模糊插值的可調分數階PID控制器設計

鄒俊超 ，丁躍澆 ，唐 鑒 ，陳 曦

（1.湖南理工學院 信息與通信工程學院，岳陽 414006；2.湖南理工學院 機械工程學院，岳陽 414006）

分數階PID控制器的研究在控制領域是一個比較熱門的研究，它是微積分理論研究上的一種應用。時變分數階微分的研究是分數階微積分研究中的一個較新的領域，目前取得了一定的研究成果。文獻[1-6]分別從時變分數階的定義、實復數下的近似以及應用研究方面研究了時變分數階微分，文獻[7]提出了一種基于模糊估計的可調分數階PID控制器。

基于以上時變分數階微積分的研究，從應用的角度考慮，在工程實踐中，對于特定的系統，可以根據被控對象傳遞函數設計出控制器的最佳微積分階次并對其進行近似化處理以及和參數整定規則設計出相應的分數階PID控制器，設計起來比較容易；但當被控對象受到一些因素的影響，控制性能下降時，為使系統穩定，控制效果達到最佳，會將已設計好的控制器微積分階次作相應的調動，這會導致程序出現較大的變化，設計復雜度增大。由此可以設計一種可實現任意階次的可調分數階PID控制器，這些可利用模糊插值法加特定微積分環節的近似以及根據控制對象傳遞函數、參數整定規則設計出所需的分數階PID控制器。此算法設計復雜度較小、調節的自由度大、工程實踐應用意義較大，并且控制效果較好。

1 分數階PID控制

分數階PID控制的研究基礎是分數階微積分理論，分數階PID控制器由Podlubny.I教授提出，其一般格式簡記為PIλDμ，即λ階積分、μ階微分，比整數階PID控制器多出2個可調參數[8]，具有更好的可操作性。

1.1 分數階微積分理論

分數階微積分理論是在整數階理論研究基礎上的擴展與延伸，其階次可以是任意數。本文主要討論的微積分階次均為實數。分數階微積分算子可表示為

式中：R（α）表示為階次α的實部；a為分數階微積分算子的下限；t為算子的上限；α為算子的微積分階次。

目前分數階微積分的定義沒有一個統一的標準，其最著名的是 Grünwald-Letnikov（G-L）定義和Riemann-Liouville（R-L）定義。

GL定義式為

RL定義式為

式中：m-1＜α＜m，m∈N；Γ（·）為 Euler的 Gamma函數。

1.2 PIλDμ控制

典型的分數階PID控制系統如圖1所示，其中R（s）為系統輸入函數、E（s）為系統誤差函數、Gfc（s）為分數階PID控制器傳遞函數、U（s）為控制器輸出函數、G（s）為被控對象傳遞函數、Y（s）為系統輸出函數[7]，分數階PID控制器的傳遞函數可表示為

式中：kp、ki、λ、kd、 μ 分別為比例系數、 積分增益、積分階次、微分增益和微分階次。

圖1 分數階PID控制系統框圖Fig.1 Blocks of fractional PID control system

式中：0≤α1＜α2＜…＜αn；（an，bm）∈R；0≤ β1＜ β2＜…＜βm。

對于單個微積分傳遞函數形如

1.3 分數階微分算子近似

要實現可調分數階PID控制器的設計，其最主要的步驟就是把控制器的傳遞函數里的分數階微積分環節整數階化。一般來說，近似方法有很多種，用得比較多的是間接近似法。其中Carlson間接近似法近似精度較高，其是利用牛頓法，對第α個根用迭代的方法得到的。設：

在 t=0 時，控制器輸出 u（t）與系統誤差 e（t）有如下關系：

被控對象輸入 u（t）與輸出 y（t）通過 Laplace 變換可表示其傳遞函數為

令α=1/q，m=q/2。設矯正函數：

把這個函數代入牛頓法，并且設λ＝H（s）得到：

從開始，經過 2 次迭代可以得到：

在Matlab/Simulink中可以編碼實現Carlson近似法，本文利用此近似法對特定階次微積分環節進行近似化處理。

2 可調分數階PID控制器設計

可調PIλDμ控制器主要由Carlson近似法與模糊插值法結合而成。

2.1 模糊插值法設計

模糊插值法主要由模糊邏輯與模糊推理等組成，而模糊邏輯主要由模糊規則、隸屬度函數組成。本文中采用0～1之間的任意數作為隸屬度函數值，并根據設計目的和需求制定相應的模糊規則，進而進行模糊推理。

本文的隸屬度函數采用常用的三角隸屬度函數，其由11段隸屬度曲線組成，橫軸區間為［-1，1］，如圖2所示。

圖2 三角隸屬度函數曲線Fig.2 Triangular membership function

利用Carlson間接近似法對階次為α的微積分環節近似為

根據三角隸屬度函數曲線特性，求出11段曲線頂點相應的α所對應的Carlson近似微積分環節：

和 j條模糊規則 Aj，j=1，2，…，n

如果 α 是 αk，很明顯對于模糊規則的隸屬度值為 1，因為 11 段隸屬度曲線里僅有一條符合條件。如果αk＜α＜αk+1，將會有2條隸屬度曲線滿足條件，因此可以得出：

將其總結還可得到：

2.2 仿真模塊設計

本文提出的近似方法可以在Matlab中的Simulink里用已有的功能模塊和自己編程封裝好的模塊相結合實現，并設計PIλDμ控制器，其系統框圖如圖3所示。

圖3 可調分數階PID控制系統框圖Fig.3 Simulation of adjustable fractional PID controller

其中模糊插值微積分環節內部框圖如圖4所示。

圖4 模糊插值分數階微分環節框圖Fig.4 Blocks of fuzzy interpolation fractional derivetive

以上的方法主要是對階次在-1～1之間的微積分環節進行模糊插值處理，對于其它任意階次的微積分環節只需對階次取整，令α=α1+α2，α1∈Z，-1＜α2＜1，對 α2進行模糊插值處理即可。

2.3 參數整定

在已經確定好微積分階次后，接下來需要整定各環節的系數，典型被控對象的傳遞函數表示為

根據整定步驟8，對于被控對象傳遞函數G（s）和控制器傳遞函數Gfc（s），系統的幅值裕量Am和相位裕量φm應滿足：

其中ωp和ωg分別應滿足以下條件：

控制器傳遞函數滿足以下條件：

在設計控制器時，系統的傳遞函數、期望的幅值裕量Am和相位裕量φm都是已知，其余的參數可根據誤差平方最小化決定，即：

此時 kp、ki、kd可由下列關系式確定：

依照經驗確定λ和μ后，ωp和ωg則可根據相關條件確定。

3 仿真結果與討論

針對一系統，建立了分數階模型和整數階模型。傳遞函數分別是：

根據參數整定規則，選取 φm=π/4，Am=1.5。首先針對整數階模型，分別設計了整數階PD控制器和分數階PID控制器，兩者的傳遞函數分別為

圖5中顯示的是兩者的控制系統階躍響應曲線。

圖5 整數階與分數階控制系統階躍響應曲線Fig.5 Unit step response of integer and fractional systems

從圖5中曲線能看出分數階PID控制器的控制效果明顯比整數階PD控制器的好。

依舊針對整數階被控模型，仍采用上述期望的幅值相位值來設計本文所設計的模糊插值的分數階PID控制器，其傳遞函數與Gfc1一樣，將Gfc1和模糊插值的Gfc2分別控制被控對象，其控制系統階躍響應曲線如圖6所示。

從圖6中可以看出，Gfc4和Gfc3兩個控制系統的響應曲線幾乎重合，穩態誤差都接近0，并且兩者的控制效果都比較好，控制性能幾乎相同。

針對分數階模型分別建立了基于Carlson的分數階PID控制器和整數階PID控制器，兩者的傳遞函數分別為

圖6 分數階與模糊插值分數階控制系統階躍響應曲線Fig.6 Unit step response of fractional and fuzzy interpolation fractional systems

圖7中顯示的是兩者的控制系統階躍響應曲線。

圖7 整數階與分數階控制系統階躍響應曲線Fig.7 Unit step response of integer and fractional systems

從圖7中曲線能看出控制系統Gfc3比Gic1響應時間更短，超調量更小，達到穩態時間更短。Gfc3的控制效果明顯比Gic1的控制效果好。

依舊對分數階被控模型，采用相同的性能要求來設計本文所設計的模糊插值的分數階PID控制器，其傳遞函數與Gfc3（s）一樣，將Gfc3和模糊插值的Gfc4分別控制被控對象，其控制系統階躍響應曲線如圖8所示。

從圖8中可以看出，Gfc4和Gfc3兩個控制系統的響應曲線幾乎重合，可見兩者的控制效果都比較好，控制性能幾乎相同。

4 結語

圖8 分數階PID控制系統階躍響應曲線Fig.8 Unit step response of fractional PID systems

仿真與實驗結果表明針對可變分數階微積分在PID控制中的應用問題，本文設計的控制器具有較好的近似精度，對整數階系統模型以及分數階系統模型都有較好的控制效果，可根據被控對象任意調整微積分階次，已達到所需的控制要求，并且在設計過程中算法的復雜度較小。按照此方法可以考慮設計開發一種分數階PID控制軟件，應用于設計復雜、控制要求較高的工業系統。

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