礦井MIMO-OFDM通信系統信道的建模與仿真

劉賽男，李 暉，張 蕊(沈陽工業大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110870)

與地面無線通信環境不同，礦井巷道是空間受限的非自由傳播空間，電磁波傳播特性非常復雜，容易產生嚴重的多徑衰落[1]。多徑衰落會影響信號的傳輸特性，造成符號間干擾(Inter-Symbol Interference ,ISI)，降低無線通信系統的可靠性[2-4]。多輸入多輸出-正交頻分復用(Multiple Input Multiple Output-Orthogonal Frequency Division Multiplexing，MIMO-OFDM)技術將MIMO技術與OFDM技術相結合，不但可以消除ISI，而且可以在不增加額外帶寬和發射功率的情況下提高無線信道的容量[5]。

為將MIMO-OFDM技術更加實際地應用到礦井無線通信中，必須詳細了解礦井信道的傳輸特性，建立一個合適的礦井通信信道模型。在實際的礦井環境中，巷道內空間有限，受天線擺放位置、天線間距、信號到達方向和角度擴展等因素的影響，MIMO信道之間會產生很強的空間相關性[6-8]。因此，準確地對礦井信道進行建模，對礦井無線通信的發展具有非常重要的意義[9-11]。

目前，對礦井MIMO信道建模的研究已經取得了一系列成果。文獻[12]基于電磁波在礦井巷道內的傳播特性，利用射線追蹤法，通過計算多徑信道中從發射機到接收機之間每一條路徑的傳輸距離、到達角度(Angle of Arrival，AOA)、時間延遲等參數來分析礦井信道特征，建立了關于MIMO信道的射線模型。然而，射線跟蹤模型需要進行大量的數據計算，比較復雜。文獻[13]建立了一種MIMO信道三維(Geometrically Based Single-Bounce，GBSB)模型，推導了該模型的信道容量函數，并對不同天線數目的MIMO通信系統進行了仿真。文獻[14]提出了一種隨機獨立的MIMO信道模型，然后根據礦井巷道的富散射環境對該信道進行修正，建立了兩種空間相關的MIMO信道模型，并對不同信道模型的系統性能進行了仿真比較。以上所提出的MIMO信道模型中，多徑信號衰落均服從Rayleigh分布，并不能準確反映礦井巷道內多徑信號的衰落特性。在不同的礦井巷道環境中，多徑信號衰落服從不同的分布[15]。

根據井下多徑信號衰落特性的可變性，本文提出一種基于Nakagami衰落的MIMO空間相關信道模型。Nakagami分布可以通過改變衰落指數m變成不同的分布，更準確地描述了礦井內的信號衰落特性。基于Nakagami衰落的MIMO空間相關信道模型更適合礦井MIMO-OFDM無線通信系統。

1 MIMO信道建模

根據文獻[16]闡述的MIMO相關信道建模的方法，MIMO空間相關信道可以在MIMO非相關信道的基礎上，通過計算多天線之間的空間相關性得到。

1.1 生成MIMO非相關信道

假設一個具有NT根發射天線和NR根接收天線的MIMO-OFDM通信系統如圖1。

圖1 MIMO-OFDM通信系統模型

在多徑衰落信道下，離散時間MIMO非相關衰落信道的脈沖響應可以表示為[3]

(1)

式中：L為可分辨的信道多徑數；τl為第l條路徑的時延。Al為第l條路徑的復信道增益矩陣，表示為

(2)

1.2 MIMO信道空間相關性的計算

假設該MIMO-OFDM系統收發兩端天線均采用均勻線性陣列(Uniform Linear Array，ULA)，并且以距離d等間隔排列，如圖2。以系統的下行鏈路為例，發射端(基站)有NT根發射天線，發射信號的平均發射角度(Angle of Departure，AOD)為φt0，角度擴展(Azimuth Spread，AS)為Δφt；接收端(移動臺)有NR根接收天線，接收信號的AOA為φr0，AS為Δφr。

圖2 收發端天線排列方式示意圖

對于接收天線陣列，它們接收到來自不同發射天線的每一條路徑的信號，這些接收信號之間的空間相關性取決于路徑傳播的距離差。有兩根全向天線單元m和n，距離為(m-n)d，假定到達波為平面波，AOA為φr，如圖3。則它們之間的傳輸距離差為(m-n)dsin(φr)，由傳輸距離差造成的傳播附加時延為

(3)

式中，c是電磁波傳播速度。

接收信號上的附加相移可表示為

(4)

式中，λ為載波波長。

圖3 接收天線信號模型

接收天線m和n收到的歸一化信號可表示為sm和sn，且滿足sn=smexp(-jφ)=smexp[-jzsin(φr)]。z=2π(m-n)d/λ，表示歸一化的天線距離。

令p(φr)表示AOA的功率方位譜(Power Azimuth Spread，PAS)，接收信號的角度擴展為Δφr，則兩天線單元間的空間相關性可以表示為

sin(φr)]p(φr)dφr。

(5)

式中，(·)*表示復數的共軛。

在接收端，到達信號在2Δφr內一般服從均勻分布，其PAS為

(6)

將式(6)帶入式(5)中，可得出兩接收天線的空間相關系數

(7)

因此，接收天線m、n之間的空間相關系數為：

(8)

接收端天線的空間相關矩陣可表示為：

(9)

同理，發射端天線的空間相關性也可按此方法計算。對于距離為(a-b)d的兩根全向發射天線單元a和b，其空間相關性表示為

sin(φt)]p(φt)dφt。

(10)

式中：φt為AOD；P(φt)為AOD的PAS；發射信號的角度擴展為Δφt。

對于發射端，可認為發射信號在2Δφr內服從Laplacian分布，其PAS為

(11)

將式(11)帶入式(10)中，可得出兩發射天線的空間相關系數

(12)

因此，發射天線a、b之間的空間相關系數

(13)

發射端天線的空間相關矩陣可表示為

(14)

1.3 生成MIMO相關信道

由于收發天線之間的距離遠大于天線單元間距，故可認為接收天線的相關性與發射天線無關，同時發射天線的相關性與接收天線無關[5]。因此MIMO信道的空間相關矩陣R可由發射端天線的空間相關矩陣RT與接收端天線的空間相關矩陣RR做Kronecker積后再進行Cholesky分解，得到[11]：

Γ=RT?RR=RRT。

(15)

式中：(·)T表示矩陣的轉置；?為Kronecker積。

因此，MIMO相關信道響應H可以由MIMO非相關信道響應H0和空間相關矩陣R相乘得出：

vec(H)=R×vec(H0) 。

(16)

式中，vec(·)表示把一個矩陣的所有列依次排列構成一列。

2 礦井MIMO信道建模及容量分析

2.1 生成基于Nakagami分布的礦井MIMO非相關信道

將圖1所示的具有NT根發射天線和NR根接收天線的MIMO-OFDM系統置于礦井巷道中。由公式(1)、(2)可知，礦井中MIMO非相關信道的沖激響應

(17)

式中，hij是第i(1≤i≤NT)條發射天線到第j(1≤j≤NR)條接收天線的信道沖激響應：

(18)

由于礦井環境復雜，電磁波的傳播經過散射、反射和繞射后到達接收端，各個信號的傳播路徑和傳播時間不同，即到達接收機的時間、幅度和相位也各不相同，信號之間的相互作用造成了瞬時接收信號幅度和相位的隨機波動，即多徑衰落[4]。礦井巷道一般可分為長直巷道和彎曲巷道。當收發天線均位于長直巷道中時，多徑信號衰落近似服從Rician分布；當收發天線分別位于主巷道與支巷道(即彎曲巷道)中時，多徑信號衰落近似服從Rayleigh分布。

(19)

Ωl=Ω0exp(-τl/Γ)。

(20)

式中：Ω0為直射路徑的平均功率；Γ是功率衰減因子，與巷道截面、載波頻率以及收發天線之間的距離等條件有關。

多徑信號通常以可分辨多徑簇的形式，經歷不同的時延到達接收端，每一簇的到達時間都服從泊松分布。將多徑時延rl的到達過程用泊松過程來描述。則泊松分布滿足

(21)

式中：M表示泊松過程中固定時間間隔內多徑簇出現的次數；λ為泊松參數，表示泊松過程的速率或強度。根據泊松分布的定義，第(l-1)條與第l條多徑簇到達時間之間的間隔服從指數分布：

p(τl|τl-1)=λexp[-λ(τl-τl-1)]。

(22)

2.2 生成礦井MIMO相關信道

在礦井中，系統收發天線的空間相關性計算與地面上略有不同。在接收端，到達信號在2Δφr內服從Gaussian分布，其PAS可表示為

-Δφr+φr0≤φr≤Δφr+φr0。

(23)

將式(23)代入式(7)中，可得兩接收天線的空間相關系數為

(24)

再由式(8)、(9)可計算出礦井內接收端天線的空間相關系數及空間相關矩陣。

在發射端，發射信號在2Δφt內仍服從Laplacian分布。根據式(10)～(14)，可計算出礦井內發射端天線的空間相關系數及空間相關矩陣。再根據式(15)得到礦井MIMO信道的空間相關矩陣R′。

礦井MIMO相關信道響應可按照式(16)的計算方法得出

vec(H)=R′×vec(HNak) 。

(25)

2.3 礦井MIMO相關信道容量

采用NT×NR維復傳輸矩陣H表示信道矩陣，H=(hij)NT×NR，矩陣元素hij表示第i根發射天線到第j根接收天線的復傳輸系數。

假設發射總功率為P，且信道矩陣H在發射端未知，則在所有發射天線上平均分配發射功率[8]，即每根發射天線功率均為P/N，則每根接收天線的功率為P。在煤礦巷道中，存在各種不同來源的干擾，為研究方便，這里假定礦井通信系統只受加性高斯白噪聲干擾，且每根接收天線的噪聲功率為σ2，則可得接收端信噪比(SNR)ρ=P/σ2。

由奇異值分解理論，信道矩陣H可以被分解為

H=UDVH。

(26)

式中：(·)H表示矩陣的共軛轉置；U和V分別是NT×NR和NR×NR維酉矩陣；D=diag(σ1,σ2,…σN)是NT×NR維非負對角矩陣，其中，N=min(NT，NR)，σk(1≤k≤N)是矩陣H的第k個奇異值。

根據香農容量公式，MIMO信道系統容量可表示為

(27)

因為奇異值σk的平方是矩陣HHH的特征值，所以MIMO信道容量公式可以寫為

(28)

式中：det(·)為矩陣行列式；IN為N×N階單位矩陣；Q是Wishart矩陣，定義為

(29)

煤礦巷道的無線通信信道隨時間變化，即H是隨機矩陣，MIMO信道容量是隨機變量，其均值為

(30)

式中，E(·)為數學期望。

當NT=NR=1時，即單根收發天線通信系統，根據香農容量公式，其平均信道容量可表示為

(31)

式中，h是觀察時刻的信道增益。

3 仿真結果及分析

3.1 信道相關性分析

礦井MIMO信道的空間相關性主要與天線單元間距、信號AOD和AOA以及收發端角度的PAS分布和AS有關。仿真中發射天線和接收天線數目均為2。發射端PAS服從Laplacian分布，接收端PAS服從Gaussian分布。另外，為了仿真和理論分析方便，對仿真環境做如下簡化：假設信號AOD為25°，并且發射機與接收機完全實現同步，這樣AOA可取為25°。發送天線間距與空間相關系數的關系如圖4。

圖4 發送天線間距與空間相關系數的關系圖

當AS=25°時，發送天線間距在λ到2λ之間對應的空間相關系數從1迅速減小為0.18。當空間相關系數低于0.2時，對信道容量影響較小，此時空間相關性對信道的影響可忽略不計。因此，要獲得較大的信道容量，發送天線間距至少大于2λ。而當AS=7.5°時，若使空間相關系數降到0.2以下，發送天線間距至少為6λ。然而礦井巷道空間有限使得天線單元間距不能過大，因此信道的空間相關性不可忽略。此外，在發送天線間距不變的情況下，AS越小，天線的空間相關性越大。接收天線間距與空間相關系數的關系如圖5。

在接收端，當AS=33°時，要使其空間相關系數低于0.2，只要接收天線間距大于2.2λ即可；當AS=4°時，空間相關性隨接收天線間距的增加而緩慢下降。若要使天線間的空間相關性足夠小，即空間相關系數小于0.2，天線間距至少為9λ。

圖5 接收天線間距與空間相關系數的關系圖

3.2 信道容量分析

礦井MIMO相關信道容量與收發端天線數目NR和NT、信道矩陣H、每根接收天線的信噪比ρ以及信道空間相關性有關。要生成信道矩陣H，首先要得到非相關信道響應HN。非相關信道響應HN的仿真參數設置見表1。

表1 仿真參數設置

對于信道空間相關性的計算，本文根據文獻[9]設置的仿真環境選取仿真參數。發射端天線間距為3λ，AOD為60°，AS為12°；接收端天線間距為2.5λ，AOA為60°，AS為7.5°。仿真中對信道容量進行1 000次采樣。在不同收發天線數目的情況下，平均信道容量隨SNR變化的曲線如圖6。

圖6 收發天線數目對平均信道容量的影響

在信噪比不變的情況下，隨著收發兩端天線數目的增加，信道容量隨之增大。然而，只增加發射端(或接收端)一端的天線數量時，信道容量的增加并不明顯，如1×1天線系統與2×1天線系統的信道容量幾乎相同，而1×2天線系統與前二者相比，信道容量約增加了1 bps·Hz-1，這是由于接收端天線采用了接收分集；只有收發兩端同時增加天線數量，信道容量明顯增加，如：2×2和4×4天線系統。當信噪比為20 dB時，4×4天線系統比2×2天線系統的增加了8 bps·Hz-1，比1×1天線系統增加了13 bps·Hz-1。信道的空間相關性對平均信道容量的影響如圖7。

圖7 信道的空間相關性對平均信道容量的影響

在不改變收發端天線數目的情況下，信道空間相關性的存在降低了平均信道容量。當SNR=10 dB時，相關信道的平均信道容量比非相關信道的平均信道容量減少了約0.9 bps·Hz-1；當SNR=20 dB時，減少了約1.4 bps·Hz-1。然而，與單天線系統信道相比，相關信道的平均容量依然有明顯的增加，平均增加了約2.2 bps·Hz-1。因此，即使信道存在空間相關性，增加收發端天線數目依然可以增大平均信道容量。信道多徑數目L分別為2、4、6時的平均信道容量隨SNR變化的關系如圖8。平均信道容量隨著L的增加而增大，但并不明顯。L每增加2，平均信道容量只增加了約0.2 bps·Hz-1。

圖8 不同信道多徑數目對平均信道容量的影響

4 結 語

MIMO信道的空間相關性與收發兩端天線間距及角度擴展有關。天線間距越大，對應信道空間相關性越小；角度擴展越小，對應信道空間相關性越大。MIMO信道的平均信道容量受收發兩端天線數目的影響。隨著天線數目的增加，平均信道容量變大。但是只增加發射端(或接收端)一端的天線數目時，信道容量的增加并不明顯。只有收發兩端同時增加天線數目，信道容量有明顯的增加。MIMO信道空間相關性的存在使其平均信道容量減小。雖然MIMO信道中存在空間相關性，但其平均信道容量仍然比SISO平均信道容量有所增加。在其它條件不變的情況下，MIMO平均信道容量隨信道多徑數目的增加而增大。

MIMO信道的空間相關性越大，MIMO信道容量越小。因此，要增大礦井MIMO-OFDM無線通信系統的信道容量，必須在礦井巷道內合理地部署收發天線系統，使其相關性盡可能地減小。由于空間相關系數低于0.2時對信道容量影響較小，此時空間相關性對信道的影響可忽略不計，因此，發送端天線空間相關系數與接收端天線空間相關系數同時低于0.2時，可忽略MIMO信道的空間相關性。

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