關于“理解”指向的高三數學復習教學思考

琳達·達林-哈蒙德（Linda Darling-Hammond）是斯坦福大學教育學院教育學教授。她在《高效學習——我們所知道的理解性教學》一書中指出：“只把數學當成是一套需要掌握原理和程序的學生，將只會學到那些——原理和程序——而他們在概念理解能力和問題解決技能上會收獲很少”。［1］理解性教與學，正成為數學教學的應然選擇與追求。

高三數學復習課中，常常見到以下現象：在知識梳理環節，教師或簡單呈現式回憶，或輕描淡寫地帶過；在講解典型例題時，教師多示范解法而少示范想法，更少涉及解法本質的剖析；學生的鞏固訓練則更多地停留在“照瓢畫瓢”的模仿層面……凡此種種，使得學生一次次錯失對概念理解、對問題本質理解的機會。究其原因，既有“磨刀怕誤砍柴工”的急功焦躁之心，更與對理解性教學缺乏認同有關。本文借高三復習課中的幾個案例，就知識梳理、例題示范、遷移鞏固環節，如何通過理解性地教，去幫助學生理解性地學，談點個人的看法。

一、知識梳理，應促進學生對復習內容的深度理解

案例1：簡單呈現式復習。

在一節“直線的方程”復習課上，一開始，教師投影出示以下內容：

（1）直線l經過點P1（x1，y1），斜率為k，則它的點斜式方程是__________。

（2）若直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，則它的方程是__________。

（3）直線l經過點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），它的兩點式方程是__________。

（4）若直線 l在 x軸上的截距為 a（a≠0），在y軸上的截距為b(b≠0),則它的方程是__________。

（5）直線方程的一般式是Ax+By+C=0，其中A，B應滿足的條件是__________。

高三數學復習的一大重要任務就是使學生的知識系統化、結構化，并加深其對知識的理解及知識間內在聯系的把握。上述對直線方程有關知識的梳理，是典型的呈現式教學，學生對用“數”來表征“形”的解析思想、對直線方程的四種特殊形式及其內在聯系的認知仍浮于表面，溫故未能知新。

案例1的改進：

師：同學們，所謂直線方程，實質上就是用這條直線上任意一點的坐標（x，y）去刻畫直線所滿足的幾何條件，也即直線幾何特性的一種代數表達。請思考以下四個問題：

（1）給定一個點P0和直線的方向，可確定一條直線。怎樣代數化地表述這條直線？

（2）直線方程有四種特殊形式，你認為哪一種是“最基本”的？這四種形式中的每一種，是否能表示平面內的所有直線？為什么？

（3）為什么又會有個直線方程的一般式？它有什么作用？

（4）求滿足下列條件的直線的方程：①直線 l經過點 A（－4，6），B（0，－2）；②直線 l經過點 A（3，－4），且在兩坐標軸上的截距相等。

【分析】教師一開始所說的話是對解析思想的再強化。問題（1）通過對點P0和方向這兩個幾何條件的代數化——坐標、斜率，進而將直線上任一點P所滿足的幾何條件（與點的連線就是給定的方向）翻譯成代數形式。在這一師生互動的過程中，學生對直線方程產生的背景有了進一步的體認，對解析思想的理解自然又深了一層。問題（2）旨在幫助學生理解點斜式是四種具體形式中最基本的一種，其他形式均由此推導而來，從而理解這四種具體形式間的內在聯系。而四種形式的局限性，是由代數刻畫時的局限帶來的。例如，垂直于x軸的直線的斜率不存在，兩點式或截距式中的分母不能為零等。問題（3）是幫助學生進一步認識直線方程的一般式是前面四種具體形式的“共性”概括，即：直線的方程究竟“長”什么樣？進一步地，像點斜式、截距式方程化成一般式Ax+By+C＝0后，其系數A，B，C應滿足什么條件？從而豐富學生對不同表達式內在聯系的理解。問題（4）的第①問，可用點斜式或兩點式或斜截式求解。第②問，解題后教師可追問：為什么用點斜式方程y+4＝k（x-3）解此問題不會漏解？（因為本題中截距相等的直線，其斜率必存在。）

學生對要復習的內容，并非一無所知，更多的是在某些點上一知半解，似懂非懂。教師要做的，就是診斷學生的疑難困惑所在，把要復習的知識內容放在單元、章節乃至更大的背景上去考量，分析其內在聯系的節點。并以此為起點，創設情境，設計辨析問題或編制練習，激發學生思維參與。學生在對問題思考和解答的過程中，自主地在頭腦里提取、整合學過的知識，并用新的方式“解釋、推斷、聯系、應用”。經過這一番梳理，學生對要復習的知識、概念才能結構化，在原有基礎上才能有新的認識，新的體悟。

上面改進后的案例1，在學生復習的基礎上，對解析幾何的思想、直線方程幾種形式間的內在聯系及其運用時的局限性等做了有機整合。通過問題驅動、小題練習的方式，引導學生對原有知識方法進行深層次思考，促進他們對復習內容的深度理解。

二、例題示范，應透視剖析方法之源流與本質

案例2：重術輕道的解題教學。

在一節“兩條直線的位置關系”的復習課上，教師出示了以下一道題：

若直線 l1：y＝kx+k+2 與 l2：y＝-2x+4 的交點在第一象限，則k的取值范圍是_____。

待學生思考片刻后，教師請一名學生到黑板前講解自己的解題思路。如圖1，這名學生觀察出直線 l1是過定點 P（－1，2）的動直線，將定點 P 與 A（2，0），B（0，4）分別相連，得直線PA，PB，由直線PA，PB的斜率和題設條件，用數形結合的方法，得到

圖1

【分析】這位教師讓學生講解自己解題過程與思路的做法值得肯定。但這種利用數形結合的巧妙做法不一定是所有學生在第一時間都能想出的，教師應當對更一般的解法進行深入分析。

案例2的改進：

在這名學生講解之后，教師可作如下進一步的交流：

（1）“交點在第一象限”，能否將交點坐標解出來？（解出交點坐標就是用代數方法處理幾何問題，而這正是解析思想的本質。）

（2）在解出交點的橫坐標后，是否一定要解出交點的縱坐標？

上述三個問題，直擊解析幾何學習中的兩個重要問題——代數方法蘊含的解析思想，代數運算能力的訓練與培養。筆者認為，本題更宜以代數方法為主。數形結合之巧法，可作為對代數結果的驗證。

案例3：口號式的解題教學。

在復習“線面平行”時，一位教師選用了下面的題：

圖2

如圖2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是AB的中點。求證：AC1∥平面CDB1。

教學片段如下：

師：要證線面平行，常用的方法是什么？

生：（近乎齊答）找線線平行。

約一分鐘后，個別學生有了思路，教師提問學生Z。

生Z：連接BC1交B1C于點M，連接DM，由條件知道，BCC1B1是平行四邊形，所以M是BC1的中點，而D是AB的中點，由三角形中位線定理，DM∥AC1，DM就是要找的線。

師：很好。這位同學由條件中的中點D聯想到中位線，找到了這條線。

【分析】這里，學生Z將平面CDB1內的這條線找出來后，大部分學生對學生Z的思路進行認可和確認。筆者考慮的則是：證明線面平行這一類問題，其本質方法究竟是什么？難道就是這位教師說的，由中點聯想到中位線這樣的套路？是不是停留在“找線線平行”這樣的口號？怎樣從方法本質的層面去指導學生找出這樣的線？

回到線面平行的判定定理，不難看出，在平面內要找的這條線與平面外的那條線是平行的，其實質是共面的。因此，要找的這條線DM是過面外那條線AC1的平面BAC1與已知平面CDB1的交線——將空間線面平行的推證問題轉化為平面上兩條線的平行問題，這才是線面平行這一類問題處理方法的本質。學生理解了這一點，余下的只是如何找這樣的一個輔助平面BAC1的具體技術問題。本題是將點B視為中心，用中心投影法找出了輔助平面。在有些情境中，是用平行投影的方法找到這樣的輔助平面。

上面這樣一個小小的教學環節就涉及了空間問題平面化的降維思想，對幾何定理中蘊含的基本圖形、基本方法本質的剖析以及基本作圖能力。江蘇省特級教師馬明曾談過數學教學功能的四個層次：數學觀念、數學思想、解題方法、解題術。從上述案例2和案例3中，可以看到有的教師在平時教學中過多地關注了解題的具體方法、技術、技巧，而忽視了更高層次的觀念、思想、宏觀的解題策略，即理解性學習的解題之“道”。 從“道”入手，學生才有可能在模仿、體悟、反思并不斷積累經驗的基礎上，有更深刻的理解，并內化成自己的、自然而本質的解題思想、解題方法和分析策略。

三、遷移鞏固，應立足變式析理助悟

變式教學不僅在新授課中，在高三復習課中更是被廣泛運用。通過變式與遷移，將習得的方法運用于新的情境，解決新的問題，從而提升理解數學的能力。但就筆者平時聽課觀察發現，不少變式教學的目的性和方向性不明，要么是原題的簡單翻版，要么是變成了與原題不搭界的一個新題，原題在變式中變了味。

高考復習中很重要的一個環節就是在溫故的基礎上求新知。其中，變式遷移是通過實戰演練達成新知內化的有效途徑和手段。具體關系可見圖3。

案例4：復習函數奇偶性。

在復習函數奇偶性時，學生常有這樣的三個難點：一是定義域是否關于原點對稱；二是分段函數的奇偶性的判斷；三是奇偶性與單調性的綜合運用。以下題目涉及的變式就很好地體現了由淺度感知到深度理解，進而到遷移內化的訓練過程。

（1）設定義在 R 上的偶函數 f（x）在［0，+∞）上是減函數，則不等式 f（x）＜f（3）的解集是________。

（2）設定義在R上的偶函數f（x）在［0，+∞）上是減函數，則不等式f（x）＞f（2x+1）的解集是_________。

（3）已知函數 f（x）=x2-|x|，若 f（-m2-1）＜f（2），則實數m的取值范圍是________。

【分析】上述三道題，題（1）是直接運用偶函數與單調性的關系，結合圖象就可得解；題（2）則觸及這類問題的本質：函數值大小→自變量值大小→自變量x,2x+1的絕對值大小→圖象上的點與對稱軸的距離遠近；而題（3）則將一般的偶函數具體化，考查學生能否洞察出其奇偶性、單調性，是對所學知識和方法運用于新情境下能力的檢驗。

數學教育專家顧泠沅先生曾系統分析和闡述過變式教學，確認和說明了兩種變式——“概念性變式”和“過程性變式”。在高三復習課教學中，應運用這兩種變式，在變式中求遞進，以不斷提升學生在新情境中解決問題的能力。

以上所論及的高三數學復習課教學中的三個方面都是對為理解而教，為理解而學的追求。復習中，立足深度理解，方能透視方法本質，方能跳出題海，復習教學才能高效。

圖3

［1］琳達·達林-哈蒙德，等.高效學習——我們所知道的理解性教學［M］.馮銳，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2010.

［2］顧泠沅，楊玉東.過程性變式與數學課例研究［J］.上海中學數學，2007（1-2）.

［3］鄭毓信.變式理論的必要發展［J］.中學數學月刊，2006（01）.

［4］徐兆洋.試論理解取向的數學教學及其設計［J］.教學與管理，2013（08）.