三款動態數學軟件設計“迭代”類積件的比較分析*
——以《圓的面積》公式推導為例

☆ 楊秀燕 黃立春 唐劍嵐

（廣西師范大學數學與統計學院，廣西桂林 541004）

迭代是一種類似于程序設計中遞歸算法的特殊變換，是指按照一定的變換規則，由原象（發生迭代的初始對象）到初象（原象經過一系列變換操作得來的對象）反復映射的過程。原象可以是進行幾何迭代的點，也可以是進行數值迭代的參數。

一、積件基本原理及效果

《圓的面積》是人教版六年級上冊第五章的內容，在圓的面積公式的推導中滲透“轉化思想”、“圖形的割補”、“化曲為直”、“無限逼近”等數學思想與方法，有助于發展學生的空間觀念和推理能力。

引入動態數學軟件一方面是為了增強課堂互動性，另一方面旨在通過積件，動態視覺化的呈現圓切割并拼接成矩形的過程，從而突破圓的面積公式推導的難點，提效課堂教學。積件首先呈現半徑為r且切割成若干等份的圓（如圖1）；接著，將上、下部分扇形展開至同一水平線并拼接成矩形（或平行四邊形），其中矩形的高近似圓的半徑r，底近似圓周長的一半；最后，增加分割份數，得出矩形面積，從而推出圓的面積計算公式。

圖1 圓的面積積件展示

一般而言，考慮將上、下半圓分成N等分，總體上為2N等分。N為奇數或偶數影響制作過程。首先，考慮當N為偶數時。在圓展開至同一水平線過程中，可以發現，各扇形上的弦與水平方向夾角逐漸減小，直至水平時夾角為0度。考慮四分之一圓（如圖2），圓弧展開動畫實質上經歷了（1）Rotate({S4},P4,α)（表示扇形S4繞著點P4旋轉α，α＞0時逆時針方向旋轉）；（2）Rotate({S3,S4},P3,α)；（3）Rotate({S2,S3,S4},P2,α)；（4）Rotate({S1,S2,S3,S4},P1,α/2)。 其中α為等分后扇形的圓心角，值為180°/N，值得注意的是，弦P1P2在半徑OP1上的弦切角僅為扇形所對的圓心角的一半。因此，上述（4）的旋轉角為α/2。

圖2 N為偶數

圖3 N為奇數

由上分析可得，對四分之一圓n等分，展開動畫為

接著，分析當N為奇數時。在四分之一圓中（如圖3），發 生（1）Rotate({S3},P3,α)；（2）Rotate({S2,S3},P2,α)；（3）Rotate({S1,S2,S3},P1,α)。與N為偶數的區別在于不存在旋轉角為α/2的情況。如下以N為偶數為例，分別應用三款軟件實現圓的分割。

二、三款軟件的制作過程

三款軟件均能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、運行變化規律。但是，操作過程與動畫原理之間存在一定的差異性。

（一）幾何畫板制作過程

20世紀80年代幾何畫板由美國Key Curriculum Press公司制作并出版，1996年該公司授權人民教育出版社在中國發行該軟件的中文版。強大的迭代功能是幾何畫板制作本積件的優勢所在，特別是能夠支持參數與幾何的同步迭代，為本積件的制作帶來了便利。具體制作過程如下。

1.創建控制點以及參數

繪制點A(1,0)與B(1,-1)，選中點O（原點）、A、B構造“三角形的內部”，并在三角形上取“邊界上的點”，得點C，作為控制點；度量點C的橫與縱坐標，新建參數t=1與 N=4；依次計算“abs(yc)”、“t=1”、“N-1”、“-90°/N”、“-90°/2N”、“90°(sgn(t-1)+1)/2/N·xc”。

2.確定半徑以及制作拼接動畫

在y軸上取點D，雙擊O標記中心，按固定比1/2縮放D得到點E；以O為中心，“-90°/2N”為旋轉角，旋轉E得到點E′；以D為中心，縮放E′固定比-yc/2得到點F；標記向量DO，平移F得到點F′。其中點D用于控制圓的半徑大小。

3.制作迭代原像

在畫布上任意畫G、H兩點，以G為中心，最后一個參數為旋轉角度（如圖4），旋轉H得到點H′；再以H′為中心，“-90°/N”為旋轉角，旋轉G得到點 G′；連接線段FF′，雙擊線段FF′標記鏡面，反射如圖5所示扇形（包括線段GH′、G′H′、弧 GG′以及面 GG′H′）；再以O為中心，將兩扇形旋轉180°。

圖4 幾何畫板各參數

圖5 迭代原像

4.深度迭代

依次選中G、H、t以及N-1，按住Shift鍵不放，選擇深度迭代，創建 (G,H,t)→(G′,H′,t+1)的迭代；選中點G和F，單擊“編輯/合并”，重復操作，將點H和F′也合并。

5.優化界面

隱藏無關對象，分別制作C到A、B、O的移動按鈕，添加文本等。此時已實現“化圓為方”效果，其中底邊長為周長的一半πr，高為半徑r。

（二）Hawgent皓駿制作過程

Hawgent皓駿是一款動態數學軟件，能夠處理幾何、代數、三角、概率、統計、算法、微積分等數學問題，并且能夠根據圖形間的邏輯關系推理出幾何性質，即自助推理。Hawgent皓駿同樣具備迭代功能，雖然當前版本不能實現參數與幾何圖形的同步迭代（數值迭代中的參數能在幾何迭代中直接應用），在本案例中無法判斷旋轉角為α還是α/2，但也可以通過其他操作達到目的。其具體實現方法如下。

在此之前，有必要說明：Hawgent皓駿測量值或計算值按照創建順序默認給參數賦予u000-u999形式的變量名，引用參數時只需手動輸入參數的變量名即可。

1.創建控制點以及參數

顯示坐標系，繪制點A（0，0）、B（1，0）、C（1，-1）；依次選中A、B、C創建多邊形，在多邊形上取點D；測量D的X-坐標XD與y-坐標yD，此時XD、yD變量名分別為u000、u001；創建變量尺，其中變量名為n，范圍為2到10，計算“ -90/floor(n)”。

2.確定半徑并制作拼接動畫

在y軸上取點E，依次選中A、E，創建中點F；依次選中F、A，構造旋轉變化旋轉“u002/2”得到點G；依次選中E、G，創建參數為“-u001”的參數點H；依次選中H、E、A，構造平移變換得到點I，線段連接HI。

3.制作迭代原像與初像

依次選中I、H，構造旋轉變換旋轉“-u000*u002/2”得到點J；依次選中H、J，構造旋轉變換旋轉“u002”得到點K；依次選中點H、J，繪制指定圓心角的圓弧，其中圓心角為“u002 ”；連接線段HJ、KJ；重復上述操作，J繞 K旋轉“-u000*u002”得到點L，然后K繞L旋轉“u002”得到點M，創建圓弧連接線段。

4.迭代變換

依次選中J、K，單擊迭代打開迭代窗口，新建(J，K)→(L,M)映射，勾選顯示弧以及扇形的兩條邊，確定迭代。此時默認做5次，激活編輯模式，在對象窗口中找到迭代，右鍵打開迭代屬性窗口，修改迭代層數為“floor(n)-2”。

5.完善圖形優化界面

選中所有扇形以及線段HI，構造對稱變換；再次選中所有扇形以及點A，構造旋轉變換旋轉180°；選中點D創建變量尺，隱藏無關變量，填充扇形顏色等（如圖6）。

圖6 Hawgent皓駿

（三）玲瓏畫板制作過程

經過多年的探索與更新，玲瓏畫板在平面幾何、立體幾何、解析幾何、不等式、函數等領域應用廣泛。特別是在立體幾何上有著不錯的表現，立體圖形的創建、空間動畫制作等均有所突破。遺憾的是，玲瓏畫板當前版本缺失迭代功能。所以在本案例中，只能制作確定切割份數的積件，具體制作過程如下。

1.等分圓以及創建參數

右鍵選擇“2D網格模式”，在網格上繪制半徑為4且第二個點位于圓心的正右側位置的圓，然后隱藏網格；自左向右用線段連接圓心與圓上的點，并在線段上取一點A；新建參數a，雙擊參數，選中線段上的點，修改終值為0.5，最大值為30，選中點A綁定動點。此時點A在0到0.5位置上移動時參數a的變化范圍是0到30。

2.制作展開動畫

將圓12等分，對點添加標簽；單擊“創建—變換—旋轉”打開旋轉變換窗口，首先以點P3為中心，旋轉角度為a，將P4與O添加變換得到點O1和P5；然后再以P2為中心，旋轉角度為a，將對P3、O以及O1、P5添加變換得到點 O2、O3、P6、P7；最后再以P1為中心，旋轉a/2角度，將P2、O、O2、O3、P6、P7添加變換得到點 O4、O5、O6、P8、P9、P10。由于過程中涉及的點過多，可選擇性的將不需要的點隱藏。

3.補充其余展開動畫

連接OP1并作其中點B，選中點B，以O旋轉中心，旋轉角度為-15°，添加變換得到點B′；連接OB′，在O點上新建自由點O′；打開平移動畫窗口，選中點A設定變量（拖動A可以實現動畫過程），選中OB′設定平移軸，修改起值為0.5終值為1，將O′添加到動畫；以OP1為旋轉軸，旋轉角度為180°，對各扇形上的點添加變換；最后再以O′為中心，旋轉角度為180°，對各扇形上的點添加變換。如此即可補充其余部分圓上的展開動畫。

4.優化界面

將各扇形圓弧補充完整，并創建“圓弧面”；修改顏色，隱藏無關對象等（如圖7）。

圖7 玲瓏畫板

三、總結與思考

Hawgent皓駿與玲瓏畫板是國內新興的動態數學軟件，較之幾何畫板或許不夠成熟，但也各具千秋。對比發現，幾何畫板的迭代功能較強，能支持幾何與數值的同步迭代。而Hawgent皓駿的幾何迭代與數值迭代雖然分開進行，但也能實現較好的迭代功能。玲瓏畫板目前還不能很好的支持迭代，于本案例而言，幾何畫板更具優勢。

在實際教學中，教師可根據教學需求選擇合適的軟件。當然，技術的使用是手段而不是目的。如果使用得當，將技術有機融入數學教學中，幫助學生理解數學，提高學生的學習興趣，改善學習方式，將能在“授人以魚”的同時“授人以漁與欲”。

[1]唐劍嵐等主編.計算機輔助數學教學原理與實踐[M].北京：清華大學出版社,2012.

[2]唐劍嵐,莊麗薇.優化圓的面積公式推導的課件設計[J].中小學電教,2011(10):64-66.

[3]張景中,彭翕成.三款數學教育軟件的比較與設計思想分析[J].中國電化教育，2010(01):107-113.

[4]張景中,彭翕成.函數作圖軟件的評價和選擇[J].數學通報,2007(08):1-9.

[5]唐劍嵐.魚漁欲”三位一體優化數學教學的理念與策略—以“三角形的內角”課例片段分析為例[J].基礎教育研究,2015(09):5-10.

[6]唐劍嵐,周元.授人以魚”的同時“授人以漁與欲”—以《等差數列的前n項和》公式推導片段為例[J].數學通報,2016(09):41-46.