含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統靜態均載特性

張霖霖，朱如鵬

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含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統靜態均載特性

張霖霖，朱如鵬

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京，210016)

基于集中參數法，建立含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪傳動系統靜態均載計算模型，并針對其進行靜態均載特性行為的理論研究。考慮時變嚙合剛度、各構件偏心誤差激勵、中心構件浮動等影響因素，并利用傅立葉級數法求解系統載荷平衡方程，定性地分析各構件偏心誤差、中心構件浮動方式及浮動量、柔性內齒圈扭轉剛度等參數對系統靜態均載特性行為的影響。研究結果表明：系統均載系數隨著偏心誤差的增大而增大，構件偏心誤差共同作用對均載系數的影響比構件偏心誤差單獨作用時的影響大；柔性內齒圈扭轉剛度的改變對太陽輪、內齒圈的浮動量及系統的均載系數均有影響；含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統較一般人字齒行星齒輪系統有更好的均載效果。

人字齒；行星齒輪；偏心誤差；扭轉剛度；浮動；靜態均載

人字齒行星齒輪傳動系統具有體積小、質量小、傳動比大、承載能力強、結構緊湊、傳動效率高等優點，在航空、船舶等傳動領域有廣泛的應用。行星輪間載荷分配均勻性直接關系到傳動系統的使用壽命、運轉平穩性和工作可靠性，因此，進行人字齒行星齒輪傳動系統均載特性的研究具有重要意義。BODAS等[1]利用建立行星輪系的有限元模型來研究各種誤差對均載特性行為的影響。LIGATA等[2?4]提出了1個簡化模型來預測行星輪的均載特性。BOGUSKI等[5]提出了1個新的方法來測量行星齒輪系中行星輪的均載和太陽輪的徑向運動軌跡。FOX等[6?8]分析并驗證了彈性銷的設計，定量分析了其優點，并用試驗研究來證明“彈性銷”設計極大地改善了均載性能，行星輪個數越多，效果越好。袁茹等[9]分析了不同支承剛度下，功率在各行星輪間分配不均衡程度和嚙合動載荷波動程度。陸俊華等[10]建立了2K?H型行星傳動系統的計算模型，從靜力學角度分析了系統的均載機理。葉福明等[11]建立了非等模數非等壓力角NGW型行星齒輪系的靜態均載特性的計算模型，得到一些理論成果。朱增寶等[12?13]分析了誤差對人字齒輪系統均載特性的影響。徐向陽[14]研究了柔性銷軸剛度和切向誤差對行星傳動均載的影響，并通過試驗驗證了理論結果的有效性。盛冬平等[15]建立了雙排行星齒輪系統靜態均載計算模型，并定性分析了偏心誤差、構件支撐剛度及扭轉剛度對系統均載的影響。張霖霖等[16]分析了嚙合相位對人字齒行星齒輪系統均載的影響，并進行了試驗驗證。有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪傳動系統的太陽輪在外力作用下可以浮動，在浮動的齒式聯軸器作用下具有補償輸入軸相對位移的能力；組合齒圈由柔性內齒圈和浮動內齒圈組成，內齒圈浮動可以減小輪系各構件的作用力的波動量，同時柔性內齒圈為柔性件，輪緣產生徑向變形可達到較好的均載效果。盡管國內外眾多學者進行了大量關于行星輪系均載特性的研究，然而，到目前為止，尚沒有涉及含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪的建模和均載特性研究。為此，本文作者建立含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統的靜態均載模型，系統分析構件偏心誤差單獨作用及共同作用下系統靜態均載特性的影響，分析中心構件浮動、柔性內齒圈扭轉剛度等對系統均載的影響同時，分析柔性內齒圈扭轉剛度對中心構件浮動量的影響。

1 含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統建模

1.1 含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統的基本結構

人字齒行星齒輪傳動系統結構圖如圖1所示。整個系統主要由與電機連接的輸入軸D、太陽輪s、個行星輪p、行星架c、浮動組合內齒圈以及與負載相連接的輸出軸L組成。浮動組合內齒圈由浮動內齒圈r和柔性內齒圈j組成。

太陽輪s可徑向浮動，行星輪p由安裝在行星架上的滑動軸承來支承，其對行星輪p在向和向的支承剛度分別為Kpx和Kpy。在一些行星齒輪減速器結構中，常常使2個基本構件同時浮動，使系統有更好的均載效果。在含有浮動組合內齒圈的人字行星齒輪系統中，浮動內齒圈r與柔性內齒圈j之間通過直齒相聯，柔性內齒圈為薄壁圓筒結構，具有一定的柔性，同時能給內齒圈提供一定支承剛度。輸入扭矩D作用在太陽輪s上，外部負載L作用在行星架c的輸出軸上。系統靜力學模型中不考慮部件自重，不考慮行星輪的離心力，考慮內齒圈浮動及柔性內齒圈的彎曲剛度、扭轉剛度。

(a)結構簡圖；(b) 三維模型圖

1.2 含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪傳動系統靜均載物理模型

1對人字齒輪副可看成由2個斜齒輪副組成。以往研究中通常認為2個斜齒輪副的軸向力相互抵消，因此，忽略軸向振動。但由于誤差等因素的存在，左、右2個斜齒輪副的動力學特性不可能完全相同。為了更真實地反映人字齒輪的動力學特性，將連接兩端斜齒輪的退刀槽等效為彈簧。由于兩端的斜齒輪之間存在橫向、縱向、軸向及扭轉方向的相對運動，因此，該彈簧具有彎曲剛度、拉伸剛度及扭轉剛度。

含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪傳動系統靜態模型如圖2所示，圖2中：為構件的剛度。每個單斜齒輪分別有沿，和軸的3個平移和繞軸旋轉的自由度。柔性內齒圈在浮動內齒圈連接時通常用卡圈固定內齒圈，限制內齒圈軸向竄動，因此，雖然柔性內齒圈是直齒結構，仍應考慮沿，和軸的3個平移和繞軸旋轉的自由度；考慮到齒輪左右旋，下標為L時表示人字齒中左旋的斜齒，為R時表示人字齒右旋的斜齒；代表第個行星輪，= 1, 2,…,，為行星輪的個數。該人字行星齒輪傳動系統共含有8+24個自由度，則廣義坐標為

圖2 含有浮動組合內齒圈的人字齒行星傳動系統靜態模型

式中：，和分別為構件向、向和向的位移；為構件的角位移。

式中：bs，bp，br和j分別為太陽輪、行星輪、內齒圈和柔性內齒圈的基圓半徑；c為行星輪中心到行星架回轉中心的距離。

1.3 嚙合線上的等效偏心誤差

將各齒輪各個誤差投影到嚙合線上的值即為各齒輪的等效偏心誤差，并假設沿著嚙合線的伸長方向為等效偏心誤差的正方向。為了便于研究，本文不考慮變位系數的影響，忽略軸承的支承間隙和齒輪嚙合副的齒側間隙，同時認為行星架的安裝和制造誤差均包含在行星輪的偏心誤差中[11]。齒輪偏心誤差以齒輪的實際質心偏離理論坐標原點的距離和角度表示。根據誤差定義和嚙合線的位置可得太陽輪偏心誤差與嚙合線的位置關系圖，如圖3所示。圖3中：s為太陽輪圓心；O為第個行星輪的圓心；sp嚙合線方向為第個行星輪與太陽輪的嚙合線方向。

圖3 太陽輪偏心誤差與嚙合線的位置關系

式中：為時間；s為太陽輪制造偏心誤差的初相位；sc為太陽輪與行星架之間的相對轉動角速度，且sc=s?c，s為太陽輪角速度，c為行星架角速度。

太陽輪和第個行星輪嚙合線與太陽輪偏心誤差s的夾角δs為

式中：φ為第個行星輪相對于第1個行星輪的位置角，且φ=2π(?1)/；spt為太陽輪和行星輪嚙合副端面嚙合角。

式中：b為基圓螺旋角。

圖4所示為行星輪偏心誤差與嚙合線的位置關系。由圖4可知：行星輪偏心誤差pn在太陽輪和第個行星輪嚙合線上的等效誤差為e1，行星輪偏心誤差pn在第個行星輪和內齒圈嚙合線上的等效誤差為e2：

圖4 行星輪偏心誤差與嚙合線的位置關系

第個行星輪和太陽輪的偏心嚙合誤差sn、內齒圈和第個行星輪的偏心嚙合誤差er分別為

圖5 內齒圈偏心誤差與嚙合線的位置關系

1.4 彈性嚙合力

行星輪系中內外各嚙合副間的彈性嚙合力，可由下式求得：

式中：Fsn和Frn分別為太陽輪與行星輪及行星輪與內齒圈之間的彈性嚙合力；Ksn()為太陽輪與行星輪外嚙合線上的時變嚙合剛度；Krn()為行星輪與齒圈內嚙合線上的時變嚙合剛度，按MAATAR的斜齒輪嚙合剛度公式計算；δsn和δrn分別為內、外嚙合線上的相對 位移。

圖6所示為行星齒輪中各構件間的相對位置關系在齒輪端面的投影。由圖6可以求出各構件之間的相對位移在嚙合線或坐標系上的投影。

圖6 行星齒輪中各構件間的相對位置關系

太陽輪與行星輪的相對位移沿嚙合線方向的投影為

行星輪與內齒圈的相對位移沿嚙合線方向的投影為

行星輪與系桿的相對位移沿c，c，c和c方向的投影為

式中：φ為行星輪的圓周角；spt為sp嚙合的端面嚙合角；rpt為pr嚙合的端面嚙合角；sn為第個sp嚙合的法面嚙合線上的綜合嚙合誤差；er為第個pr嚙合的法面嚙合線上的綜合嚙合誤差。

1.5 系統載荷平衡方程

不考慮動態效應的情況下，根據上述分析可以推導出系統的靜態載荷扭矩平衡方程。

太陽輪靜態載荷扭矩平衡方程為

可整理為

同理，對于行星輪，有

對于浮動內齒圈，有

對于行星架，有

對于柔性內齒圈，有

式中：下標為L時表示人字齒中左旋的斜齒，取值為1，為R時表示人字齒右旋的斜齒，取值為2；L為輸出扭矩；下標g表示構件(如太陽輪s、行星輪p、內齒圈r、行星架c)；表示沿，和軸的3個平移或繞軸的角位移自由度；gρLR為構件g左右旋齒輪間沿向的相互作用力；gρLR為構件g左右旋齒輪間沿向的剛度；Fgρ為構件g在向的支撐力；kgρ為構件g在向的支撐剛度；Frj為內齒圈與齒圈在向的作用力；krjρ為內齒圈與柔性內齒圈在向的支撐剛度；g為構件g的基圓半徑。

2 影響靜態均載特性的參數

為了從實際應用的角度來分析偏心誤差、柔性內齒圈扭轉剛度、中心構件浮動等系統參數對人字齒行星輪系的靜態均載特性的影響，本文從某齒輪傳動系統中提取出相關參數，如表1所示。本文不考慮輸入及負載的波動。

采用傅里葉級數法求解式(14)~(18)，獲得系統位移響應，代入式(9)得齒輪嚙合力。

在人字齒行星傳動系統中，各個行星輪承擔的載荷并不相等，通常用均載系數來表示傳動系統載荷分配均勻性。均載系數越大，傳動系統載荷分配就越不均衡。

表1 人字齒行星齒輪系統參數

人字齒行星齒輪系中令左旋各行星輪內、外嚙合均載系數為Lspn和Lrpn；右旋各行星輪內、外嚙合均載系數為Rspn和Rrpn，則

其中：=1，2，…，。

人字齒行星齒輪系統左旋內外嚙合均載系數為Lsp和Lrp；右旋內外嚙合均載系數為Rsp和Rrp，則

因此，人字齒行星齒輪系統的靜態均載系數[15?16]為

2.1 柔性內齒圈對系統均載特性的影響

為分析柔性內齒圈扭轉剛度對中心輪浮動量的影響，定義太陽輪浮動時太陽輪中心的徑向浮動量為s；定義內齒圈浮動時內齒圈中心徑向浮動量為r[17?18]，則

式中：s和s分別為太陽輪在和方向的位移；r和r分別為內齒圈在和方向的位移。

人字齒輪傳動系統中心構件浮動量隨柔性內齒圈扭轉剛度的變化如圖7所示。由圖7可知：在改變柔性內齒圈扭轉剛度的情況下，內齒圈浮動量隨著柔性內齒圈扭轉剛度的增大而減小；當柔性內齒圈扭轉剛度從5×107N/m增大到2×108N/m時，內齒圈徑向浮動量從145 μm急劇減小到90 μm；當柔性內齒圈扭轉剛度從2×108N/m增大到1×109N/m時，內齒圈徑向浮動量從90 μm緩慢減小到80 μm；而太陽輪浮動量隨著柔性內齒圈扭轉剛度的增大而增大，當柔性內齒圈扭轉剛度從5×107N/m增大到2×108N/m時，太陽輪徑向浮動量從70 μm增加到90 μm；當柔性內齒圈扭轉剛度從2×108N/m增大到1×109N/m時，太陽輪徑向浮動量從90 μm緩慢增加到102 μm。

1—Rr; 2—Rs。

圖8所示為人字齒輪傳動系統均載系數隨柔性內齒圈扭轉剛度變化曲線。圖8中：Lsp和Lrp分別為系統左旋內、外嚙合均載系數；Rsp和Rrp分別為柔性內齒圈扭轉剛度對右旋內、外嚙合均載系數。由圖8可知：在改變柔性內齒圈扭轉剛度的情況下，左、右旋內、外均載系數均隨著柔性內齒圈扭轉剛度的增大而增大。在理想情況下，人字齒輪左、右旋分擔相同的扭矩，在同轉速下，載荷越大，均載系數越小。系統中左旋外嚙合均載系數Lsp小于右旋的外嚙合均載系數Rsp；左旋內嚙合均載系數Lrp小于右旋的內嚙合均載系數Rrp，因此，左、右旋的行星輪系實際分擔的系統載荷不同，靠近輸入端的左旋會比靠近輸出端的右旋分擔的扭矩稍多；柔性內齒圈扭轉剛度越小，Lsp，Lrp，Rsp和Rrp也越小，同時，4個參數越接近，說明左、右旋分擔的載荷越接近，系統的均載效果越好，對系統的使用壽命、運轉平穩性更有利。

1—ΩLsp；2—ΩLrp；3—ΩRsp；4—ΩRrp。

2.2 中心構件浮動對系統均載特性的影響

1—太陽輪浮動；2—太陽輪和內齒圈同時浮動；3—太陽輪和內齒圈同時浮動。

2.3 偏心誤差對系統均載特性的影響

分析偏心誤差作用對均載的影響，先假設構件的其他誤差都為0 μm。為研究1齒輪偏心誤差單獨作用時對系統均載的影響，暫不考慮其他齒輪的偏心誤差，帶入系統載荷平衡方程，可以分析出太陽輪、行星輪、內齒圈單獨作用以及三者共同作用的偏心誤差在 0~80 μm內變化時行星輪系均載系數的影響，如圖10所示。圖10中：s，r和p分別為太陽輪、行星輪和內齒圈偏心誤差單獨作用的均載系數；為太陽輪、行星輪、內齒圈共同作用下偏心誤差的系統均載系數。

隨偏心誤差增大，系統內部激勵就會增大，從而系統的嚙合力幅值也會增大，因此，無論偏心誤差單獨變化還是共同變化，隨著偏心誤差增大，系統的均載系數都增大。由于行星輪的偏心誤差同時影響內、外嚙合誤差，隨著偏心誤差增大，行星輪的偏心誤差單獨變化時系統均載系數增大最快，且當偏心誤差一定時，行星輪偏心誤差單獨作用時的系統均載系數最大，而太陽輪和內齒圈的偏心誤差單獨作用時的系統均載系數相當。偏心誤差共同作用時，太陽輪、行星輪、內齒圈3種偏心誤差的相位差和周期不同，因此，各偏心誤差共同作用時系統的均載系數大于各偏心誤差單獨作用時的均載系數。

對比圖10(a)和圖10(b)可知：在相同工況下及偏心誤差作用下，含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統較一般的人字齒輪系統有更好的均載效果。

(a) 柔性內齒圈扭轉剛度為1.5×108 N/m；(b)柔性內齒圈扭轉剛度為6.0×107 N/m

3 結論

1) 柔性內齒圈的柔性設計能夠改善系統的均載性能，且能夠使系統左、右旋行星齒輪分擔的載荷更接近，同時，系統的均載效果更好。含有浮動組合內齒圈的人字齒行星齒輪系統較一般的人字齒輪系統有更好的均載效果。

2) 內齒圈浮動量隨著柔性內齒圈扭轉剛度的增大而減小，太陽輪浮動量隨著柔性內齒圈扭轉剛度的增大而增大。

3) 太陽輪和內齒圈組合浮動的均載效果比太陽輪單獨浮動的均載效果好。當構件浮動與柔性內齒圈耦合時，系統的均載效果最好。

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(編輯 劉錦偉)

Static load sharing behavior of herringbone planetary gear train with floating composite ring gear

ZHANG Linlin, ZHU Rupeng

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Based on the theory of concentrated parameters, a model for analyzing the static load sharing characteristics of herringbone planetary gear transmission system with floating composite ring gear was set up. And the static load characteristic behavior theory research of the system was studied. Time-varying mesh stiffness, eccentricity error incentive and center component floating were taken into consideration. The equilibrium equations of the system load were determined by the method of Fourier series. The behaviors of static load sharing characteristics affected by the system parameters including gear eccentricity error, center component floating form and quantity, torsional stiffness of the flexible ring gear were investigated qualitatively. The results show that the system load sharing coefficient increases with the increase of eccentricity error, and the effect of component eccentricity errors in combination on the system load sharing coefficient is greater than that of component eccentricity errors alone. The torsional stiffness change of flexible ring gear affects not only the floating quantity of sun gear and ring gear, but also the system load sharing coefficient. The herringbone planetary gear transmission system with floating composite ring gear has a better load sharing effect than the normal herringbone gear planetary gear system.

herringbone; planetary gear; eccentricity error; torsional stiffness; float; static load sharing

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.05.014

TH132

A

1672?7207(2018)05?1126?09

2017?05?09；

2017?06?25

國家自然科學基金資助項目(51375226) (Project(51375226) supported by the National Natural Science Foundation of China)

朱如鵬，教授，博士生導師，從事機械傳動、結構強度和微型機械研究；E-mail: rpzhu@nuaa.edu.cn