的任意一條弦都是一條直線。他是這么定義兩點間距離的：

顯然，如果A點非常接近圓邊界上的無窮遠點A'，則A、B兩點間的距離就會趨于無窮大。同理，若B點接近邊界，A、B兩點間的距離也會趨于無窮大。這樣的圓就是一個非歐平面。

版畫家埃舍爾的作品《圓的極限IV》就是根據克萊因模型畫的，相當于鋪砌整個歐氏平面的無數黑色魔鬼和白色天使被壓縮在克萊因的圓形非歐平面里，其實每一個魔鬼或天使大小都相等。

第三個當屬最優美自然的龐加萊模型。與克萊因模型一樣，龐加萊模型的非歐平面也是一個圓，邊界同樣是無窮遠，但與克萊因模型不同的是，龐加萊模型把圓中垂直于圓周的圓弧（圓的直徑是這種圓弧的特例）視為非歐幾何中的直線。

從圖中可以直觀地看出，羅氏幾何中的三角形ABC內角和小于π，過直線外的一點有不止一條非歐直線與已知直線不相交。

埃舍爾的作品《圓的極限III》是根據龐加萊模型畫的，相當于鋪砌整個歐氏平面的無數條魚被變形到龐加萊模型的圓形非歐平面里。

浩天：“這有什么意義呢？這只不過是數學家想像的理想數學模型！我們生活的世界到底屬于哪一種幾何體系？何不實際測量一下呢？”

鵬飛：“1919年，英國物理學家愛丁頓帶領一支天文學遠征隊來到非洲普林西比島，對正在發生日全食的太陽附近的恒星位置進行觀測，并在夜間再次觀測這些恒星的位置，結果發現兩顆星的角距離在有太陽和沒有太陽的情況下，相差1.61±0.3角秒，而愛因斯坦的理論計算值為1.75角秒（愛因斯坦廣義相對論認為，在大質量天體附近，時空被彎曲，空間不再是平直的歐式空間）。此后又作了各種觀測，都得到了相近的結果。”

“根據光線彎曲的形狀看，大質量天體附近的空間應該是橢圓空間，適用黎氏幾何，三角形內角和大于π。”浩天說，“而在兩個大質量天體中間，空間向兩個方向彎曲，是個雙曲空間，適用羅氏幾何，三角形內角和小于π。”

鵬飛感嘆道：“宇宙中充滿了星系和天體，我們的宇宙在大范圍來看沒有平坦的地方，只在小區域內才有可能滿足歐幾里得幾何。”

“天人合一！”浩天脫口而出，“我們的宇宙空間正如我們的身體表面，沒有哪個地方是絕對平坦的，腦袋滿足黎氏幾何，而脖子則滿足羅氏幾何，鼻尖是黎氏空間，鼻根卻是羅氏空間……哈哈，太有意思了！”