數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

樊慶林

(廣東省韶關(guān)市田家炳中學(xué) 512000)

高中數(shù)學(xué)體系是對初中數(shù)學(xué)體系的進(jìn)一步發(fā)展和完善，是學(xué)生由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過渡的重要時(shí)期，旨在提升學(xué)生的邏輯思維能力和利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.在我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中，數(shù)學(xué)歸納法是一種很常見的方法，其通過對簡單數(shù)值代入計(jì)算結(jié)果的總結(jié)，推導(dǎo)出通用的計(jì)算公式，是對數(shù)學(xué)規(guī)律性問題解決的一種有效工具.在多年的高中數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)中，筆者對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用有一些了解，因此筆者對數(shù)學(xué)歸納法做出以下簡要分析，對于實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的不足之處，還要不斷加以改進(jìn)和完善.

一、數(shù)學(xué)歸納法的簡單介紹

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中很重要的分析解題方法，本質(zhì)上是通過對簡單數(shù)值的計(jì)算推廣到一般的演繹規(guī)則，從小規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模情形成立的一種方法，以這種類比的思想對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行一種邏輯上推斷證明的方法.對一般的數(shù)學(xué)歸納法有以下基本的步驟：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)命題是正確的.

(2)然后我們假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，這個(gè)命題還是正確的，進(jìn)而推斷當(dāng)n=k+1時(shí)，這個(gè)命題也是正確的，從而推斷出命題在任意數(shù)值代入計(jì)算后結(jié)論恒成立.

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用

高中幾何問題向來是比較難的問題，在解題中需要學(xué)生由較強(qiáng)的空間想象能力和思維推導(dǎo)能力.在幾何方面無論是計(jì)算問題還是證明問題都使得很多同學(xué)在解答的時(shí)候容易思維混亂、邏輯不清晰，很容易就把自己繞進(jìn)去得不出正確答案.根據(jù)筆者多年課堂上的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，做以下舉例對此作出分析.

對此問題下面我們根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

2.數(shù)學(xué)歸納法在排列組合中的應(yīng)用

排列組合是我們高中數(shù)學(xué)比較重要的一塊內(nèi)容，其學(xué)習(xí)目的是可以讓學(xué)生擁有對一些問題整體把握的能力，即以“上帝”的視角解決狀態(tài)空間的問題.但學(xué)生在排列組合的相關(guān)知識學(xué)習(xí)中有很大難度，并且教師在講授的時(shí)候一般需要很長時(shí)間，為有效提高教學(xué)效率，我根據(jù)排列組合知識具有很強(qiáng)規(guī)律性的性質(zhì)特點(diǎn)將數(shù)學(xué)歸納法靈活應(yīng)用于教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生對排列數(shù)公式、組合數(shù)公式、自然數(shù)n的階乘公式，二項(xiàng)式定理等重要公式的理解和掌握.

3.數(shù)學(xué)歸納法在解不等式的應(yīng)用

其實(shí)，在我們的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的時(shí)候，會遇到各種題目類型，數(shù)學(xué)歸納法的解題作為一個(gè)專題都不為過.一般情況下，數(shù)學(xué)中不等式證明題的時(shí)候往往要用到放大或縮小的辦法，有了放大和縮小一般很輕易就能得到答案.而關(guān)于正整數(shù)n的不等式，?？煽紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明.

4.數(shù)學(xué)歸納法在解決整除性問題中的應(yīng)用

通過對整除性問題的學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)數(shù)字進(jìn)行更靈活的把握，對其產(chǎn)生更敏銳認(rèn)知，而具體數(shù)值的整除問題中學(xué)生可以通過公式計(jì)算出結(jié)果，但高中數(shù)學(xué)更加注重形算能力的培養(yǎng)，要求學(xué)生能對非具體計(jì)算做出準(zhǔn)確運(yùn)算,下面將數(shù)學(xué)歸納法在整除性問題的解決應(yīng)用中作出分析.

例2 設(shè)n是自然數(shù)，求證32n+2+26n+1能被11整除.

證明(1)當(dāng)n=0時(shí)，32+21=11，能被11整除，命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥0,k∈N)時(shí)，命題成立，即

11|32k+2+26k+1.

那么當(dāng)n=k+1時(shí)32( k + 1)+2+ 26( k + 1)+1==9×32k+2+64×26k+1=9(32k+2+26k+1)+55×26k+1.

由假設(shè)知11|9(32k+2+26k+1),

又顯然有11|(55×26k+1),從而知11|(32(k+1)+2+26(k+1)+1),即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.因此對任意自然數(shù)n，命題都成立.

三、思考與展望

現(xiàn)在數(shù)學(xué)歸納法在很多類型的題目中都有應(yīng)用，其不僅能幫助學(xué)生拓展解題思路優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，還能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，因此在教學(xué)中我們也很注重這種解題方法.總之，數(shù)學(xué)歸納法的確是一種很重要的解題方法，在歷年高考真題中我們就能發(fā)現(xiàn)它的廣泛應(yīng)用，這部分內(nèi)容不僅是我們教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，我們也在不斷地探索中對其進(jìn)行優(yōu)化和改善，爭取實(shí)現(xiàn)教學(xué)水平的不斷提高.

參考文獻(xiàn)：

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