數(shù)字“1”在解題中的精彩表現(xiàn)

李光平

摘要：在數(shù)學(xué)解題過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)數(shù)字“1”扮演非常重要的角色，許多原來比較難解決的問題，卻由于“1”的催化和紐帶作用，使問題變得簡單易操作.每每回顧整個(gè)解題過程，常讓人有一種“望斷天涯路，驀然回首，伊人卻在燈火闌珊處”的奇妙感覺，令人茅塞頓開，回味無窮.本文選擇了幾個(gè)例子和大家一起分享數(shù)字“1”帶來的精彩表現(xiàn).

關(guān)鍵詞：數(shù)“1”

一、數(shù)“1”作引，一路登頂

例1求值：C 32+C 42+C 52+…+C 102

本題學(xué)生基本上采用將每個(gè)組合數(shù)的數(shù)據(jù)算出來再加在一起的方法，過程繁瑣，浪費(fèi)了大量的時(shí)間.如果考慮引進(jìn)數(shù)字“1”，并想到“1=C 33”，則

原式=C 33+C 32+C 42+C 52+…+C 102 -1，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)2：，可以發(fā)現(xiàn)C 33+C 32=C 43，而C 43+C 42=C 53，又C 53+ C 52=C 63，依此法重復(fù)使用組合數(shù)的性質(zhì)2，即可一路登頂，快速化簡解決問題.解題過程如下：

解：原式=C 33+C 32+C 42+C 52+…+C 102 -1=C 113 -1=164

二、數(shù)“1”搭橋，可比大小

在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的教學(xué)中常會(huì)遇到比大小的問題.當(dāng)出現(xiàn)兩個(gè)指數(shù)或者對數(shù)用函數(shù)的單調(diào)性比較大小不能操作時(shí)，引進(jìn)數(shù)字“1”往往能起到承上啟下，出奇制勝的效果。

例2比較log 33.1與log 54.9的大小

分析：由于兩個(gè)對數(shù)的底數(shù)不同，故不能用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，可以考慮用“1”作為中間媒介。

解：因?yàn)閘og 33.1 > log 33=1=log 55> log 54.9，所以log 33.1 > log 54.9

三、數(shù)“1”轉(zhuǎn)化，柳暗花明

例3求值：

此題大多數(shù)學(xué)生利用兩角差的正切公式先求出tan15?的值，然后再代入原式進(jìn)行計(jì)算，而這樣做題的缺點(diǎn)是運(yùn)算量大。但如果能考慮到把分子中的數(shù)字“1”和分母中tan15?前面的系數(shù)“1”都轉(zhuǎn)化成“tan45?”，則可以順利逆用兩角差的正切公式解決問題.解題過程如下：

解：原式==tan（45?-15?）= tan30?=

例4已知tanα=2，求sinα·cosα的值.

此題學(xué)生一般選擇由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式建立方程組，

分別解出sinα和cosα的值再求它們的乘積。但是解題過程中涉及角α的象限沒有給定，所以需要根據(jù)tanα=2>0，分角α在第一或者第三象限進(jìn)行討論求值，整個(gè)解題過程繁瑣且運(yùn)算量大，對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說做錯(cuò)的機(jī)率增加。如果采用引進(jìn)數(shù)字“1”進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法，則能快速解決，且避開了討論象限的煩惱.解題過程如下：

解：sinα·cosα====

=

四、數(shù)“1”鋪路，極限可求

例5求

分析：當(dāng)時(shí)，分子分母的極限均為零（呈現(xiàn)“”型），不能直接用商的極限運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，這時(shí)可以考慮分子有理化，給原來的代數(shù)式乘以，然后再求極限。解題過程如下：

解：=

=

===