數(shù)學(xué)文化在模考試題中的滲透

羅文軍

(甘肅省秦安縣第二中學(xué) 741600)

一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

顧沛在《數(shù)學(xué)文化》一書中從課程角度解釋了數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵 ：簡單說，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛些說，除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等.

2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱修訂后，在能力要求內(nèi)涵方面，增加了對數(shù)學(xué)文化的要求—展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值.隨之2017年各地模考中，數(shù)學(xué)文化試題像雨后春筍般涌現(xiàn)出來，這些文化試題凝結(jié)了命題者的心血和智慧.本文擷取一些好的文化試題進(jìn)行賞析.

二、模考試題中滲透數(shù)學(xué)文化

1.源自古色古香古文化的模考試題

中國古代數(shù)學(xué)取得了輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之、秦九韶等偉大的數(shù)學(xué)家，以及眾多數(shù)學(xué)名著，其中《九章算術(shù)》是其中的代表作，這些中國古代數(shù)學(xué)名著是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分.中國古代數(shù)學(xué)遵循“經(jīng)世濟(jì)用”，涉及的研究大多與實際生活、生產(chǎn)等緊密結(jié)合，具有濃厚的實際背景，其體現(xiàn)出明顯的問題式和綜合性特征.從中國古代數(shù)學(xué)中挖掘素材，考查高中數(shù)學(xué)基本知識，既可以考查考生的認(rèn)知水平，又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中國傳統(tǒng)文化.

《九章算術(shù)》在書中涉及到了農(nóng)業(yè)、商業(yè)、工程、測量、方程解法以及直角三角形的性質(zhì)等.它是中國古代數(shù)學(xué)知識的縮影，全書包含246道應(yīng)用問題，分成九章編寫.分別為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股.

歷年高考中，源自《九章算術(shù)》的題目有2012年湖北理科第10題、2015年全國1卷文科第6題、2015年全國2卷文科第8題、2015年湖北卷理科19題、

例1 (2017屆山東省棗莊模考)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖1，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A=AB=2，當(dāng)陽馬B-A1ACC1體積最大時，則塹堵ABC-A1B1C1的體積為( )

圖1

解析由已知得幾何體ABC-A1B1C1為直三棱柱，設(shè)BC=x，AC=y, 陽馬B-A1ACC1的體積為

因為AB2=BC2+AC2，即x2+y2=4，

此時塹堵ABC-A1B1C1的體積為

評注此題背景源于《九章算術(shù)》第五章《商功》之[一五]：今有塹堵下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.問積幾何？之[一六]：今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何.考題將“塹堵”，“陽馬”相結(jié)合，題目中已經(jīng)對這兩個生僻詞語進(jìn)行了現(xiàn)代文解釋.首先表示出陽馬的體積，再運(yùn)用基本不等式，最后求出塹堵的體積.命題者將題目的背景取自于我國古代著名數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中的塹堵和陽馬，匠心獨(dú)運(yùn)地體現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)成果的燦爛輝煌，拓寬了知識面，考查了考生的閱讀能力、審題能力和應(yīng)用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，注重數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)文化，讓“枯燥”的高三數(shù)學(xué)試卷多了幾分生氣和靈性，給人耳目一新的感覺.

例2 《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了九匹三丈，問每天增加多少尺布？”若一個月按30天算，則每天增加量為( )

評注此題源于《九章算術(shù)》第三章《衰分》之[四]，考查等差數(shù)列的前n項和公式.本題彰顯出我們古代長期處于“男耕女織”的生產(chǎn)狀態(tài)，從本題中我們體會到了數(shù)學(xué)與我國古代手工業(yè)的聯(lián)系.

例3 (2017年新疆奎屯市月考)齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬,現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽,則田忌馬獲勝的概率為( )

解析:分別記齊王的上等馬、中等馬、下等馬為A,B,C,田忌的上等馬、中等馬、下等馬為a,b,c,則基本事件如下：

(Aa),(Ab),(Ac),(Ba),(Bb),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc)，基本事件共有9個，田忌馬獲勝的事件有(Ba)，(Ca)，(Cb)，有3個.

評注本題以我國家喻戶曉的歷史故事“田忌賽馬”為素材，考查了古典概型的概率公式.田忌是我國戰(zhàn)國中期齊國的將領(lǐng)，他的軍師孫臏?zhǔn)侵能娛录遥瑢O臏的“斗馬術(shù)”是我國古代運(yùn)籌思想中爭取總體最優(yōu)的膾炙人口的著名范例.這個故事后來被傳為千古佳話，成為軍事上一條重要的用兵原則，即要善于用局部的犧牲去換取全局的勝利，從而達(dá)到以弱勝強(qiáng)的目的.他的基本思想是不強(qiáng)求一局的得失，而爭取全盤的勝利，這是一個典型的博弈問題.

例4 (2017年四川省資陽市診斷考試)公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率．如圖2是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計的程序框圖，則輸出的n值為________(參考數(shù)據(jù)：

A. 12 B. 24 C. 48 D. 96

圖2

解析:第一次運(yùn)行程序，

圖3

2.源于名題

祖暅?zhǔn)俏覈媳背艹龅臄?shù)學(xué)家祖沖之之子.他沿用了劉徽“牟合方蓋”的思想，在推導(dǎo)球體體積的過程中，提出了著名的原理：“緣冪勢既同，則積不容異”,即夾在兩個平行平面等高的立體，如果被平行于這兩個平行平面的平面所截，截得的平面圖形面積總相等，則這兩個立體的體積相等.后人把這個原理稱為“祖暅原理”，也叫“祖氏原理”.為了利用祖暅原理計算某個幾何體的體積，常要構(gòu)造一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：(1)它的計算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等.

祖暅原理在人教A版課本《必修數(shù)學(xué)2》第30頁探究與發(fā)現(xiàn)《祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積》中專門做了介紹.2013年上海高考理科13題也以祖暅原理為背景.

以下來欣賞一道以祖暅原理為背景的模考試題.

圖4 圖5

解析:由已知橢圓的長半軸長為5，短半軸長為2，

構(gòu)造模型如圖6，圖7，設(shè)OH=O′H′=h，

用S左和S右分別表示圖6和圖7中陰影部分的面積，

圖6 圖7

現(xiàn)構(gòu)造一個底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積.

賞析:祖暅原理進(jìn)入考題，既關(guān)注了學(xué)生的文化意識，也關(guān)注了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，也了解到了我國古代人民對數(shù)學(xué)的偉大貢獻(xiàn)，有利于增強(qiáng)中華民族自豪感.

3.以形數(shù)為背景

形數(shù)理論可以追溯到畢達(dá)哥拉斯本人.用一點(diǎn)(或一個小石子)代表1，兩點(diǎn)(或兩個小石子)代表2，三點(diǎn)(或三個小石子)代表3，等等，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了形和數(shù)之間的聯(lián)系.早期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)熟悉利用小石子或點(diǎn)來構(gòu)造三角形數(shù)和正方形數(shù)；晚期的畢達(dá)哥斯學(xué)派成員尼克麥丘以及稍后的泰恩則討論了各種平面數(shù)(包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等)和立體數(shù)(包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等).

人教A版《數(shù)學(xué)必修5》中在“數(shù)列的概念與簡單表示法”一節(jié)中以畢達(dá)哥斯學(xué)派發(fā)明的三角形數(shù)和正方形數(shù)引入了數(shù)列的概念.

歷屆高考中以形數(shù)為背景的試題有，2009年湖北理科10題、2012年湖北文科17題、2013年湖北理科14題.

下面看一道以形數(shù)為背景的試題.

例7 兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對數(shù)進(jìn)行分類，如圖8中的實心點(diǎn)個數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作a1=1，第2個五角形數(shù)記作a2=5，第3個五角形數(shù)記作a3=12，第4個五角形數(shù)記作a4=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列{an}，則an-an-1=________(n≥2)；對n∈N*，an=________．

圖8

解析:因為a1=1，a2=5，a3=12，a4=22,…

所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,…,an-an-1=3n-2,

賞析:本題考查了數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列通項公式的求法.做這類題目最重要的就是尋找規(guī)律.此題通過尋找前一項與后一項差的規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項公式.本題內(nèi)容豐富，以形數(shù)為載體，巧妙融合了數(shù)列、推理等數(shù)學(xué)知識和方法，考查歸納、觀察、計算等能力.背景設(shè)計別具匠心，能力要求廣泛，有效地考查了靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的能力；也體現(xiàn)了高中試題來源于生活實踐、注重知識的發(fā)生發(fā)展過程的名題原則，也著力體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)試題的文化價值，真是形數(shù)結(jié)合百般好.

4.以角谷猜想為背景

評注:本題以角谷猜想為背景，考查了對數(shù)列遞推公式的理解.將著名的角谷猜想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，遷移到考題中，形成了以數(shù)學(xué)文化為背景的創(chuàng)新試題，以問題為中心，將數(shù)學(xué)知識、原理和方法融于一體，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化價值，蘊(yùn)含濃厚數(shù)學(xué)文化氣息的高中試題的出現(xiàn)，不僅給高中數(shù)學(xué)試題的命制注入了新鮮的血液，而且為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了鮮活的素材，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中感受文化的熏陶，領(lǐng)略數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的五彩斑斕，體會數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化魅力.

課本中也有角谷猜想的影子(新課標(biāo)人教A版選修1-2第四章習(xí)題4.1):有這樣一個游戲，每個人從任意一個正整數(shù)n開始，連續(xù)進(jìn)行如下運(yùn)算：若n是奇數(shù)，就把這個數(shù)乘以3再加上1；若n是偶數(shù)，就把這個數(shù)除以2.這樣演算下去，直到第一次得到1為止，設(shè)計一個流程圖，表示這個游戲的過程.

歷年高考中以角谷猜想為背景的題有2009年湖北理科15、2013年湖北理科12.

三、高考考試大綱中增加對數(shù)學(xué)文化要求的價值以及備考策略

2003年版的《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的新課程標(biāo)準(zhǔn)理念之一為：體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值.但在具體教學(xué)中，大多學(xué)校鑒于高考沒有對數(shù)學(xué)文化提出要求，因此課本中涉及數(shù)學(xué)文化的閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)以及人教A版選修3-1《數(shù)學(xué)史選講》在教學(xué)中都沒有開展,造成了不知道《九章算術(shù)》的高中生大有人在.高考是“指揮棒”，考綱修訂后增加對數(shù)學(xué)文化的要求，對高中教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用，因此我們應(yīng)該為數(shù)學(xué)文化的考查點(diǎn)贊.

數(shù)學(xué)教育不可能完全割裂歷史.從象形符號到算籌記數(shù)再到計算，中國的數(shù)學(xué)歷史極其悠久.無論從理論層面或是實踐層面，中國古代數(shù)學(xué)如今仍有研究價值和現(xiàn)實意義.拋棄自古至今的經(jīng)典，會讓中華文化斷裂.以數(shù)學(xué)文化為背景命題，為高考注入了新的活力.

數(shù)學(xué)文化可以鍛煉學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然，并對數(shù)學(xué)思想方法有著深遠(yuǎn)的影響.數(shù)學(xué)文化中包含的數(shù)學(xué)思想體系，是千百年來數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)晶；而數(shù)學(xué)思想不斷的演化，又促進(jìn)著數(shù)學(xué)文化為適應(yīng)不同的歷史背景而不斷更新.每一個數(shù)學(xué)知識都有著其背景和文化，因此在授課的時候，教師可以提前讓學(xué)生對一個知識找找其背景或者創(chuàng)作這個知識或公式的故事.讓學(xué)生在故事中體會數(shù)學(xué)的魅力和文化，在以后的學(xué)習(xí)中，潛移默化的受這些文化所影響，自然而然地就有了一定的思維能力，從而提高學(xué)生對各個學(xué)科的學(xué)習(xí)能力.

數(shù)學(xué)文化可以加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新能力.很多的數(shù)學(xué)知識都是數(shù)學(xué)家的靈光一現(xiàn)而產(chǎn)生的.通過這樣的背景，也可以讓學(xué)生更注意觀察和創(chuàng)新.如創(chuàng)作了數(shù)學(xué)原理的高斯，就是通過觀察和創(chuàng)新，在只有8歲的時候就發(fā)現(xiàn)了累加公式.在平時的授課中，遇到有這樣背景的知識點(diǎn)或數(shù)學(xué)公式時，可以將這樣的數(shù)學(xué)文化引出，既吸引學(xué)生的注意力，又能很好地將這種創(chuàng)新能力注入給學(xué)生.

以上數(shù)學(xué)文化試題雖然以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、著名定理和猜想為背景，其中“祖暅原理”、“割圓術(shù)”、“畢達(dá)哥拉斯形數(shù)”、“角谷猜想”、“趙爽弦圖”都可以在課本中找到影子，但考查的是高中數(shù)學(xué)中基本知識和基本思想方法.因此在復(fù)習(xí)備考中，一線教師要引導(dǎo)學(xué)生以課本為策源地，在平時的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，使新課標(biāo)理念落到實處，不但可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還可以有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于引導(dǎo)學(xué)生思考、領(lǐng)悟和汲取含在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的民族精神和民族智慧，形成現(xiàn)實生活與優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的互動，潛移默化地增加了學(xué)生的愛國主義情感.

參考文獻(xiàn)：

[1]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社,

2008.

[2]陳昂，任子朝.突出理性思維 弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化[J].中國考試，2015(3)：10-14.

[3]梅磊，史嘉.例談數(shù)學(xué)文化融入高考試題的意義和途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2015(1/2)：16-20.