通用截面特性計算軟件開發研究

余興勝

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063)

截面特性計算是結構有限元分析和截面檢算的首要工作。以往矩形、圓形、圓端形等規則截面多采用各自特定的截面特性計算公式直接計算[1-2]，復雜異形截面多采用網格分塊模擬的辦法間接計算[3-6]。特定截面特性公式計算效率高，但僅適用于特定形式，分塊模擬算法適用面廣，但精度和效率卻低下，且需要借助一些通用的制圖或分析軟件，如AutoCAD、Ansys、Midas等[7-10]。為找到一種適用于任意截面形式的截面特性計算方法，開發通用高效的計算軟件，亟需對截面特性計算原理和程序開發架構進行深入研究。

鐵四院在開發軌道交通橋梁協同設計系統時，為了實現通用截面檢算功能，通過對截面特性中面積、靜矩、慣性矩和慣性積的數學表達式進行深入研究，找到了一種利用數值積分直接求解截面特性的通用算法[11-12]。即運用格林公式將截面特性的數學表達式中對面積的二重積分轉換為對截面邊界曲線的積分，通過代入曲線參數方程將邊界曲線的二元積分轉換為一元積分，進而利用牛頓-萊布尼茲公式精確求解截面特性[13]。該方法直接采用數值積分算法求解截面特性數學表達式，不存在任何假定或模擬[14]，與網格分塊模擬的方法相比，計算效率大大提高，并且計算結果精確，不受網格分塊程度影響。基于該數值積分算法，采用面向對象的軟件設計方法開發通用截面特性計算軟件，提供靈活方便的數據輸入組織方式，適用于實體或空心，整體或分離，單一或組合材料的任意組合截面形式[15]。圖1為通用截面構建邏輯圖，其中X、Y代表輪廓頂點的X、Y坐標，F代表圓弧凸度或矢高，E代表橢圓離心率。下面將分別就其中關鍵的整體技術路線、數值積分求解和軟件設計實現三部分進行介紹。

圖1 通用截面構建邏輯圖

1 整體技術路線

截面特性中面積、靜矩、慣性矩和慣性積的數學表達式均為在截面平面閉區域上對面積的二重積分。如面積是截面內各微元面積的積分[1]

(1)

靜矩是截面內各微元面積與各微元至指定坐標系X軸或Y軸距離乘積的積分[1]

(2)

(3)

慣性矩是截面內各微元面積與各微元至指定坐標系X軸或Y軸距離二次方乘積的積分[1]

(4)

(5)

慣性積是截面內各微元面積與各微元至指定坐標系X軸距離和Y軸距離乘積的積分[1]

(6)

由格林公式可知，在平面閉區域D上的二重積分可以通過沿閉區域D的邊界曲線L上的曲線積分來表達[14]。設閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，函數P(x，y)及Q(x，y)在D上具有一階連續偏導數，則有

(7)

式中，L是D的取正向邊界曲線，L的正向如下，當觀察者沿L方向行走時，D內在他近處的那一部分總在他的左邊。

利用格林公式可以將上述截面特性計算中對面積的二重積分轉換為對輪廓邊界曲線的積分。采用輪廓邊界曲線頂點的凸度坐標或矢高坐標的方式組織數據，利用常見的直線段、圓弧段或橢圓弧段組合而成的復合曲線來分段模擬任意輪廓邊界形狀，可以建立輪廓邊界曲線的參數化方程。但是格林公式右端對輪廓邊界曲線的積分是含有x，y兩個參數的二元函數積分，依然不好求解。可以利用直線段、圓(橢圓)弧段的參數方程將格林公式右端轉化為一元函數積分。

直線段的參數方程

(8)

(9)

式中，a、c分別為直線段方位角的余弦值、正弦值；b、d分別為起點的X、Y坐標；t[0，len]為直線段上某點距離起點的長度變量；len為直線段長度。

圓弧段的參數方程

(10)

(11)

式中，r為圓弧半徑；a、b分別為圓心的X、Y坐標；t[sa，ea]為直線段上某點距離起點的弧長變量；sa、ea分別為圓弧的起點、終點方位角。

橢圓弧段的參數，只需乘以橢圓弧Y軸長與X軸長的比值k即可，圓弧段k=1，是橢圓弧段的特殊情況，為減少變量，本文接下來均以圓弧段代表，公式中將不再出現參數k，橢圓弧的公式讀者可自行推導。

在一元函數積分學中，牛頓-萊布尼茲公式

(12)

表示：F′(x)在區間[a，b]上的積分可以通過它的原函數F(x)在這個區間端點上的值來表達[14]，故格林公式右端代入曲線的參數方程后的一元積分可以通過尋找其原函數來求解。在接下來的數值積分求解部分將分別推導面積、靜矩、慣性矩和慣性積的曲線積分函數的原函數。

2 數值積分求解

2.1 面積

格林公式中函數P(x，y)和Q(x，y)可以有很多種形式，對應的格林公式右端對邊界曲線的積分公式就會不同，雖然單個曲線段的積分結果不一樣，但是無論函數P(x，y)和Q(x，y)采用哪一種形式，整個閉合邊界曲線的各曲線段積分的代數和一定是一樣的。如面積積分時函數P(x，y)和Q(x，y)分別取(Q=2x，P=y)和(Q=0.5x，P=-0.5y)，格林公式左端偏微分計算的結果是一樣的，雖然對應的單個曲線段的積分結果不一樣，但整個閉合邊界曲線各曲線段積分的代數和是一樣的。為降低后續數值積分求解的難度，提高計算效率，要力求使右端曲線積分形式最簡。如直接假定函數P(x，y)和Q(x，y)中的一個為零可以大大降低求解的難度[12]。

令Q=x、P=0，則

因此可將面積的二重積分公式用格林公式轉換成對邊界曲線積分公式

(13)

將直線段的參數方程式(8)、式(9)代入式(13)，可得面積的直線段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導面積A的直線段定積分函數的原函數

FAL=0.5act2+bct

(14)

同理，將圓弧段的參數方程式(10)、式(11)代入式(13)，可得面積的圓弧段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導面積A的圓弧段定積分函數的原函數

FAA=0.5r2t+0.25r2sin2t+arsint

(15)

2.2 靜矩

與面積的二重積分公式一樣，靜矩的二重積分用格林公式轉換成邊界曲線積分時P(x，y)和Q(x，y)也可以有很多種形式，可假定其中一個為零來降低求解的難度。

2.2.1靜矩Sy

令Q=0.5x2、P=0，則

(16)

將直線段的參數方程式(8)、式(9)代入公式(16)，可得靜矩Sy的直線段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導靜矩Sy的直線段定積分函數的原函數

FSyL=a2ct3/6+abct2/2+0.5b2ct

(17)

同理，將圓弧段的參數方程式(10)、式(11)代入公式(16)，可得靜矩Sy的圓弧段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導靜矩Sy的圓弧段定積分函數的原函數

(18)

2.2.2靜矩Sx

令Q=0、P=-0.5y2，則

(19)

將直線段的參數方程式(8)、式(9)代入式(19)，可得靜矩Sx的直線段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導靜矩Sx的直線段定積分函數的原函數

FSxL=-ac2t3/6-0.5acdt2-0.5ad2t

(20)

同理，將圓弧段的參數方程式(10)、式(11)代入式(19)，可得靜矩Sx的圓弧段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導靜矩Sx的圓弧段定積分函數的原函數

(21)

2.3 慣性矩

慣性矩的二重積分用格林公式轉換成邊界曲線積分時P(x，y)和Q(x，y)也可以有很多種形式，可假定其中一個為零來降低求解的難度。

2.3.1慣性矩Iy

令Q=x3/3，P=0，則

(22)

將直線段的參數方程式(8)、式(9)代入式(22)，可得慣性矩Iy的直線段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導慣性矩Iy的直線段定積分函數的原函數

(23)

同理，將圓弧段的參數方程式(10)、式(11)代入式(22)，可得慣性矩Iy的圓弧段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導慣性矩Iy的圓弧段定積分函數的原函數

(24)

2.3.2慣性矩Ix

令Q=0、P=-y3/3，則

(25)

將直線段的參數方程式(8)、式(9)代入式(25)，可得慣性矩Ix的直線段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導慣性矩Ix的直線段定積分函數的原函數

(26)

同理，將圓弧段的參數方程式(10)、式(11)代入式(25)，可得慣性矩Ix的圓弧段定積分公式

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導慣性矩Ix的圓弧段定積分函數的原函數

(27)

2.4 慣性積

慣性積的二重積分用格林公式轉換成邊界曲線積分時P(x，y)和Q(x，y)也可以有很多種形式，可假定其中一個為零來降低求解的難度。

令Q=0.5x2y、P=0，則

(28)

將直線段的參數方程式(8)、式(9)代入式(28)，可得慣性積Ixy的直線段定積分公式

(0.5b2c2+abcd)t+0.5b2cd)dt

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導慣性積Ixy的直線段定積分函數的原函數

(29)

同理圓弧段的參數方程式(10)、式(11)代入式(28)，可得慣性積Ixy的圓弧段定積分公式

0.5a2r2sintcost+0.5br3cos3t+

abr2cos2t+0.5a2brcost)dt

利用牛頓-萊布尼茲公式求解上式時，推導慣性積Ixy的圓弧段定積分函數的原函數

(30)

3 軟件設計實現

3.1 程序結構

通用截面特性計算軟件根據圖1通用截面構建邏輯圖設計，采用面向對象的開發方法實現。程序結構包括任意截面、輪廓形狀(含構造器)、邊(直線邊和圓(橢)弧邊)和頂點，其相互之間的包含、繼承關系如圖2所示。

圖2 程序類結構

其中構造器ShapeMaker類的主要功能是基于矩形切割快速自動化生成常規輪廓形狀頂點集，在數據組織部分將對其原理作詳細介紹。頂點Vertex為結構體，有X、Y、F三個字段，X、Y為頂點的x、y坐標，F為該頂點與下一頂點圓弧段的矢高或凸度，若為直線段則F=0。邊Edge類為抽象基類，包含起點、終點兩個頂點Vertex對象，以及Area、Sx、Sy、Ix、Iy、Ixy六個抽象方法。直線邊LineEdge類繼承自邊Edge類，根據起點、終點坐標計算出直線段長度len，直線段方位角的余弦值a和正弦值c，建立直線段的參數方程。將參數t的上下限[0，len]分別代入面積、靜矩、慣性矩、慣性積的直線段定積分函數的原函數求解，實現直線邊的Area、Sx、Sy、Ix、Iy、Ixy方法。圓弧邊ArcEdge類繼承自邊Edge類，根據起點、終點坐標以及矢高或凸度計算出圓弧半徑r、圓心X坐標a、圓心Y坐標b、圓弧段起點方位家sa和終點方位角ea，建立圓弧段的參數方程。將參數t的上下限[sa，ea]分別代入面積、靜矩、慣性矩、慣性積的圓弧段定積分函數的原函數原求解，實現圓弧邊的Area、Sx、Sy、Ix、Iy、Ixy方法。

平面單連通區域就是不含有“洞”(包括點“洞”)的區域，復連通區域是含有“洞”(包括點“洞”)的區域[14]。輪廓形狀Shape類用于描述一個平面單連通區域或者復連通區域的一個“洞”，基本屬性包括彈模系數，是否外輪廓(復連通區域中的“洞”以內輪廓表示)，以及封閉邊界的頂點Vertex集。通過封閉邊界的頂點Vertex集創建邊Edge集，當前頂點F為0則創建直線段，若F不為0則創建圓弧段。匯總各個邊Edge的Area、Sx、Sy、Ix、Iy、Ixy，并考慮彈模系數計算出整個輪廓形狀的換算面積、靜矩、慣性矩和慣性積。任意截面Section類用于描述單個或組合的復連通區域，包括各個不同材料的內外輪廓形狀Shape集，外輪廓加，內輪廓減，逐個匯總各個輪廓形狀Shape的Area、Sx、Sy、Ix、Iy、Ixy，計算出整個截面的換算面積、靜矩、慣性矩和慣性積[15]。

3.2 數據組織

任意截面的內部數據組織采用內外輪廓形狀集的形式。不同材質的內外輪廓形狀均采用統一的封閉邊界坐標點集的方式定義。通過設定各個輪廓形狀的彈模系數及是否外輪廓，實現整體或分離、空心或實體的多種材料任意組合截面。

直接輸入輪廓形狀的邊界坐標點集的方式較為繁瑣且容易出錯，基于對矩形輪廓的任意切割，可以實現一種簡潔的參數化輪廓構造器，通過對矩形四角分別設置倒角(斜角、圓角或內直角)及四邊分別設置開槽可實現絕大多數常見輪廓形式。調整圓倒角的位置和半徑實現圓形、圓端形(圓倒角等于順橋向長一半)、弧端形(圓倒角大于順橋向長一半)、圓角矩形等。調整斜倒角的長度、寬度和位置實現八角形、菱形、梯形、平行四邊形等。調整內直倒角的長度、寬度和位置實現T形、L形、啞鈴形等。如圖3所示，取消規則截面復選框，即可自動生成輪廓邊界坐標點集[15]。

圖3 規則輪廓構造器及切割形狀示例

鋼筋混凝土截面中的鋼筋可看作是復連通區域中的點“洞”，采用鋼筋集的形式定義其鋼筋信息。鋼筋集定義截面每根縱向受力鋼筋的坐標、直徑、類型、成束根數等信息，手工輸入鋼筋集繁瑣且容易出錯。通過數學算法將內外輪廓邊界向截面內偏移保護層厚度生成布筋中線輪廓，再根據設定的直徑、成束根數、束數或間距等參數自動生成鋼筋集，可快速解決鋼筋集的輸入問題。

圖4 通用截面檢算軟件界面

4 應用情況

基于該通用截面特性計算方法編寫的通用截面檢算軟件具備靈活方便的數據輸入組織方式，適用于實體或空心，整體或分離，單一或組合材料的任意組合截面形式，計算結果精確，計算效率高。廣泛應用在各種橋梁墩臺、梁部、橋塔等的設計檢算工作中。特別是在其被整合進軌道交通橋梁協同設計系統以后，已先后在武漢、昆明、無錫、尼日利亞拉各斯等國內外城市軌道交通，穂莞深、廣肇等城際軌道交通，溫州、南京等市域鐵路，蘇州有軌道電車，長沙中低速磁浮，柳州跨座式單軌等項目的初步設計、施工圖設計階段成功應用[15]。系統成果顯著提高橋梁設計效率，目前已被鐵四院所有正在開展的橋梁設計項目所采用。

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