利用Taylor級數巧妙證明不等式

張銘哲

(山東省日照第一中學 276825)

首先在前面我們將Taylor公式和涉及到的某些不等式列到前面.

1.Taylor定理

若函數f(x)在點a的鄰域內有n+1階導數，則對鄰域內一點x存在ξ∈(a,x)或(x,a)使得

2.Cauchy不等式

ai,bi∈R(i=1,2,…,n)則有

等號在ai,bi成比例時取得.

3.Schur不等式

x,y,z>0,r∈R則

xr(x-y)(x-z)+yr(y-z)(y-x)+zr(z-x)(z-y)≥0.

下面舉例說明Taylor級數在不等式證明中的威力.

例1 已知a,b,c∈R+，且a4+b4+c4=3.求證：

ab+bc+ca≤a2+b2+c2.

故可以將每項都展成 Taylor 級數來證明.

證明易知ab,bc,ca<4.

例2 已知a,b,c∈(0,1)，求證:

分析兩邊作差后有明顯的 Schur 不等式的形式，但變量都在分母上，難以直接應用 Schur 不等式.可以考慮用 Taylor 展開將每項都化成冪級數，巧妙地去掉分母，然后再用 Schur 不等式完成證明.

證明因a,b,c∈(0,1) 故原不等式等價于

又原不等式兩邊均收斂，故此級數亦收斂.由 Schur 不等式知此級數每項均非負，故總和非負.進而原不等式成立.

例3 當正實數a,b,c滿足a+b+c=1.求證：

故只需證：

由 Muirhead 定理：

例4 設a,b,c是正實數，且滿足abc=1.求證:

分析本題沒有明顯的可以運用 Taylor 展開的特征，但利用abc=1升次之后得

例5 已知x,y,z是正實數，求證：

coshx2+coshy2+ coshz2≥coshxy+coshyz+coshzx

分析本題涉及超越函數，除 Jensen 不等式外的常見不等式很難處理這種類型的題.但稍做嘗試便知道 Jensen 不等式做此題也是不夠的，但利用 Taylor 展開可以給一個相當漂亮的證明.

證明由題意得：

注用相同的方法，對雙曲正弦也可以得到類似的不等式：已知x,y,z是正實數，

則sinhx2+sinhy2+sinhz2≥sinhxy+sinyz+sinhzx.

由上面幾例可以看出，可以運用 Taylor 級數解決的不等式問題往往有比較明顯的特征，易于發現.而且運用 Taylor 級數最明顯的一個特點就是該方法能在不放縮的情況下將分式不等式、超越不等式轉化為有關多項式的不等式，方便利用冪平均不等式、Cauchy 不等式等不等式，這在一定程度上降低了直接利用這些不等式導致放縮放過的可能性.

對某些分式不等式，雖然看起來并不適用于這種方法，但往往稍作代換就可以整理成比較好的形式，進而可以利用 Taylor 級數給出一個簡單而美妙的證明.

參考文獻：

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