命題的否定與否命題問題歸類解析

蔣滿林

(福建省古田縣第一中學 352200)

一、不等式型問題的否定

評注在數集中p的解集與￢p的解集具有補集的關系，可用真值表關系檢驗命題的對錯.

二、等式型問題的否命題與否定

例3 原命題：若x2-5x+6=0，則x=2或x=3，請寫原命題的否命題與命題的否定.

解析原命題的否命題：若x2-5x+6≠0，則x≠2且x≠3.

原命題的否定：若x2-5x+6=0，則x≠2且x≠3.

例4 請寫出下列問題的非p.

(2)已知p:x0=1.

(2)￢p:x0≠1.

三、若p則q型問題的否定與否命題

例5 原命題 “若x2+ax+b≤0有非空解集，則a2-4b≥0”寫出它的否命題與命題的否定.

解原命題的否命題: “若x2+ax+b≤0沒有非空解集，則a2-4b<0”.

原命題的否定：“若x2+ax+b≤0有非空解集，則a2-4b<0”.

總結：一般地，“若p則q”型命題的否定與否命題有如下關系.

原命題：“若q則q”.

原命題的否命題：“若￢p則￢q”；

原命題的否定：“若p則￢q”.

評注這類問題是中學教學中最常見的一類問題，并且在寫命題的否定時，p盡量不涉及全稱量詞或存在量詞，如果有涉及則按第“四”種的方式作答.

四、條件p中含有(或隱藏有)全稱量詞或存在量詞型問題的否定與否命題

例6 命題：若m>0，則方程x2+mx+1=0有實根，寫出它的否命題與命題的否定并判斷真假.

解否命題：若m≤0，則方程x2+mx+1=0無實根(假)；

命題的否定：存在m>0，使方程x2+mx+1=0無實根(真).

例7 命題：若x>2，則1

解否命題：若x≤2，則x≤1或x≥3(假).

命題的否定：存在x>2，滿足1

對于一般命題的否定，一些資料認為“若p則q”的否定是“若p則￢q”(只否定命題的結論)，實際上這有時是不正確的，如果條件p中含有(或隱藏有)全稱量詞或存在量詞(即開語句)，那么否定時應考慮到條件p的范圍.

評注一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：

全稱命題P：?x∈M,p(x)，它的否定￢P：?x∈M,￢p(x)；

特稱命題P：?x∈M,p(x)，它的否定￢P：?x∈M，￢p(x).

即有全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題.

參考文獻：

[1]黃樹華.命題的“否定”與“否命題”辨析[J].語數外學習(數學教育),2013(01).