應用SAPSO-BP神經網絡的DOA估計方法

姚建麗，胡紅萍，白艷萍，王建中

(中北大學 理學院， 太原 030051)

在20世紀50年代，矢量水聽器的研制就已經出現在美國。它的出現及時地彌補了聲壓水聽器的缺陷，即不能完整地接受聲場的信息[1]。自此，很多研究人員對矢量水聽器進行了研究。其中，矢量水聽器的陣列處理方法和波達方向角是人們研究的重點及熱點[2]。

通常解決DOA估計的方法有兩種。第1種方法是傳統的方法，利用純數學模型，但要進行大量的運算才能得到最終的結果,比較典型的是1975年Schmidt[3]提出的多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法以及Roy等[4]提出的旋轉不變子空間(estimating signal parameters via rotational Invariance techniques,ESPRIT)算法。在此基礎上，這些算法又衍生出一系列新的算法，如在MUSIC算法的基礎上出現了解求根MUSIC算法[5]、波束空間求根 MUSIC算法[6]等。在ESPIT算法的基礎上也出現了一些算法，比較有代表性的包括LS-ESPRIT算法[7]、TLS-ESPRIT算法[8]等。另一種是利用智能學習、“軟建模”的方式進行DOA估計，其中的重要方法是采用神經網絡。張旻等[9]選取協方差矩陣的上三角特征作為網絡的輸入，采用RBF神經網絡來進行DOA估計。孟非等[10]同樣選取協方差矩陣的上三角特征作為輸入，運用PSO-BP算法對DOA進行估計。趙曉萌等[11]針對BP神經網絡的缺陷，運用模擬退火算法對BP神經網絡進行優化，提升其效果。

本文對陣列信號的協方差矩陣依次進行實值化和特征分解，選取信號子空間的基作為網絡的輸入，利用提出的模擬退火粒子群算法優化BP神經網絡，實現DOA估計。

1 陣列信號模型

收集信號數據時通常情況下需要用比較規律的天線陣元來進行，本文以均勻等間距線陣為例進行討論，如圖1所示。

圖1 DOA估計的一般模型(均勻線性)

考慮N個遠場窄帶信號以{θ1,θ2,…,θN}的角度入射到M元陣列，陣列的接受信號為

Z(t)=A(t)S(t)+N(t)

(1)

其中：Z(t)是陣列輸出矢量；S(t)信號源矢量；N(t)是高斯白噪聲矢量，信號與噪聲是相互獨立的；A(θ)是矢量水聽器的方向矢量矩陣。

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]=

[a(θ1)?u1,a(θ2)?u2,…,a(θN)?uN]

(2)

R=E[Z(t)Z(t)H]=

AE[S(t)S(t)H]AH+E[N(t)N(t)H]=

ARsAH+σ2I

(3)

其中：Rs是入射信號的協方差矩陣；σ2是陣列接收信號中噪聲的功率；I是歸一化下噪聲的相關矩陣；(·)H代表復共軛轉置。

根據子空間分解理論，特征分解為

(4)

其中有特征值為λ1≥λ2≥…≥λN≥…≥λ3M，∑s=diag(λ1,λ2,…,λN)，∑n=diag(λN+1,λN+2,…,λ3M)。Us是信號子空間，它是由前大N個特征值對應矢量張成的子空間，有Us=[e1,e2,…,en]，e1,e2,…,en是它的特征向量。UN是噪聲子空間，它是由 3M-N個特征值對應矢量張成的子空間，UN=[eN+1,eN+2,…,e3M],eN+1,eN+2,…,e3M是它的特征向量。

(5)

2 模擬退火粒子群算法優化BP神經網絡

2.1 粒子群算法

粒子群(particle swarm optimization，PSO)算法是Eberhart和Kennedy在1995年根據對鳥類捕食行為的研究提出的一種群優化算法[12]。在PSO算法中，每個粒子被看作是一個潛在解，每個粒子對應適應度函數的適應度值，粒子的速度決定粒子本身的運動方向和距離，粒子的速度根據自身及其他粒子的運動情況可以進行動態調節，從而可以得到最優解。

在每一次迭代過程中，粒子更新自身的速度和位置的核心公式如下:

(6)

(7)

本文中所使用的慣性權重公式為：

(8)

式中：max gen為最大的迭代次數；wstart和wend分別為初始的慣性權重和最大迭代數時的慣性權重。本文中wstrat=0.95，wend=0.4。

2.2 模擬退火算法

SA算法最開始是在1953年由N.Metropolis等提出的。1983年，S.kirkpatrick等將SA思想成功地引入組合優化領域[13]。SA是一種隨機尋優算法，是基于Monte-Carlo迭代方法求解形式進行的，它以物理固體物質的退火過程與一般組合優化問題之間的相似性為出發點。SA算法由于獨特的概率突跳能力，在全局搜索極值中起到了很大的作用，并被應用于很多方面。

用熱力學系統來進行解釋，SA算法的基本思想是把系統的能量看成目標函數，把系統逐步降溫達到最低能量狀態的過程看作優化過程。SA算法設定一個較高的溫度，從這一個溫度開始，隨著溫度的不斷下降，結合概率突跳的特點在解空間范圍內尋找全局最優解。也就是說，當目標函數得到局部最優解時，可以一定的概率跳出局部最優并最終趨于全局最優解。SA 算法在搜索過程中具有一定概率的突跳能力，能有效地避免在搜索過程陷入局部最優解。

2.3 模擬退火粒子群算法

PSO算法所需的參數少，操作較為簡單，具有很強的適用性。在算法初期時收斂速度快，但在后期容易受到隨機振蕩的影響，從而導致收斂速度降低，陷入局部最小值。本文借鑒模擬退火算法中的概率突跳能力，使粒子以一定的概率跳出已搜索的最優區域在更大空間中開展搜索，提出了模擬退火例子群算法，記為SAPSO算法，具體步驟如下：

1) 對粒子的速度和位置進行初始化，對退火速度進行初始化。

2) 種群中每個粒子根據適應度函數計算其適應度值。

3) 比較粒子新位置的適應度值與之前找到的最佳適應度值的大小，如果新位置的適應度值更佳，則更新當前位置為最佳位置。

4) 將所有粒子的歷史最優適應度值與群體經歷過的最佳位置進行比較，如果目前的位置最佳，則用當前位置取代原來位置作為全局最佳位置。

5) 更新粒子的位置和速度。

6) 判斷是否達到終止條件，若是則將權、閾值賦予BP網絡的初始權值w和閾值B；否則，返回步驟3)繼續。

7) 引入模擬退火算法繼續訓練尋優，令wi′ =wi+Δwi，Bi′ =Bi+ΔBi，Δw、ΔB均為很小的均勻分布的隨機擾動。目標函數為

(9)

式中：N是訓練樣本總數；y(k)是期望輸出；d(k)是實際輸出。得到兩個位置的適應度值變化量為ΔE=E(pi′)-E(pi)。

8) 如果ΔE<0，則把w′,B′作為新的權值和閾值，否則以概率為P=exp(-ΔE/Ti)接受w′、B′為新的當前解，并更新參數。

9) 重復步驟7)和8)，直到系統得到平衡狀態。

10) 進行降溫，T逐漸減少，退火機制為

Tk=aT0

(10)

其中：a表示退火速度；T0為初始溫度。

11) 重復步驟7)～9)，直到T=0或者達到預設溫度。

12) 網絡訓練結束，得到的最新權值和閾值為BP神經網絡的權、閾值。

2.4 SAPSO優化BP神經網絡

BP(back propagation)神經網絡由Rumelhart和McCelland為首的科研人員在1986年提出，它是一種多層反饋網絡，是目前應用最為廣泛的神經網絡模型之一[14-19]。BP神經網絡由輸入層、隱層和輸出層3部分網絡結構構成。它的學習規則是梯度下降法，通過信號的正向傳播以及誤差的反向傳播不斷調整網絡的權、閾值，最終實現誤差的平方和最小。

本文采用SAPSO算法得到的最優解作為BP神經網絡的初始權、閾值，選取信號子空間的基作為BP神經網絡的輸入，經過BP神經網絡訓練其權、閾值，建立DOA估計預測模型，流程如圖2所示。

3 仿真實驗

3.1 實驗1： 兩信號源的來波方向估計

實驗的天線陣列為均勻的5元線陣，信號源選用兩個正弦信號，信噪比為10 dB，快拍數為1 000，進行200次Monte-Carlo仿真實驗。

圖2 基于信號子空間的SAPSO-BP算法流程

訓練數據：信號源之間的間隔分別取12和18，當間隔取12時，從-90到65每隔0.5取1個樣本，得到樣本數311個。如果用向量X1、X2分別表示兩個信號的角度，則X1=[-90,-89.5,-89,…,64.5,65]T，X2=[-78,-77.5,-77,…,76.5,77]T。通常采用的是二維矢量水聽器，可輸出聲壓p(t)、振速vx(t)、vy(t)3路信號，本文采用5元線陣，會產生15路信號。同樣地，當間隔取18時，從-90到65每隔0.5取1個樣本，得到樣本數311個，兩個信號的角度為：X1=[-90,-89.5,-89,…,64.5,65]T，X2=[-78,-77.5,-77,…,82.5,83]T，同樣會產生15路信號。訓練數據的總樣本為622。

測試數據：從-90到65每隔1取一個樣本，得到測試樣本156個。

本文分別利用BP神經網絡、PSO-BP網絡、SAPSO-BP網絡對兩信號源的DOA方向進行估計，得到雙信號的DOA估計和估計誤差，分別如圖3～6所示。

圖3 第1個信號的DOA估計輸出曲線

圖4 第2個信號的DOA估計輸出曲線

圖5 第1個信號的DOA估計誤差曲線

圖6 第2個信號的DOA估計誤差曲線

圖3是第1個信號在3種模型下的DOA估計值和實際值，圖4是第2個信號在3種模型下的DOA估計值和實際值。通過圖3、4可以看出：在SAPSO-BP情況下的預測值更接近實際值，而BP神經網絡的預測值與實際值的差距最大，PSO-BP網絡的預測值與實際值情況居中。圖5是第1個信號在3種模型下的DOA估計的誤差曲線，圖6是第2個信號在3種模型下的DOA估計的誤差曲線。從圖5、6可以看出：使用SAPSO-BP網絡估計DOA的誤差最小，而BP神經網絡估計DOA得到的誤差最大。通過DOA輸出曲線和誤差曲線可以看出，本文提出SAPSO-BP方法用于DOA估計有更高的精度。

表1是3種模型下的MAE、MSE、RMSE值。在不同的模型中，左側一列為第1個信源的各個指標，右側為第2個信源的指標。從數據中可以看出：SAPSO-BP的MAE、MSE、RMSE都是最小的，BP的各項指標是最大的，可以得到采用SAPSO-BP對DOA進行估計有一定的優勢。

3.2 實驗2： 不同信噪比下的性能分析

仿真條件與實驗1情況相同，依次估計在信噪比-10、-5、0、5、10、15 dB之間的均方根誤差。表2為3種算法在不同的信噪比下的均方根誤差。均方根誤差的公式為

(11)

表2中選取的值為兩個信號源均方根誤差的均值，從表2可以看出：隨著信噪比的不斷增加，信源的均方根誤差在不斷減小。PSO-BP和SAPSO-BP網絡的均方根誤差要比BP網絡好的多，對比PSO-BP和SAPSO-BP，SAPSO-BP整體來說要比PSO-BP的均方根誤差低。因此，本文提出的SAPSO-BP方法有較好的估計精度。

4 結束語

本文針對PSO算法后期容易受到隨機振蕩的影響而導致收斂速度降低的問題，借鑒模擬退火算法中的概率突跳能力，提出了模擬退火粒子群算法(SAPSO算法)優化BP神經網絡(SAPSO-BP)，實現雙信號的DOA估計和在不同信噪比下的誤差估計。將矢量水聽器陣列的信號處理模型的協方差矩陣進行實值化并特征分解，選取信號子空間的基作為BP神經網絡、PSO-BP網絡和SAPSO-BP網絡的輸入。通過比較，本文提出的SAPSO-PSO網絡優于BP神經網絡和PSO-BP網絡，具有更好的估計精度。但由于BP神經網絡自身的局限性，對于DOA估計仍有一定的不足，需要進一步改善。

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