遭受DoS攻擊的短時延網絡控制系統保性能控制

何 勝 權， 俞 立

( 浙江工業大學 信息工程學院， 浙江 杭州 310023 )

0 引 言

網絡控制系統(networked control systems，NCS)由控制對象、傳感器、控制器、執行器和通信網絡組成．NCS由于具備布線靈活、安裝方便和維護費用低等優勢，在控制領域的作用越來越明顯，例如，在移動傳感器網絡[1]、無人機控制[2]、車輛自主編隊[3]等領域廣泛存在．NCS傳感器與控制器、控制器與執行器之間的數據傳輸是通過通信網絡來完成的，因此NCS與傳統控制系統最主要的區別就在于數據傳輸方式的不同．正是由于NCS的這一數據傳輸特點，其不可避免地存在著網絡誘導時延[4]、數據包丟失[5]等問題，其中又以網絡短時延問題最為常見．因此，本文主要針對包含短時延的NCS進行研究．

隨著互聯網技術快速發展，NCS的可移動性和可移植性得到了極大的提升．同時，互聯網技術更深層次的發展，給NCS共享網絡的安全性帶來了新的挑戰．網絡技術的發展打破了原有控制系統的封閉性，而且隨著TCP/IP(或UCP/IP)協議[6]商業標準化的形成，無形中也增加了NCS受到外界攻擊的概率．由此可見，NCS的安全性問題日益突出．如2012年5月底，破壞力巨大的“火焰”(flame)病毒在中東地區廣泛傳播，對伊朗等中東國家的能源工業進行猛烈攻擊，嚴重影響了這些國家一些重要能源控制系統的正常運行[7]．近年來，類似的網絡攻擊事件層出不窮，由此可見，針對NCS的安全性問題展開研究尤為重要．

當然，盡管在NCS中網絡攻擊的形式日益多樣化，但其中還是有幾種比較典型的網絡攻擊形式，如DoS(Denial-of-Service)攻擊[8]、欺騙攻擊[9]等．本文主要針對在實際中攻擊范圍最廣、最容易實現的DoS攻擊進行研究．DoS攻擊即拒絕服務攻擊，該攻擊作用于NCS的共享網絡，直接導致的后果是：在DoS攻擊過程中，NCS的控制器或執行器無法接收到測量信息或控制信息，因此，對實時性要求高的系統來說，不僅會降低系統的性能，還可能造成系統的不穩定．文獻[10]提出了一種JDL數據融合模型框架，在該框架下通過主從博弈來描述不同網絡層數據間的關系，并研究了DoS攻擊的彈性控制．文獻[11]針對DoS攻擊，系統性地設計了基于輸出的動態事件觸發控制(event-triggered control，ETC)系統，該ETC策略可以保證系統的性能和魯棒性，使系統和DoS攻擊在通信資源的使用上達到平衡．文獻[12]給出了一般的控制系統在欺騙攻擊和DoS攻擊下的估計問題，但未針對NCS，特別是具有短時延的NCS．而對NCS分析的文獻，多數僅考慮網絡時延、數據包丟失等經典問題的影響．

基于此，本文同時考慮短時延和DoS攻擊問題對NCS性能的影響，主要針對執行器的執行周期比傳感器的采樣周期更快的這一類NCS[13-14]，同時，把該類NCS的短時延和DoS攻擊問題統一建模成離散切換系統模型[15]，并在給定的保性能指標下，設計該NCS的保性能控制器．最后通過仿真示例驗證本文結果的有效性．

1 問題描述與建模

1.1 問題描述

考慮如下連續LTI系統：

(1)

其中x(t)∈Rn是系統狀態，u(t)∈Rd是系統輸入，Ap與Bp分別是適當維數的狀態矩陣和輸入矩陣．

圖1 時序圖Fig.1 Timing diagram

通過定義新的采樣周期H，不僅把短時延和DoS攻擊兩個問題統一起來，還能把上述兩類DoS攻擊的情況統一起來．如圖1所示，在周期[tl,tl+1]內，同時存在u(tl-1)和u(tl)兩個輸入量，采樣周期Tsd=nT0；在周期[tl+1,tl+2]內，同時存在u(tl)和u(tl+1)兩個輸入量，采樣周期Tld=mnT0．當m=1時，兩類DoS攻擊等價，即第1類DoS攻擊是第2類DoS攻擊的特殊情況．因此，只需要分析第2類DoS攻擊對系統(1)的影響即可．

1.2 閉環系統建模

記hk∈H，k∈N，表示在[tk,tk+1]時間內的采樣周期時長，即hk=tk+1-tk．假設在采樣周期hk內執行器的兩個輸入量u(tk-1)和u(tk)的作用時間分別為n1(k)T0和n0(k)T0，且符合關系式n1(k)T0+n0(k)T0=hk=mnT0．

對系統(1)考慮DoS攻擊的影響，得到如下離散系統：

x(tk+1)=A(hk)x(tk)+B(hk)u(tk)+

B(hk-1)u(tk-1)

(2)

所以，系統(2)等價于

(3)

(4)

Boσ(tk)=∑mn-1i=n1(k)Ai0B0,B～oσ(tk)=∑n1(k)-1i=0Ai0B0,Aoσ(tk)=Amn0,σ(tk)∈Z

其中是切換信號．

進一步，選取反饋控制律u(tk)=Kx(tk)，得到如下閉環切換系統模型：

Scσ(tk):x(tk+1)=Aσ(tk)x(tk)+Bσ(tk)x(tk-1)

(5)

離散系統(5)等價于如下描述的系統：該系統的執行周期為T0，采樣周期為n1(k)T0，n1(k)∈Z．因此，在切換信號σ(tk)的作用下，Scσ(tk)描述了該系統的狀態反饋模型．

2 穩定性分析

定義1對于給定切換信號σ(tk)和任意的tk≥1，令Nσ[t0,tk)表示切換信號σ(tk)在時間間隔[t0,tk)內的切換次數，若存在N0≥0，ta≥0，使得Nσ[t0,tk)≤N0+(tk-t0)/ta成立，那么ta稱為切換信號σ(tk)的平均駐留時間，N0稱為抖動界．

令nj表示子系統Sj在時間間隔[t0,tk)內激活的次數，j∈Z．以下定理給出了系統(5)指數穩定的一個充分條件．

定理1考慮系統(5)，若存在正標量λj>0，λ<1和μ≥1，以及適當維數的矩陣Pj≥0，Qj≥0，j∈Z，使得以下不等式

(6)

Pα≤μPβ，Qα≤μQβ；α,β∈Z

(7)

(8)

ta>t-a

(9)

成立，那么系統(5)指數穩定，并具有指數衰減率ρ(λ,ta)=λμ1/2ta．

證明系統(5)的子系統模型為

Sj:x(tk+1)=Ajx(tk)+Bjx(tk-1)；j∈Z

(10)

為系統(10)選取如下Lyapunov函數：

Vj(tk)=xT(tk)Pjx(tk)+xT(tk-1)Qjx(tk-1)

記η(tk)=(xT(tk)xT(tk-1))T，則由不等式(6)可得

即可得

(11)

為系統(5)選取如下Lyapunov函數：

Vσ(tk)(tk)=xT(tk)Pσ(tk)x(tk)+xT(tk-1)Qσ(tk)x(tk-1)

對于切換信號σ(tk)，令tk1<…

Vσ(tki)(tki)≤μVσ(tk(i-1))(tki)

(12)

由不等式(6)、(11)和(12)遞推可得

λ2tk1Vσ(t0)(t0)≤

μNσ[t0,tk)λ2tkVσ(t0)(t0)=

ρ2tk(λ,ta)Vσ(t0)(t0)

(13)

(14)

繼而可得

(15)

此外，不等式(9)和λ<1確保了ρ(λ,ta)<1．因此，由定義2可知，系統(5)指數穩定，且具有指數衰減率ρ(λ,ta)=λμ1/2ta．證畢．

3 保性能控制器設計

本文針對系統(5)考慮如下保性能指標：

uT(tk-1)G3u(tk-1)]

(16)

其中G1、G2和G3都是給定的正定常數矩陣．如果在反饋控制律u(tk)=Kx(tk)的作用下，系統(5)是指數穩定的，且性能J是有界的，滿足J≤

J-

，那么該反饋控制律就是系統(5)的保性能控制器，系統具有保性能水平

J-

．下面給出一個使系統(5)指數穩定的充分條件．

定理2考慮系統(5)，若存在正標量λj>0，λ<1和μ≥1，以及適當維數矩陣Pj≥0，Qj≥0，j∈Z，使得不等式(7)～(9)以及不等式

Ω～jATjBTj()Pj(Aj Bj)+Λ100Λ2()<0

(17)

J-(λ,ta)=1-λ2minρ-2tk(λ,ta)-1Vσ(t0)(t0),λmin=minj∈Z{λj}.

令

J(tk)=xT(tk)G1x(tk)+uT(tk)G2u(tk)+uT(tk-1)G3u(tk-1)

與不等式(11)的推導過程類似，可得

即

(18)

對于切換信號σ(tk)，令tk1<…

J(tk(i-1)))-J(tki)<…<

(19)

結合式(12)和(19)可遞推得到

Vσ(tk(i-1))(tk(i-1))-

(20)

其中

進一步，結合式(13)和(20)，且根據關系式Vσ(tk)(tk)≥0，可得

Φ(J(s))<ρ2tk(λ,ta)Vσ(t0)(t0)-Vσ(tk)(tk)≤

ρ2tk(λ,ta)Vσ(t0)(t0)

(21)

又因Nσ[t0,tk-1)≥0，所以對?s∈{0,…,tk-1}，可得如下關系式：

(22)

(23)

對式(23)左右兩邊從tk=1→+∞求和，分別得

(24)

(25)

結合式(23)～(25)可得

∑+∞s=0J(s)≤1-λ2minρ-2tk(λ,ta)-1Vσ(t0)(t0)J-(λ,ta)

(26)

即時系統(5)具有保性能水平．證畢．

先給出一個在后續證明中需要用到的引理．

引理1[16]對任意矩陣A，P>0和Q>0，不等式ATQA-P<0成立，當且僅當存在一個矩陣Y，使得以下矩陣不等式成立：

緊接著，給出下面的定理．該定理通過對一個優化問題的求解，得到系統(5)的保性能控制器．

定理3考慮系統(5)和性能指標(16)，若存在正標量λj>0，λ<1和μ≥1，以及適當維數的矩陣X，V，Rj≥0，Sj≥0，j∈Z，使得以下優化問題

minδ

s.t. 式(8)，式(9)，

Ω^

j<0，Ψ<0；j∈Z

Rα≤μRβ，Sα≤μSβ；α,β∈Z

(27)

成立，且有最小目標函數δ*．那么具有增益矩陣K=V-1X的狀態反饋控制器是一個最優反饋保性能控制器，使系統(5)指數穩定且具有指數衰減率ρ(λ,ta)和保性能水平

J-

(λ,ta)．其中

Ω^j-λ2Rj+Sj0XTAToj+VTBTojΔT1?-λ2jSjVTB～TojΔT2??-X-XT+Rj0???-δG?è???????÷÷÷÷÷ΔT1=(XT VT 0), ΔT2=(0 0 VT)G=diag{G-11,G-12,G-13}Ψ-IxT(t0)?-X-XT+R0(); R0∈{Rj, j∈Z}

證明定理2中的

Ω～

j<0等價于

(28)

其中Λ1=-λ2Pj+Qj+G1+KTG2K．由上式可知，矩陣Y是可逆的．定義X=δY-1，記V=KX，Rj=XTPjX/δ，Sj=XTQjX/δ，對式(28)分別左乘矩陣diag{XT,XT,XT}，右乘矩陣diag{X,X,X}，再應用Schur補定理即可得到不等式

Ω^

j<0．

對不等式Pα≤μPβ和Qα≤μQβ都分別左乘矩陣δ-1/2XT，右乘矩陣δ-1/2X，即可得到矩陣不等式Rα≤μRβ，Sα≤μSβ，α,β∈Z．

定義P0=Pσ(t0)∈{Pj，j∈Z}，由Vσ(t0)(t0)=xT(t0)Pσ(t0)x(t0)<δ，可得

Ψ～-δIxT(t0)Y?-Y-YT+P0()<0

(29)

對式(29)分別左乘矩陣diag{δ-1/2I，δ-1/2XT}，右乘矩陣diag{δ-1/2X,δ-1/2I}，可得不等式Ψ<0．證畢．

4 示 例

考慮一個文獻[17]中簡化的實際直流電機模型，x=(θω)T是其狀態量，其中θ和ω的物理意義分別表示電機的角位置和角速度，其狀態空間模型表述如下：

x.=011-217.4()x+01 669.5()u

(30)

選取系統的采樣周期T=5 ms，執行周期T0=1 ms，則n=5．由此可得

假設

n^

=1，即系統的短時延總是滿足條件τ≤T0．另外，假設

M-

Z^

=3，即m∈{1,2,3}．因此，設n1(k)的取值為n1(k)∈{1,6,8,10,12}，即整個切換系統模型由5個子系統Sj(j∈

Z^

)組成．

選取μ=1.01，λ1=0.96，λ6=1.20，λ8=1.25，λ10=1.30，λ12=1.32，求解優化問題(27)得到一個可行的控制器增益

K=(-2.827 9 -0.014 3)

為滿足條件(8)，可取λ=0.99．此時，所考慮的閉環系統總能指數穩定，并且具有指數衰減率ρ=λμ1/2=0.995．

假設在時間間隔[t0,t100)內，系統遭受DoS攻擊的情況由以下子系統切換序列

表示，則子系統S1、S6、S8、S10、S12分別發生了93、2、2、2、1次．由定理3可知，在控制器u(tk)=Kx(tk)的作用下，閉環系統指數穩定，并且具有指數衰減率ρ=0.995．

給定x(t0)=(0.5 0.2)T為系統(30)的初始狀態，仿真結果如圖2、3所示．圖2是發生DoS攻擊時刻的分布圖．圖3是DoS攻擊下的系統狀態軌跡圖，由于圖中角位移θ的狀態曲線在DoS攻擊下變化較緩，故選取其中一部分受影響的曲線(小方圈A包圍的曲線)進行放大．圖3中Ⅰ～Ⅲ反映了系統(30)在遭受DoS攻擊時系統性能的變化情況．該仿真結果說明了所設計的保性能控制器的有效性．

圖2 DoS攻擊分布Fig.2 Distribution of DoS attacks

圖3 DoS攻擊下的系統狀態軌跡Fig.3 State trajectories of the system under DoS attacks

5 結 語

本文同時考慮了短時延和DoS攻擊對NCS性能的影響．首先，通過重新定義采樣時間的處理方法，把NCS的短時延和兩類DoS攻擊問題統一建模成同時包含確定和不確定子系統的切換系統模型．隨后，用切換系統的分析方法，給出了本文所考慮的NCS指數穩定的充分條件．進一步，通過給出保性能控制水平，設計了系統的最優保性能控制器．最后，通過一個仿真示例驗證了所設計的保性能控制器的有效性．

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