明晰問題邏輯 優化展現素養

鄭 良

(安徽省靈璧第一中學 234200)

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x-y+3=0垂直，求實數m的值；

(2)若對任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)+2≤mx2+(m-1)x-1成立，求整數m的最小值.

解(1)略.

當m=2時,G(x)=lnx-x2-x+1≤x-1-x2-x+1=-x2<0，符合題意.

故整數m的最小值為2.

(2)若f(x)+2(x-1)≥0對任意的x∈[1,+∞)恒成立，求實數a的最小值.

解(1)略.

點評解法1為函數最值法，借助導數工具畫出函數f(x)的圖象.求導過程中遇到無法確定符號的部分，將其視為新函數，通過求導確定其性質，如此反復，直至確定最后一個函數導數的正負，再逆向追溯，逐步確定各原函數的單調性，在此過程可能涉及多次(級)討論，過程煩瑣.解法2抓住g(x)端點函數值g(1)為函數的邊界值0，利用必要條件g′(1)≥0(對導函數使用必要條件)，只需對壓縮后的參數范圍進行求解，即驗證結論的充分性.

參考文獻：

[1]鄭良，陳彬.整體認識自然優化本質揭示彰顯素養[J].中學教研(數學)，2017(4)：4-10.