聚焦離散型隨機變量的常考題型

陳國林 黃林盛

(1.贛南師范大學(xué)科技學(xué)院 341000;2.廣東省廣州市真光中學(xué) 510000)

一、求解隨機變量的值

解析答完5道題，可能的結(jié)果是：答對0道，此時S5=-25,ξ=25；答對1道，此時,S5=-15,ξ=15；答對2道，此時S5=-5,ξ=5；答對3道，此時S5=5,ξ=5;答對4道，此時S5=15,ξ=15；答對5道，此時S5=25,ξ=25，所以ξ的取值只能是5，15，25.

評注如果隨機實驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.對于隨機變量可能取的值，可以按照一定次序列出，叫做離散型隨機變量，對于離散型隨機變量的值的求解過程中需要注意對各種情況討論，以免漏解.

二、求解隨機變量對應(yīng)的試驗結(jié)果

例2 (河北省石家莊市2017屆高三第二次質(zhì)量檢測)交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率 A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10% A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20% A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30% A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0% A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格.

類型 A1A2A3A4A5A6 數(shù)量105520155

(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；

(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元.且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致，若該銷售商店內(nèi)有六輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機挑選兩輛車，求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率.

評注求解隨機變量實驗結(jié)果的概率問題時，需要注意每一個隨機變量對應(yīng)著不僅僅只有一個結(jié)果，能夠準確搞清楚實驗結(jié)果的情況，是解決此類問題的關(guān)鍵.在解決本題時就必須準確找出從六輛車中隨機挑選兩輛車的所以情況，并且找出其中兩輛車恰好有一輛事故車的情況方可求解出本題的正確結(jié)果.

三、求離散型隨機變量的分布列和期望

例3 (2017年4月安慶市重點中學(xué)聯(lián)考)為降低汽車尾氣的排放量，某廠生產(chǎn)甲乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從甲乙兩種節(jié)排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖1所示.

甲型號節(jié)排器 乙型號節(jié)排器

圖1

綜合得分k的范圍節(jié)排器等級節(jié)排器利潤率 k≥85一級品 a 75≤k<85二級品 5a270≤k<75 三級品 a2

將視頻率分布直方圖中的頻率為概率，用樣本估計總數(shù)，若從乙型號節(jié)排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).

ξ0123P27642764964164

評注一般地，離散型隨機變量ξ可能的取值為X1,X2,…,ξ取得每一個值Xi(i=1,2,…)的概率為P(ξ=Xi)=pi，其ξ的分布列需滿足pi>0(i=1,2,…；p1+p2+…+pi+…=1.期望E(ξ)=x1p1+x2p2+…xipi+….

四、求離散型隨機變量的方差

評注本題根據(jù)概率和為1和期望E(ξ)=1可列出等式，求解出隨機變量ξ的取值為1和2的概率，再利用方差公式即可求出D(ξ)的值.另外求解方差時，需要了解D(aξ+b)=a2D(ξ).

五、探究性問題

例5 (四川省瀘州市2017屆高三三診)甲，乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測試指標劃分：指標大于或等于95為正品，小于95為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩臺車床生產(chǎn)的零件各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：

測試指標 [85,90) [90,95)[95,100)[100,105)[105,110] 機床甲81240328 機床乙71840296

(1)試分別估計甲機床、乙機床生產(chǎn)的零件為正品的概率；

(2)甲機床生產(chǎn)一件零件，若是正品可盈利160元，次品則虧損20元；乙機床生產(chǎn)一件零件，若是正品可盈利200元，次品則虧損40元，在(1)的前提下，現(xiàn)需生產(chǎn)這種零件2件，以獲得利潤的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該如何安排生產(chǎn)最佳？

評注本題要求以獲得利潤的期望值為決策依據(jù)，選擇出最佳安排生產(chǎn)方案，首先需要明確共有3種方案：甲機床生產(chǎn)2件，甲乙機床各生產(chǎn)1件，乙機床生產(chǎn)2件，并根據(jù)其情況分別算出各種方案下所對應(yīng)的期望值進行比較，便可以得出安排乙機床生產(chǎn)最佳.

參考文獻：

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中學(xué). 普通高中課程標準實驗教科書(數(shù)學(xué)選修2 -1)[M]. 北京:人民教育出版社,2008.