采用FRM的窄過渡帶奇型排列結(jié)構(gòu)改進(jìn)方法

張文旭， 趙文童， 陳濤， 陳亞靜

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

在數(shù)字信道化系統(tǒng)設(shè)計中，數(shù)字信道化的過程實質(zhì)上就是利用濾波器組進(jìn)行均勻或非均勻設(shè)計的過程。濾波器組技術(shù)作為信號處理的一種常見方法和手段，其應(yīng)用范圍很廣，如通信、圖像處理、語音、雷達(dá)等[1-3]。其中，具有窄過渡帶特點的濾波器組計算復(fù)雜度高的問題業(yè)已成為該研究方向亟待解決的問題之一[4]。頻率響應(yīng)屏蔽(FRM)技術(shù)因其在解決窄過渡帶濾波器組設(shè)計中具有明顯優(yōu)勢而得以推廣[5]。

文獻(xiàn)[6]運(yùn)用凸規(guī)劃算法設(shè)計FRM結(jié)構(gòu)中的濾波器，并提出了3種優(yōu)化算法；文獻(xiàn)[7]針對工程應(yīng)用方面在經(jīng)典FRM濾波器結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上優(yōu)化設(shè)計二級FRM濾波器，這種優(yōu)化方法雖然可以消除內(nèi)插因子的約束條件，但是屏蔽濾波器的設(shè)計較為復(fù)雜；文獻(xiàn)[8-9]利用FRM技術(shù)設(shè)計任意帶寬的FIR數(shù)字濾波器，降低了計算的復(fù)雜度，但是因為濾波器都在這2種結(jié)構(gòu)的前置位，所以這2種結(jié)構(gòu)都會受到采樣率的限制；文獻(xiàn)[10]提出了一種基于FRM的DFT濾波器組優(yōu)化算法，相比于傳統(tǒng)的DFT濾波器組在一定程度上降低了計算復(fù)雜度。重構(gòu)濾波器組也是濾波器組研究的重要組成部分，文獻(xiàn)[11]通過窗函數(shù)設(shè)計FRM濾波器，雖然設(shè)計的綜合濾波器組計算復(fù)雜度很高，但是為重構(gòu)濾波器設(shè)計提供了一種新的思路；文獻(xiàn)[12]將屏蔽技術(shù)應(yīng)用到非均勻濾波器組的結(jié)構(gòu)構(gòu)造中，根據(jù)多速率理論提出了一種低復(fù)雜度的綜合濾波器設(shè)計方法；文獻(xiàn)[13]運(yùn)用FRM結(jié)構(gòu)設(shè)計兩通道窄過渡帶的完全重構(gòu)濾波器組，缺點是在實現(xiàn)時計算量比較大。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于FRM的偶型排列信道化改進(jìn)結(jié)構(gòu)，缺點是偶型排列結(jié)構(gòu)的第0個信道輸出IQ量不正交，需要對輸出信號單獨進(jìn)行希爾伯特變換，這樣第0個信道的延時會與其他信道不同。

本文將FRM技術(shù)在窄過渡帶濾波器組設(shè)計中的優(yōu)勢推廣到分析濾波器組高效結(jié)構(gòu)設(shè)計中，由于奇型排列結(jié)構(gòu)所有信道輸出特性完全一致，不像偶型排列結(jié)構(gòu)中第0個信道輸出IQ量不正交，故而本文主要以奇型排列結(jié)構(gòu)為研究重點。本文提出了一種采用FRM的窄過渡帶奇型排列非最大抽取改進(jìn)結(jié)構(gòu)，該改進(jìn)結(jié)構(gòu)針對非最大抽取系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計，不受信道數(shù)和抽取數(shù)的限制，適用性更加廣泛。

1 頻率響應(yīng)屏蔽技術(shù)

FRM技術(shù)適用于窄過渡帶濾波器設(shè)計，因為其在降低濾波器階數(shù)和減少計算復(fù)雜度方面有很好的效果。FRM濾波器的基本框架如圖1所示，其傳遞函數(shù)的z變換可表示為[14-15]

H(z)=Ha(zL)HMa(z)+

(z-L(Na-1)/2-Ha(zL))HMc(z)

(1)

式中：Ha(z)為原型濾波器；HMa(z)和HMc(z)為屏蔽濾波器；Na為原型濾波器Ha(z)的長度；L為插值倍數(shù)。

濾波器插值過程如圖2所示，上圖為濾波器插值之前的幅頻特性，下圖為濾波器插值之后的幅頻特性。屏蔽濾波器的作用是對插值所產(chǎn)生的濾波器多余鏡像進(jìn)行屏蔽。

(2)

(3)

圖1 FRM濾波器的基本框架Fig.1 Basic framework of FRM filter

圖2 濾波器插值過程(L=4)Fig.2 Process of filter interpolation for L=4

(4)

式中：ha(n)、hMa(n)和hMc(n)的系數(shù)具有偶對稱性；N1和N2分別為屏蔽濾波器HMa(z)和HMc(z)的長度；M1和M1的取值情況如下：

(5)

將信號延時L(Na-1)/2個點后與Ha(zL)相減可以得到下支路的輸出。考慮到插值L的數(shù)值不被限制，濾波器Ha(z)長度Na應(yīng)為奇數(shù)。在對2個屏蔽濾波器的輸出進(jìn)行合成時，要求濾波器HMa(z)和HMc(z)長度同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)。

令零相位H(z)的頻率響應(yīng)為

H(ω)=H1(ω)+H2(ω)

(6)

又因為z-L(Na-1)/2-Ha(zL)可看作Ha(z)進(jìn)行L倍插值后的互補(bǔ)濾波器，則

H1(ω)=Ha(Lω)HMa(ω)

(7)

H2(ω)=(1-Ha(Lω))HMc(ω)

(8)

式中：Ha(ω)、HMa(ω)和HMc(ω)分別為Ha(z)、HMa(z)和HMc(z)的零相位頻率響應(yīng)。

FRM濾波器頻帶合成過程圖[12,16]如圖3所示，從上至下第1幅圖中實線為原型濾波器Ha(ω)插值后的幅頻特性，虛線為屏蔽濾波器HMa(ω)的幅頻特性；第2幅圖中實線為原型濾波器Ha(ω)的互補(bǔ)濾波器插值后的幅頻特性，虛線為屏蔽濾波器HMc(ω)的幅頻特性；第3幅圖中實線為對插值后的原型濾波器進(jìn)行屏蔽得到的H1(ω)幅頻特性，虛線為對插值后的原型濾波器的互補(bǔ)濾波器進(jìn)行屏蔽得到的H2(ω)幅頻特性；第4幅圖為最終得到的FRM濾波器的幅頻特性。

圖3 采用FRM技術(shù)設(shè)計低通濾波器[12，16]Fig.3 Design of low-pass filter based on FRM[12，16]

2 調(diào)制濾波器組

2.1 濾波器組頻帶劃分

調(diào)制濾波器組在調(diào)制類型劃分方面分為2種類型，分別為余弦調(diào)制和復(fù)指數(shù)調(diào)制。余弦調(diào)制可以看作復(fù)指數(shù)調(diào)制的特例。調(diào)制濾波器組在頻帶劃分結(jié)構(gòu)設(shè)計上也分為2種類型，分別為奇型排列和偶型排列。針對實際問題，筆者研究了調(diào)制濾波器組的奇型排列方式，并且對濾波器組中的M個濾波器進(jìn)行均勻調(diào)制，濾波器組頻帶劃分方式如圖4所示。

圖4 濾波器組頻帶劃分Fig.4 Band division of filter bank

圖4所示的奇型排列的劃分方式避免了因為實信號造成的信道冗余問題，而且能夠?qū)崿F(xiàn)信號的無盲區(qū)無混疊接收。上述排列方式的虛線頻帶為對應(yīng)的鏡像，第k個信道對應(yīng)的中心頻率ωk滿足：

(9)

2.2 高效信道化結(jié)構(gòu)

均勻濾波器組低通實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖5所示。假設(shè)信道數(shù)為M，抽取倍數(shù)為K，令M=FK，令F取正整數(shù)(當(dāng)F=1時為臨界抽取情況)，輸入信號為s(n)，復(fù)指數(shù)調(diào)制因子為ejωkn，低通濾波器為g(n)，原型濾波器階數(shù)為N，多相濾波器階數(shù)為T=N/M。輸入信號經(jīng)過信道化后的輸出信號表示為yk(m)，k=0,1,…,M-1，m=0,1,…。

圖5 濾波器組低通實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Fig.5 Low-pass structure of filter bank

如圖5所示，第k個信道的輸出信號可以表示為

yk(m)=(s(n)ejωkn)?g(n)n=mK=

(10)

式中：?表示卷積運(yùn)算；k=0,1,…,M-1。

令信號K倍抽取后的多相結(jié)構(gòu)表達(dá)式為sp(m)=s(mK-p)，濾波器多相分量表達(dá)式為gp(m)=g(mM+p)，令i=iM+p，p=0,1,…,M-1，則式(10)可以表示為

(11)

令l=iF，hp(i)=gp(i/F)，則hp(i)是gp(i)的F倍內(nèi)插，第k個信道的輸出信號表示為

(12)

則式(12)的z變換可以表示為

(13)

濾波器組中的M個濾波器通帶帶寬減少為之前的1/M，所以在對濾波器K(K≤M)倍抽取時不會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。將中心頻率ωk代入式(13)中，K倍抽取提前，可得對應(yīng)的奇型排列信道化高效結(jié)構(gòu)，如圖6所示。該高效結(jié)構(gòu)將抽取模塊提到信道化結(jié)構(gòu)最前端，使之適應(yīng)于高速系統(tǒng)中。

圖6 濾波器組信道化高效結(jié)構(gòu)Fig.6 Efficient channelization structure of filter bank

3 窄過渡帶奇型排列高效結(jié)構(gòu)

3.1 FRM高效結(jié)構(gòu)

設(shè)FRM原型濾波器z變換表達(dá)式P(z)為

P(z)=Hap(zL)HMap(z)+Hcp(zL)HMcp(z)

(14)

式中：Hap(z)、HMap(z)和HMcp(z)分別為長度為Nao、NMa和NMc的零相位對稱濾波器；Hcp(z)=1-Hap(z)。

可以得到濾波器的因果線性相位形式為

Hao(z)=z-L(Nao-1)/2Hap(zL)

(15)

Hco(z)=z-L(Nco-1)/2Hcp(zL)

(16)

HMa(z)=z-(NMac-1)/2HMap(z)

(17)

HMc(z)=z-(NMac-1)/2HMcp(z)

(18)

式中：NMac=max{NMa,NMc}。

將式(15)～式(18)代入式(14)，則可以得到FRM濾波器組的各通道傳遞函數(shù)表達(dá)式為

(19)

式中：k=0,1,…,M-1；a=(Np-1)/2，Np=L(Nao-1)+NMac；WM=e-j2π/M。

將濾波器的因果線性相位形式進(jìn)行多相分解，可得如下表達(dá)式：

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：l=0,1,…,M-1；p=0,1,…,M-1。

將式(20)～ 式(23)代入式(19)，即可得到FRM濾波器組各通道傳遞函數(shù)的多相結(jié)構(gòu)表達(dá)式為

(24)

在對L倍插值之后的濾波器進(jìn)行屏蔽時，需要M通道屏蔽濾波器組的正好可以覆蓋插值產(chǎn)生的多余鏡像，即L=IM,I=1,2,…。原型濾波器和屏蔽濾波器需要滿足：

ωmap=ωap/L+π(L/M′-1)/L

(25)

ωmas=π/L+ωap/L+π(L/M′-1)/L

(26)

ωmcp=ωas/L+π(L/M′-1)/L

(27)

ωmcs=π/L+ωas/L+π(L/M′-1)/L

(28)

式中：M′為信道數(shù)；ωap和ωas分別為Hap的通帶和阻帶截止頻率；ωmap、ωmas、ωmcp、ωmcs分別為屏蔽濾波器HMap(z)和HMcp(z)的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

又由于實信號的頻譜應(yīng)為正值，且關(guān)于kπ(k=0,1,…)對稱，只需考慮0～π的信道信號，則數(shù)值上M′=2M，M表示實際應(yīng)用信道數(shù)數(shù)目。

假設(shè)上半個支路的屏蔽濾波器為原型屏蔽濾波器，那么對原型屏蔽濾波器進(jìn)行π/L頻移就能夠得到下半支路的屏蔽濾波器，然后再把上下2個支路進(jìn)行合并就能夠得到帶寬為π/M的子帶。FRM濾波器頻率響應(yīng)的合成過程如圖7所示，從上至下第1幅圖中實線為原型濾波器Ha(ω)的幅頻特性，虛線為原型濾波器Ha(ω)的互補(bǔ)濾波器的幅頻特性；第2幅圖中實線為插值后的原型濾波器Ha(ω)的幅頻特性，虛線為插值后的原型濾波器Ha(ω)的互補(bǔ)濾波器的幅頻特性；第3幅圖為屏蔽濾波器HMa(ω)的幅頻特性；第4幅圖為屏蔽濾波器HMc(ω)的幅頻特性；第5幅圖為最終合成的FRM濾波器H(ω)的幅頻特性。

將FRM技術(shù)引入信道化高效結(jié)構(gòu)中的濾波器設(shè)計中。用式(24)中FRM濾波器組的M個濾波器代替式(13)中濾波器組中的M個濾波器，可以得到第k個信道輸出信號的表達(dá)式為

圖7 FRM濾波器的頻率響應(yīng)合成過程Fig.7 Frequency response synthesis process of FRM filter

(29)

又因為Hco(z)=z-L(Nao-1)/2-Hao(z)，滿足：

(30)

式中：q為L(Nao-1)/(2M)的余數(shù)，q=0,1,…，M-1。

由式(29)、式(30)結(jié)合圖6，將K倍抽取提前，可得基于FRM的窄過渡帶濾波器組高效結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 采用FRM的窄過渡帶奇型排列高效結(jié)構(gòu)Fig.8 Odd-arrangement efficient structure with narrow transition band based on FRM

3.2 奇型排列高效結(jié)構(gòu)復(fù)雜度分析

高效結(jié)構(gòu)的計算復(fù)雜度主要受到硬件實現(xiàn)所需的乘法器數(shù)量影響，因此復(fù)雜度數(shù)值用于表征高效結(jié)構(gòu)中的乘法器數(shù)量。濾波器中所用的乘法器數(shù)目與濾波器長度成反比，即復(fù)雜度數(shù)值與過渡帶寬成反比。令實現(xiàn)濾波器組的代價函數(shù)為C。

實現(xiàn)一個均勻濾波器組所需要的乘法器數(shù)目為

Cr=Mγ/Δf

(31)

式中：γ為比例系數(shù)；M為信道數(shù)；Δf為窄過渡帶濾波器的歸一化過渡帶寬。

同理，實現(xiàn)一個濾波器組的多相結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度為

Cp=γ/Δf+MlbM+2M

(32)

本文設(shè)計方法實現(xiàn)的代價函數(shù)為

CFRM=γ/ΔHa+2γ/ΔHm+2MlbM+2M

(33)

式中：ΔHa為原型濾波器的歸一化過渡帶寬；ΔHm為屏蔽濾波器的歸一化過渡帶寬。

在FRM濾波器中，假設(shè)ωp為通帶截止頻率，ωs為阻帶起始頻率，其歸一化過渡帶寬為Δf=ωs-ωp；θ為原型濾波器的通帶截止頻率，φ為原型濾波器的阻帶截止頻率；插值倍數(shù)為L，則原型濾波器的過渡帶寬可以表示為ΔHa=LΔf。通帶和阻帶紋波對濾波器設(shè)計復(fù)雜度影響并不敏感，故而暫不考慮紋波的影響。

原型濾波器采用半帶濾波器。由圖7可知，屏蔽濾波器的過渡帶寬為ΔHm=1/L。將所有濾波器的過渡帶寬表達(dá)式代入式(33)可得到

CFRM=γ/(LΔf)+2γL+2MlbM+2M

(34)

內(nèi)插因子L數(shù)值的選擇會影響整個原型濾波器和屏蔽濾波器的設(shè)計復(fù)雜度。根據(jù)復(fù)雜度最低準(zhǔn)則，可以得到最優(yōu)L值的表達(dá)式為

(35)

因為L為正整數(shù)，取

(36)

式中：round(X)表示取距離X最近的整數(shù)。當(dāng)要求L為M的整數(shù)倍時，L取值為M′的最小倍數(shù)。L值代入式(33)可得

(37)

根據(jù)式(31)～式(33)可知，本文FRM改進(jìn)方法可以降低濾波器組的計算復(fù)雜度。在設(shè)計原型低通濾波器時采用半帶濾波器，因為半帶濾波器有近一半的值為零，因此可以進(jìn)一步有效減少計算量。在設(shè)計2個屏蔽濾波器時，可以先設(shè)計其中一個屏蔽濾波器，再通過調(diào)制這個屏蔽濾波器得到另一個屏蔽濾波器。通過這種設(shè)計方法得到的2個屏蔽濾波器的通帶寬度和阻帶寬度都是相等的，所以可以使設(shè)計復(fù)雜度再次降低。

4 系統(tǒng)仿真及分析

4.1 FRM濾波器組仿真與復(fù)雜度分析

設(shè)置濾波器組通道數(shù)M=8，內(nèi)插因子L=16，窄過渡帶歸一化過渡帶寬為0.004。設(shè)計原型濾波器時采用半帶濾波器，利用MATLAB中的firpm函數(shù)進(jìn)行設(shè)計，通帶和阻帶截止頻率分別為0.468和0.532，長度Nao=79，濾波器的幅頻響應(yīng)如圖9所示。由式(25)、式(26)可得原型屏蔽濾波器的通帶截止頻率為0.029，阻帶截止頻率為0.092，長度NMac=82，幅頻響應(yīng)如圖10所示。合成之后的FRM濾波器幅頻響應(yīng)如圖11所示。所設(shè)計的FRM濾波器組幅頻響應(yīng)如圖12所示。

在設(shè)計得到的濾波器過渡帶相同的情況下，直接實現(xiàn)這樣的濾波器組結(jié)構(gòu)需要乘法器數(shù)量為1 280×8=10 240，濾波器組的多相實現(xiàn)結(jié)構(gòu)需要乘法器數(shù)量為1 280+8lb 8+16=1 307。在采用了79階數(shù)半帶濾波器的設(shè)計中，實際非零系數(shù)為40，則本文提出的窄過渡帶濾波器組改進(jìn)結(jié)構(gòu)所需的乘法器數(shù)為40+86×2+2×8lb 8+16=251。而文獻(xiàn)[9]需要乘法器數(shù)目為125+150+146+2×8lb 8+16=460。通過對比本文提出的窄過渡帶濾波器組改進(jìn)結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)該改進(jìn)結(jié)構(gòu)比直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)節(jié)省了97.5%的乘法器資源，比多相濾波器組高效結(jié)構(gòu)節(jié)省了80.8%的乘法器資源,比文獻(xiàn)[9]提出的高效結(jié)構(gòu)節(jié)省了45.4%的乘法器資源。因此，本文中所提出的窄過渡帶濾波器組改進(jìn)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了計算復(fù)雜度的降低，更加易于工程應(yīng)用實現(xiàn)。

圖9 原型濾波器幅頻響應(yīng)Fig.9 Amplitude-frequency response of prototype filter

圖10 原型屏蔽濾波器幅頻響應(yīng)Fig.10 Amplitude-frequency response of prototype masking filter

圖11 FRM濾波器幅頻響應(yīng)Fig.11 Amplitude-frequency response of FRM filter

圖12 FRM濾波器組幅頻響應(yīng)Fig.12 Amplitude-frequency response of FRM filter bank

4.2 FRM高效結(jié)構(gòu)性能仿真與分析

用MATLAB進(jìn)行仿真時，設(shè)置采樣頻率為960 MHz，信道數(shù)為8。同時輸入7個信號，信號各項參數(shù)設(shè)置如表1所示。

圖13為FRM高效結(jié)構(gòu)的仿真輸出信號頻譜， LFM1跨信道3、4輸出； AM1在信道5輸出； LFM2在信道2輸出； DSB1在信道6輸出； LFM3在信道1輸出； DSB2在信道7輸出； AM2在信道0輸出。通過將得到的信號頻譜圖與仿真輸入信號進(jìn)行對比，可以驗證出FRM高效結(jié)構(gòu)的正確性。

LFM1的起始頻率60 MHz處于3、4信道的中心處，截止頻率為80 MHz，故LFM1出現(xiàn)了跨信道的現(xiàn)象。LFM3的起始頻率為320 MHz,截止頻率為358 MHz，其頻譜位于信道1和7的中心附近，由于濾波器組過渡帶窄的原因并未出現(xiàn)跨信道現(xiàn)象。采用了FRM窄過渡帶設(shè)計結(jié)構(gòu)沒有產(chǎn)生信號跨信道的現(xiàn)象。所以采用FRM窄過渡帶的信道化結(jié)構(gòu)可以減少信號跨信道現(xiàn)象，但是想要完全消除這種現(xiàn)象還是無法做到的。

表1 輸入信號參數(shù)設(shè)置

圖13 FRM濾波器組輸出頻域波形Fig.13 Output frequency domain waveform of FRM filter bank

5 結(jié) 論

1) 本文提出的一種采用FRM的窄過渡帶奇型排列改進(jìn)結(jié)構(gòu)以通用性較強(qiáng)的非最大抽取系統(tǒng)為設(shè)計出發(fā)點，具有廣泛的適用性。

2) 結(jié)構(gòu)中下采樣模塊位于該高效結(jié)構(gòu)的前置位，解決了由于采樣率的限制不能應(yīng)用于高速信號處理系統(tǒng)的問題。

3) 該改進(jìn)結(jié)構(gòu)相比于多相濾波高效結(jié)構(gòu)具有更低的計算復(fù)雜度，為工程化實現(xiàn)奠定了理論與技術(shù)基礎(chǔ)。

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