櫻桃好吃樹難栽方程組好列解難求

董鳳娥

(河北省唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué) 064012)

一、問題的提出

勻變速直線運(yùn)動(dòng)問題，是初學(xué)高中物理的學(xué)生所接觸的第一類重要的計(jì)算.因?yàn)槭苄W(xué)、初中數(shù)學(xué)中有關(guān)路程類問題的多年影響，還受初中物理學(xué)過的勻速直線運(yùn)動(dòng)物理問題的影響，再加上數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)形結(jié)合及其空間想象能力較差等因素的制約，總有一部分人不能較好的適應(yīng)新出現(xiàn)的“加速度”、“位移”等基本概念和有關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及其推論等對(duì)解決此類問題所起的重要作用.這就致使部分人在解答此類問題時(shí)，有一種似曾相識(shí)的感覺，可就是算不對(duì).怎樣才能突破這種“瓶頸”，達(dá)到“柳暗花明又一村”的境界呢？下面，本文以一道典型高考題為例，從物理和數(shù)學(xué)兩個(gè)維度，探究這類題的解題策略.

二、探究的過程

題目(2008年全國高考理綜)已知O、A、B、C為同一直線上的四點(diǎn)，AB間的距離為L1，BC間的距離為L2.一物體自O(shè)點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿此直線做勻加速運(yùn)動(dòng)，依次經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).已知物體通過AB段與BC段所用時(shí)間相等.求O與A的距離.

解法1 應(yīng)用兩次位移公式和一次位移速度關(guān)系式，建立方程組.

設(shè)物體的加速度為a，經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度為v0，經(jīng)過AB段和BC段的時(shí)間為t，以物體在AB段和AC段的運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象，根據(jù)位移公式可得：

L1+L2=2v0t+2at2

②

以物體在OA段的運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象，根據(jù)位移速度關(guān)系公式得：

③

解法2 應(yīng)用三次位移公式求時(shí)間，利用時(shí)間等量建立方程.

設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的加速度為a，OA段位移為s，物體在OA段、OB段、OC段運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1、t2、t3.以物體在OA段、OB段、OC段的運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象，根據(jù)位移公式可得：

①

②

③

已知物體在AB段與BC段所用時(shí)間相等，所以有t2-t1=t3-t2成立，即：

整理可得無理方程：

點(diǎn)評(píng)此解法抓住已知條件，利用物理知識(shí)導(dǎo)出一個(gè)方程進(jìn)行求解.看似不需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)技巧，其實(shí)不然.因?yàn)樵诔踔袛?shù)學(xué)課本中，把無理方程刪掉已經(jīng)至少有十幾年了，學(xué)生解無理方程不會(huì)一帆風(fēng)順.從這個(gè)角度來說，指導(dǎo)學(xué)生“掌握無理方程的解法”非常重要而且緊要.

解法3 應(yīng)用三次位移公式，建立方程組.

①

②

③

解法4 用鄰等時(shí)內(nèi)位移差等、位移公式和位移速度關(guān)系式，建立方程組.

設(shè)物體加速度為a，經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度為v0，經(jīng)過AB段和BC段的時(shí)間為t，利用“做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在相鄰相等時(shí)間內(nèi)的位移之差相等”，即ΔSn+1-ΔSn=at2成立.據(jù)此可得：

L2-L1=at2

①

以物體在AC段的運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象，根據(jù)瞬時(shí)速度和位移公式可得：

L1+L2=2v0t+2at2

②

以物體在OA段的運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象，根據(jù)位移速度關(guān)系公式得：

③

解法5 用平均速度、中時(shí)瞬時(shí)速度、鄰等時(shí)內(nèi)位移差等、位移速度關(guān)系式，建立方程組.

設(shè)物體的加速度為a，經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度為v0，經(jīng)過AB段和BC段的時(shí)間為t，以物體在AC段的運(yùn)動(dòng)為研究對(duì)象，由平均速度公式可得：

①

②

又因?yàn)椤白鰟蜃兯僦本€運(yùn)動(dòng)的物體，在相鄰相等時(shí)間內(nèi)的位移之差相等”，即ΔSn+1-ΔSn=aT2成立.據(jù)此可得：L2-L1=at2

③

④

點(diǎn)評(píng)解方程組時(shí)，由①②顯然可得L1+L2=2v0t+2at2⑤，接下來聯(lián)立③④⑤求解，過程同解法四如出一轍.仔細(xì)品味，本解法比解法四還要高明，高明之處在于，把勻變速直線運(yùn)動(dòng)所涉及到的多數(shù)基本概念、基本公式，結(jié)合課本習(xí)題得到的性質(zhì)、結(jié)論和推論等，完美的綜合了在一起，很有物理的“味”道.真是具有“王者風(fēng)范”，我們應(yīng)該為之點(diǎn)贊.

解法6 用速度時(shí)間關(guān)系圖像的幾何意義和相似三角形性質(zhì)，建立方程組.

圖

設(shè)物體經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻分別為t1、t1+t和t1+2t，則物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示.根據(jù)v-t圖像的物理意義可知，三角形的面積表示對(duì)應(yīng)時(shí)刻位移的大小.因此，包含位移OA、OB、OC的各直角三角形的面積，分別等于位移OA、OB、OC的大小.顯然三個(gè)直角三角形是相似的，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得：

①

②

點(diǎn)評(píng)本解法有一種給人“眼前一亮”的那種感覺，非常獨(dú)特.其實(shí)，它就在課本中，并且出現(xiàn)頻率還很高，可為什么有很多人就是想不到呢？因此，掌握 圖像和 圖像的物理意義很重要.今天解題用到了“圖像法”，明天、后天還會(huì)用到.至于方程組的解法，見解法二的點(diǎn)評(píng)，不再累述.

三、得出的結(jié)論

1.構(gòu)建知識(shí)體系，形成思維導(dǎo)圖

如果不考慮勻速直線運(yùn)動(dòng)和以后將要學(xué)習(xí)的平拋、

斜拋、自由落體、豎直上拋等運(yùn)動(dòng)，就目前而言，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)主要包括：定義、特點(diǎn)和分類，位移和時(shí)間之間的關(guān)系，速度和時(shí)間之間的關(guān)系，位移和速度之間的關(guān)系，重要性質(zhì)和推論，常用的比例關(guān)系式，等等.

把這些知識(shí)構(gòu)建成一個(gè)體系，和平時(shí)做題積累的一些解題技巧融合在一起，形成“思維導(dǎo)圖”，在頭腦中不斷進(jìn)行存儲(chǔ)、補(bǔ)充、完善和強(qiáng)化.只有養(yǎng)成這樣的好習(xí)慣，今后解題時(shí)，才能迅速從大腦中提取相關(guān)的公式、性質(zhì)、推論、圖像、比例等知識(shí)和常見解題技巧.

2,通過解題實(shí)踐，總結(jié)方程(組)解法

本題的各種解法有一個(gè)共同之處，那就是建立方程組，而解方程組恰恰就是大家的短板.因此，解決和勻變速直線運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問題時(shí)，一定要樹立方程組的數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維親自進(jìn)行推算的習(xí)慣，不要嫌麻煩.尤其要注意通過類似本題的解法探究，不斷總結(jié)方程和方程組的解法，這才是解決此類問題最常用的一把利器，也是今后研究物理問題必備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]王后雄. 教材完全解讀( 高中物理必修2)[M].北京:中國青年出版社,2013(9).