自然的微積分——時空悖論

劉瑋

過直線外一點作與已知直線不相交的直線，可能只有一條，可能有無數條，也可能一條都沒有。每一種可能性都自成系統，都能自圓其說，它們分屬于歐氏幾何和兩種非歐幾何。

浩天看著鵬飛：“兩條直線除了相交和不相交之外還有一種情況——既相交又不相交。”

鵬飛驚奇地看著浩天，一時沒有明白他的意思。

浩天拿起筆在紙上畫了個叉：“你說這兩條直線相交一定有一個公共點嗎？”

鵬飛：“當然了，交叉點既在這一直線上也在另一直線上，這一點就是它們的公共點啊！”

浩天：“直線是由無數個點排列而成的，這些點之間不會有空隙嗎？怎么能保證另一直線不從這一直線的空隙穿過？這樣的兩條直線看起來相交，但也許并不相交。”

鵬飛：“歐幾里得說，‘點是沒有部分的東西，意思是點是不可分割的，不能再小的。它不占據空間體積，只占據一個空間位置。點組成直線，它們必定是密集的，一條直線穿過另一條直線，必然要碰到一個點，這個點就是交叉點。”

浩天：“為什么碰到的恰好是一個點，而不是兩個緊挨著的點？就像打臺球時可以打兩個緊挨的球中間，同時擊中兩球。”

“臺球是有大小的，點是沒有大小的！”鵬飛有些不耐煩了。

“那我再問一個問題。”浩天不依不饒，動手在紙上畫一條線，然后拿起一把剪刀將紙剪開，紙上的線被分成了兩段。“剪刀是把這條線剪斷了吧。請問，剪刀是恰好剪到了一個點，還是從線上兩點間的空隙穿過了？”

“當然是剪到一個點上了！”

“那么請問，這個被剪到的點是被分到了左邊還是右邊，還是粘在了剪刀口上？”說著，浩天還故意向剪刀口上看了看。

鵬飛哈哈大笑：“好一個浩天，你就是蘇格拉底的翻版啊，不知不覺我就進了你的圈套！”

浩天很認真地說：“不要笑，你給我解釋啊！”

“好吧，我們再去一趟古希臘。”

浩天和鵬飛一起通過電腦虛擬幻境又來到古希臘，這次他們來到意大利半島南部的埃利亞。

街頭有一位英俊的中年男子，身邊圍著許多人，他就是大名鼎鼎的芝諾。浩天和鵬飛悄悄站到了人群中。

芝諾大聲宣布：“關于運動，我認為是不可能的！”

人群里馬上有人反駁：“芝諾先生，請問你是怎么從家里來到街上的？”

芝諾并不理會，繼續說道：“我請大家思考幾個問題。第一，如果你要從A向B走一段距離，那么你勢必要先經過AB的中點C，而你要從A走到C，也必須先到達AC的中點D……如此一直這么推理下去，由于無論多么小的距離總是存在中點，無窮無盡，所以你將無法起步，無法運動起來。”人群靜了下來，都在思考著這個詭異的問題：要通過一段距離，必須要經過無數個中點，真的還就動不了了呢？

芝諾

有個年輕人擠到芝諾跟前：“你看好！”說完他從街道的這邊走到另一邊，又走回來。

芝諾微笑著說：“我用思辨提出問題，你也該用思辨來回答。”

年輕人一時無語。

芝諾：“第二，阿喀琉斯追不上烏龜。”

“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄！怎么會追不上烏龜？”人群中有人喊道。

芝諾：“假設阿喀琉斯的奔跑速度是烏龜的10倍，烏龜領先他100浮（古希臘的長度單位，1浮=1.892米）起跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因為阿喀琉斯必須先追到前面100浮遠的烏龜出發點。當阿喀琉斯追了這100浮時，烏龜已經又向前爬了10浮，于是一個新的起點產生了;阿喀琉斯必須繼續追，而當他追了這10浮時，烏龜又已經向前爬了1浮，阿喀琉斯只能再追這1浮。就這樣，烏龜會制造出無數個起點，它總能在最后那個起點與自己當前位置之間爬出一段距離。不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！”

眾人面面相覷，不知如何回答。

芝諾微笑著對剛才那位年輕人說：“你也可以追一下試試，當然一定能追上。但你如何回答我的問題？”

年輕人撓撓頭：“我確實無法回答。”

芝諾：“第三，飛矢不動！設想一支飛行的箭。在每一時刻，它位于空間中的一個特定位置。由于每個時刻都沒有持續時間，箭在每個時刻都是靜止的。鑒于整個運動期間只包含時刻，而每個時刻箭都是靜止的，所以飛行的箭總是靜止的，不可能運動。”

眾人啞然。

芝諾呵呵一笑，揚長而去：“運動是不可能的！”