建筑結構抗震課程的動力分析演示軟件

任曉崧　鄭玉琴　周球尚

摘要：

建筑結構抗震是土木工程專業的一門必修專業課，課程專業性強，涉及概念廣泛且抽象。為幫助學生加深對課程知識的理解，培養學生創新實踐能力，文章借助MATLAB語言的圖形用戶界面編制動力反應分析演示軟件，針對課程教學中地震作用、反應譜和動力反應分析等要點，探討如何在教學實踐中提高學生自主學習和動手實踐的能力。

關鍵詞：建筑結構抗震；課程概念；MATLAB GUI；動力反應分析軟件

中圖分類號：

G6423；TU352

文獻標志碼：A文章編號：

10052909（2018）02012205

據調查顯示，中國高校的課堂教學互動機制不夠完善，知識的傳授主要以“填充式”為主，缺少學生對課程的反饋，學生的知識接收過于被動，同時缺乏動手訓練的機會，學生自主實踐能力的培養較少[1]。

文章將結合課程內容詳細介紹基于MATLAB GUI的自制課程演示軟件。軟件由已修該課程的學生，同時也是現在的課程助教編制完成。軟件編制目的是幫助學生對地震作用、反應譜理論和動力反應分析有更深刻的認識，提高課程教學效果，同時也為學生提供繼續開發擴展的平臺。

一、抗震課程教學體會

建筑結構抗震課程作為土木工程專業一門重要的專業課，在教學過程中受到學生的高度重視[2]。該課程主要介紹結構抗震相關知識[3]，其中地震作用、反應譜和動力反應分析3個知識點，不僅是課程教學的要點，也是學生學習的難點。

1.地震作用

地震作用指地震發生時地震波引起的地面運動對結構產生的影響。地震作用區別于一般的靜力或動力荷載，是一種慣性作用，衡量地震作用的三要素分別為最大幅值、頻譜特性和持續時間。最大幅值的概念較直觀，即地震作用時程曲線中的最大值。頻譜特性是指組成地震動的各簡諧振動振幅和相位特性，頻譜顯示不同頻率分量的強度分布，常用功率譜、幅值譜和反應譜來表

示。對學生而言，幅值和頻譜特性對結構的影響容易理解，但持續時間的影響則相對抽象，不易察覺。持續時間對結構的破壞累積效應、低周疲勞現象和非彈性破壞有非常重要的影響，在時程分析和反應譜計算中都需考慮其影響。地震作用持續時間范圍內，對結構造成破壞的只是地震作用強烈的部分。中國現行規范考慮了主要特性，即幅值和頻譜特性對結構的影響。

2.反應譜

單自由度體系動力計算是結構動力反應的基礎知識。在地震激勵作用下，其動力方程為

x¨（t）+2ξωx·（t）+ω2x（t）=-x¨g（t）（1）

x¨（t）+x¨g（t）=ω∫t0e-ξω（t-τ）sinω'（t-τ）x¨g（t）dτ（2）

方程的解分為自由振動和強迫振動兩部分，其中強迫振動部分可通過杜哈梅積分求解得到。由于阻尼的存在，自由振動部分會很快衰減，強迫振動部分隨之成為結構的穩態反應，式（2）為絕對加速度反應，即杜哈梅積分。結構的反應不僅與輸入的地震動記錄有關，還和結構本身的動力特性相關。從時域角度來看，地震動的幅值直接影響反應的最大值，持續時間則與結構的變形和疲勞有關。地震動的頻域組成對結構的影響也十分顯著，當結構固有頻率靠近地震動卓越頻域，動力反應放大作用十分明顯。學生結合反應譜理論能更直觀地理解地震動頻譜特性對結構的影響。

抗震設計中，一般應用反應譜得到所關心的地震作用最大值，式（3）為絕對加速度反應最大值。反應譜是單自由度體系在地震動作用下，結構的自振周期與最大彈性反應之間的關系，體現了地震動對上部結構的作用，包含了共振效應的影響。反應譜是一條包含多個峰值的曲線，不同自振周期的結構在同一地震動作用下的反應也不相同。同時反應譜也受阻尼影響，阻尼越大，結構的地震反應越小。中國抗震規范[4]使用的設計反應譜是由大量地震記錄統計、擬合、調整后得到的標準加速度反應譜曲線，具有統計學意義，用于工程設計時，使用方便，克服了動力時程分析樣本少、隨機性強的缺點。因簡便實用的特點，反應譜理論成為中國抗震設計最為常用的分析方法，但由于無法考慮地震持續時間的影響，存在一定的缺陷。在實際應用時，可根據震害情況和專家的工程經驗適當調整。

Sa=x¨（t）+x¨g（t）max（3）

3.動力分析

實際工程結構常假定為多自由度線彈性系統，其在地面運動作用下的運動微分方程是相互耦合的。考慮阻尼影響下，多自由度體系的運動方程為

Mx¨（t）+Cx·（t）+Kx（t）=-MIx¨g（t）（4）

采用瑞利阻尼假定，如式（5），使阻尼矩陣也滿足正交條件。

C=α0M+α1K（5）

雖然多自由度動力分析較單自由度體系復雜，但只要能理解其求解過程的本質，便迎刃而解。利用振型關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性，將多自由度體系解耦為多個振型對應的單自由度體系，采用杜哈梅積分得到各單自由度體系的反應，再通過各單自由度體系地震反應組合方式得出原結構體系的地震反應，這就是振型分解法的思想，如式（6）所示。在課程教學中，振型分解法是求解多自由度動力反應時重點介紹的方法。實際工程中，一般著重于最大動力反應的求解，因此常應用反應譜求得各振型對應的最大動力作用，進而得到各振型對應的動力反應，再根據一定的假定將各振型的動力反應進行組合得到結構的動力反應，這就是振型分解反應譜法。

x1（t）x2（t）xn（t）=X11X21…Xn1X12X22…Xn2X1nX2n…Xnnq1（t）q2（t）qn（t） （6）

振型分解反應譜法中幾種常用的組合方式有絕對值相加法、通用模態組合法（GMC法）以及中國抗震規范采用的平方和平方根法（SRSS法）、完全平方根組合法（CQC法）。由于各振型的最大反應不會同時達到最大值，絕對值相加法過于保守，一般不采用。課程教學主要介紹的振型組合方法為SRSS法，即采用平方和平方根法，假設各振型的最大反應在統計學意義上相互獨立，各振型間不存在耦合效應。這是基于工程經驗的實用分析方法，已被證明具有很高的工程精度，當僅考慮基本振型的影響時可推導出更為簡便的底部剪力法。但考慮扭轉影響時，SRSS法則不再適用，規范中給出了考慮振型耦合的計算公式。

二、動力反應分析課程演示軟件編制

MATLAB語言在復雜的數值分析、信號處理方面具有明顯優勢。當制作需要處理大量數據的軟件時，可在GUI中利用MATLAB語言編寫程序[5]。軟件界面要簡潔直觀，操作簡單，可供用戶反復使用，適合學生在課程教學中使用及二次開發。該自制軟件的流程如圖1所示。

針對課程教學的需求，基于單自由度體系的課程自制軟件設計為地震波輸入、杜哈梅積分、反應譜計算三部分。學生可根據場地類型的不同選擇相應的地震波輸入，也可自行定義，得到相應的加速度時程、傅里葉譜和功率譜。設置結構的自振周期和阻尼，軟件可自動計算加速度反應和位移反應。此外，通過改變不同的阻尼比，還能得到相應的位移反應譜和加速度反應譜，并與規范反應譜進行對比。

1.動力反應的對比

外荷載激勵下，結構的反應分為強迫振動和自由振動。以地震動和簡諧荷載分別作用于結構的反應為例（其中單自由度結構自振周期為0.5，阻尼比0.05），對比兩種情況結構反應的差異[6]。運用軟件計算得到周期為0.45 s的正弦激勵和EI Centro地震波作用下的結構反應如圖2所示。

對比可知，簡諧激勵作用反應的開始段屬于過渡段振動，振幅和周期均在變化，之后進入穩態反應段，即以簡諧荷載頻率ωg的強迫振動，外激勵停止后進入自由振動，逐步衰減回到原始位置。EI Centro地震波作用下的結構反應較簡諧激勵作用下的激勵小，因為簡諧荷載的頻率與結構固有頻率接近，激起的共振效應更明顯。還可添加其他形式的荷載，用軟件算出其動力反應進行對比，對課程知識進行驗證，直觀感受不同情況下結構動力反應差異。

自由振動較強迫振動而言，對結構反應影響較小。學生一般認為，由于阻尼的存在，自由振動段會快速衰減，且隨著阻尼的增大，結構的反應會減小。在課程助教的引導下，學生對此進行了擴展性討論[7]。在某些特定情況下，會出現自由振動段響應超過強迫振動段，且阻尼取較大值時，加速度反應比小阻尼情況下更大。此外，通過調整結構的初始速度和位移，發現雖然過阻尼情況下的阻尼比大于臨界阻尼，但結構衰減后期的響應反而會出現比臨界阻尼大的現象。通過課程軟件的幫助，可有效培養擴展性思維，在深入理解課程知識的同時提升思維能力。

2.地震動輸入對結構反應的影響

結構動力反應不僅受自身動力特性影響，不同地震動輸入時反應也有所不同。地震動作用時，不同地震波的頻率分布各有差異，導致結構反應也不同。以二、四類場地地震動輸入為例，學生用軟件輸出對應的傅里葉幅值譜，如圖3所示，顯示了地震波在頻域范圍內能量的分布情況。結構動力反應的實質就是其共振放大效應，結構的固有頻率越接近地震波的卓越頻率，則結構的反應越大。掌握地震動輸入的頻譜成分情況，可有效避免結構頻率出現在不利頻段上。

3.對反應譜的理解

地震作用下結構最大反應的計算可通過反應譜理論得到，與結構自振周期和阻尼比有關。設計反應譜是經過大量地震記錄的統計分析和擬合得到的結果。中國抗震設計規范針對不同的場地類型和阻尼比，對設計反應譜進行了修正。圖4為軟件計算得到的不同條件下加速度反應譜和位移反應譜，通過添加設計反應譜加以對比。

從圖中可以看出，阻尼越大，反應譜的值越小。實際反應譜是具有多個峰值的曲線，設計反應譜在實際反應譜的基礎上經過平滑處理，便于工程應用。對于某些頻域段，降低設計反應譜值是出于實際工程的需求，但其合理性還有待驗證。通過軟件對比實際反應譜和設計反應譜，可以幫助理解反應譜的實質及影響因素，進而探討設計反應譜的合理性。

三、多自由度體系反應動力分析設想

實際工程中常見的多自由度體系，由于自由度的增加使其動力反應的求解變得復雜。目前有很多商業軟件可進行多自由度體系的動力反應計算，如ANSYS、SAP2000、ABAQUOS等。這些軟件操作簡便，易于掌握，

可作為課程教學輔助工具，但其計算過程可視性不足，無法對比各影響因素對結構反應的影響，缺乏較好的教學示范性，缺乏體系動力反應求解過程和影響因素的分析[8-10]，對學生理解振型分解法、振型分解反應譜法的幫助并不明顯。

文章介紹的動力反應分析課程演示軟件是針對單自由度體系編制的，能幫助學生加深對地震作用、單自由度體系地震反應分析、反應譜及其設計反應譜等教學要點的認識。多自由度體系動力反應的求解也是課程教學中十分重要的一部分，該內容在課程演示軟件中尚未實現，并非軟件編寫和實現方面的困難，而是由于多自由度體系的動力計算較為復雜，影響其動力反應的因素較多，除了與單自由度體系共有的影響因素之外，還涉及各振型之間的相互關系，通過軟件演示，并不容易起到教學示范的效果。對于較規則的結構，且當樓層參數（質量、剛度等）變化不大時，其動力求解的影響因素減少，可簡化為糖葫蘆串模型，作為編寫演示軟件的對象。軟件的編寫強調對比性，旨在起到較好的教學示范性。在課程教學中，對比是非常有效的一種學習方法。通過各影響因素改變后結構反應的對比，幫助理解并快速掌握相關知識。主要體現在以下幾方面：

第一，單自由度和多自由度整體的對比。多自由度體系求解基于單自由度體系的解耦過程，再由多個單自由度體系動力反應通過某種組合方式得到結構整體的反應。課程教學中，學生反映多自由度體系與單自由度體系相互轉換的過程不直觀。因此，在軟件設計時，可選擇合適的參數，分別演示各振型對應的單自由度體系反應及結構整體反應，并互相對比分析，動態展現由多自由度到單自由度再到多自由度的整個過程，便于學生熟悉多自由度體系動力反應的計算過程。

第二，振型相關概念的對比演示。在多自由度體系動力分析教學中，振型、振型參與系數、振型參與質量是很重要的概念。振型即單自由度體系在振動的任一時刻，各質點位移的比值保持不變的振動形式。振型參與系數和振型參與質量都具有明確的物理定義。振型形式和振型參與系數直接影響各振型中質點的動力作用，進而影響結構整體的反應。而振型參與質量決定參與計算的振型數量，即振型參與質量不少于總質量的90%。軟件編制時通過一定的設計，展現各振型的形式及振型參與系數和參與質量的數值大小。借助軟件，改變參與計算的振型數量、結構參數等，振型相關量的值也會隨之變化，從而得到不同的動力反應。

第三，反應譜方法的應用。反應譜的應用對象是單自由度體系，多自由度體系計算時每個振型對應的單自由度體系反應可用反應譜求解。在已有軟件的基礎上計算得到反應譜，根據每個振型的周期，求出對應的動力反應。結構整體的反應由各振型對應的反應通過一定的組合方式得到。軟件編制時涵蓋各種組合方式，學生可任意選擇，并對不同組合方式產生的結果進行對比，分析不同組合下結構反應的區別，理解平方和平方根法（SRSS法）。圖5為多自由度體系動力計算流程的示意圖。

第四，底部剪力法的對比演示。當結構響應以第一振型為主時，振型分解法便可簡化為底部剪力法，即只有第一振型參與。各質點的動力作用可近似地取為第一振型各質點對應的動力作用。當結構基本周期較長時，計算得到的頂部動力作用偏小，需在頂點附加地震作用。對于突出屋面的小房間，質量和剛度突然減小，動力反應增大，對此處的動力作用乘以系數3，且不往下傳遞。軟件編制時可設計多質點結構的模型，分別展示每個質點對應的結構參數、動力作用及動力響應，建立簡單直觀的力學模型。通過模型能直觀地看到結構每層動力作用和動力反應相應的變化，以及對結構整體反應的影響程度，進而對底部剪力法計算過程的認識更加清晰，便于理解底部剪力法與振型分解法的區別和聯系。

四、結語

基于教學實踐，編寫了動力反應課程演示軟件，通過不同情況的對比模擬，將抽象概念可視化和直觀化。作為一種新穎有效的教學輔助工具，演示軟件可幫助學生克服概念理解上的困難，深化對地震作用、反應譜和動力分析等知識點的理解。學生在運用軟件時，通過改變不同的參數，對比分析相應結果，不僅可加深對概念的理解，還能培養學生的動手實踐能力，激發創新性思維。該課程演示軟件應用方便，操作簡單，具有一定的繼續開發價值，下一步將針對多自由度體系的反應分析深化開發，力求在建筑結構抗震課程教學實踐中有更廣泛的應用價值。參考文獻：

[1]呂林海，張紅霞. 中國研究型大學本科生學習參與的特征分析——基于12所中外研究型大學調查資料的比較[J]. 教育研究，2015（9）：51-63.

[2]呂西林. 建筑結構抗震設計理論與實例[M]. 上海：同濟大學出版社，2015.

[3]任曉崧， 郭雪峰， 周球尚. 對建筑結構抗震課程教學的思考[J]. 高等建筑教育，2015，24（4）：55-58.

[4] 建筑抗震設計規范：GB 50011—2010[S]. 北京：中國建筑工業出版社，2010.

[5] 宗節保，段柳云，王瑩，等. 基于MATLAB GUI軟件制作方法的研究與實現[J].電子設計工程， 2010， 18（7）：54-56.

[6] 任曉崧. 建筑結構抗震設計[M]. 大連： 大連理工大學出版社， 2015.

[7] 鐘源，任曉崧. 培養拓展性思維的教學探索——以阻尼比對單自由度體系動力響應影響為例[J]. 高等建筑教育， 2017，26（2）：93-97.

[8] 北京金土木軟件技術有限公司. SAP2000中文版使用指南[M]. 北京：人民交通出版社， 2012.

[9] ABAQUS， Inc. ABAQUS Analysis Users Manual [EB/OL]. [2017-03-12].http：//www. abaqus.com，2004.

[10] 王新敏. ANSYS工程結構數值分析[M]. 北京：人民交通出版社， 2007.

Abstract：

Structural seismic design is a professional course for the undergraduate students in the college of civil engineering. As for the strong professional background， its content is widely involved with the noninstinctive content. In order to deepen the knowledge of this course and train the ability of practice for the student，the dynamic analysis demonstration software is written by MATLAB GUI. Focusing on the key issues as earthquake action， response spectrum and dynamic response analysis， improving teaching effect is discussed for better learning and practice of students.

Keywords： structural seismic design； course concept； MATLAB GUI； dynamic analysis demonstration software

（編輯周沫）