被“邊緣化”的非負(fù)數(shù)教學(xué)初探

吳震

摘 要 概念教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是難點(diǎn)。學(xué)生對概念的理解程度，對概念掌握的深度，鞏固的否熟練，決定學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果。所以，對教材中明確定義的概念，在教師的常規(guī)教學(xué)環(huán)節(jié)和學(xué)生的平時學(xué)習(xí)中，都得到重視。而非負(fù)數(shù)的概念，雖然不同版本的數(shù)學(xué)教材，大都在七年級就已經(jīng)引入了與非負(fù)數(shù)相關(guān)的習(xí)題，但教材本身并沒有給出明確的定義，貌似已經(jīng)都被“邊緣化”了。但在初中不同階段的習(xí)題中，確出現(xiàn)了大量的與非負(fù)數(shù)相關(guān)的題目，在高中甚至大學(xué)教材中對非負(fù)數(shù)也都有涉及和應(yīng)用。因而，本人認(rèn)為“非負(fù)數(shù)”的概念應(yīng)該得到教師和學(xué)生的重視。為更好地開展非負(fù)數(shù)的教學(xué)，本文結(jié)合自己的初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷，從非負(fù)數(shù)的概念和分布；非負(fù)數(shù)的意義和地位；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的教學(xué)體會和建議等四個方面談?wù)勛约旱恼J(rèn)識和建議。

關(guān)鍵詞 非負(fù)數(shù) 邊緣化 性質(zhì) 應(yīng)用 建議

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1非負(fù)數(shù)的概念和分布

若a大于或等于零，則稱a為非負(fù)數(shù)，也可以讀著a不小于零，雖然兩種讀法都是正確的，但如果采用后面一種讀法，對學(xué)生理解和鞏固“非負(fù)數(shù)”的概念將是有益的。對理解3≥2，1≥1等是正確命題將會有所幫助。

從幾何層面來理解，非負(fù)數(shù)是指在數(shù)軸上，原點(diǎn)與原點(diǎn)右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)。這樣可以引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的好處，直觀認(rèn)識非負(fù)數(shù)的客觀存在。

針對教材沒有明確給出非負(fù)數(shù)的定義，教學(xué)中鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，相互交流，敢于歸納，進(jìn)而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)語言，激發(fā)學(xué)生非負(fù)數(shù)概念探索的熱情?！芭d趣是最好的老師”，學(xué)生有了興趣，則會把學(xué)好非負(fù)數(shù)，學(xué)好數(shù)學(xué)的態(tài)度變?yōu)樽杂X，學(xué)好數(shù)學(xué)是自然而然的事了。對于學(xué)生的表述，教師及時規(guī)范和指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)概念的定義以及數(shù)學(xué)語言的簡潔美。

初中數(shù)學(xué)教材中，關(guān)于“非負(fù)數(shù)”的概念，主要有以下幾個方面：

（1）絕對值：正數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。顯然，|a|≥0，表明|a|是非負(fù)數(shù)。

（2）算術(shù)根：正數(shù)的正的方根叫算術(shù)根，零的算術(shù)根是零。即：≥0，說明為負(fù)數(shù)。

（3）偶次方：一個數(shù)的偶次方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，恒有a2n≥0，得到a2n是非負(fù)數(shù)。

2非負(fù)數(shù)的意義和地位

非負(fù)數(shù)是初中代數(shù)的一個重要概念，顧名思義，指的是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是零和正數(shù)的數(shù)。這一概念及其應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，如實(shí)數(shù)大小比較，各種運(yùn)算，方程的解，函數(shù)的定義域與值域，包括初中以后要學(xué)習(xí)的極限與微分等多方面都要用到它。作為一線數(shù)學(xué)老師必須透徹理解這一概念的意義與作用，才能幫助初中學(xué)生打好基礎(chǔ)，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)添力。

概念是一種思維模式的成果，它反應(yīng)了客觀事物的本質(zhì)屬性，概念對事物本質(zhì)屬性的反應(yīng)，就是概念的內(nèi)涵。揭示非負(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵，既是教學(xué)的需要，也是實(shí)踐數(shù)學(xué)聯(lián)系觀點(diǎn)的表現(xiàn)。概念和概念之間一般會有或多或少的聯(lián)系，我們既可以把非負(fù)數(shù)的概念獨(dú)立教學(xué)，也可以貫穿于有理數(shù)、整數(shù)、實(shí)數(shù)等與數(shù)有關(guān)知識的教學(xué)中，也可以結(jié)合與數(shù)有關(guān)的一些概念如絕對值，算術(shù)根，偶次方等來學(xué)習(xí)，而且在學(xué)習(xí)函數(shù)定義域、值域時也是離不開非負(fù)數(shù)的概念的。更有個別題目，只有利用非負(fù)數(shù)的概念才能更好解決，如|x+3|+|y-1|=0，求x、y的值；因此，應(yīng)用非負(fù)數(shù)概念解題也是一個重要的數(shù)學(xué)方法。

現(xiàn)行教材中沒有明確而系統(tǒng)的提法，有被“邊緣化”地嫌疑，導(dǎo)致許多學(xué)生對絕對值、算術(shù)平方根等涉及到“非負(fù)數(shù)”的概念十分模糊，更不能自覺地運(yùn)用“非負(fù)數(shù)”的概念和性質(zhì)來解題，并常常出現(xiàn)邏輯上的錯誤。與“非負(fù)數(shù)”相關(guān)題目不僅在不少章節(jié)及習(xí)題里涉及，而且在中學(xué)各年級的數(shù)學(xué)教材中，均占有一定地位。

3非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用

非負(fù)數(shù)的主要性質(zhì)：

（1）有限個“非負(fù)數(shù)”之和仍然是非負(fù)數(shù)，這一原理在不等式的證明中很有用；

（2）如果有限個“非負(fù)數(shù)”之和等于零，則每一個非負(fù)數(shù)均是零，這一原理在求值和解特殊方程時很有用；

（3）有限個非負(fù)數(shù)之積仍然是非負(fù)數(shù)；

（4）有限個非負(fù)數(shù)之積等于零，則至少有一個非負(fù)數(shù)是零，之一原理在解特殊方程時很有用；

（5）非負(fù)數(shù)之商仍然是非負(fù)數(shù)（除數(shù)不為零）；

（6）非負(fù)數(shù)之商等于零（除數(shù)不為零），則分子必為零。

以上性質(zhì)很多時候被用來解決相關(guān)問題，事半功倍。也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題解決手段的豐富，從而激發(fā)學(xué)生探索、應(yīng)用的熱情，非常利于養(yǎng)成“學(xué)以致用”的好習(xí)慣。

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三個年級的不同階段，學(xué)習(xí)了絕對值，完全平方，二次根式以及求函數(shù)的定義域、值域和最值，都跟非負(fù)數(shù)的概念聯(lián)系非常緊密，而且應(yīng)用非負(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和概念很容易解決。這種“螺旋”式的知識學(xué)習(xí)過程，很好的達(dá)到對非負(fù)數(shù)概念和性質(zhì)的理解、鞏固和掌握。在初中階段，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用集中在對其知識點(diǎn)性質(zhì)的相關(guān)運(yùn)用。此類應(yīng)用在解題時通常需要挖掘題目中暗藏的非負(fù)性條件，利用配方、倍分、拆項(xiàng)、添項(xiàng)等變形技巧，通過列方程或不等式解決問題。

例：用長度為60cm的鋁合金材料，加工成一個長方形窗框，面積何時最大（忽略廢料損失和重疊）？

可以設(shè)長方形的長為cm，則寬為cm，面積S=*=2+30x=（15）2+900，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=15cm時，Smax=900cm2。

這里，顯然經(jīng)過添項(xiàng)、配方，運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得到了（15）2≥0，進(jìn)而-（15）2≤0，得到Smax=900.

4非負(fù)數(shù)的教學(xué)體會和建議

把非負(fù)數(shù)的教學(xué)作為一條線索，有計(jì)劃、有層次地在各個階段，結(jié)合不同知識點(diǎn)穿插講授，可以加深學(xué)生對課本知識的理解，是一個值得研究的教學(xué)方法和手段。下面談?wù)勎业淖龇ê腕w會。

（1）非負(fù)數(shù)的概念何時提出較好？我認(rèn)為，在七年級上學(xué)期“有理數(shù)”一章的教學(xué)中，隨著負(fù)數(shù)的引入和絕對值概念的建立，就可以不失時機(jī)的歸納：任何有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，并聯(lián)系數(shù)軸，明確非負(fù)數(shù)的分布區(qū)域和特點(diǎn)，感受非負(fù)數(shù)的幾何意義。這樣做，有助于學(xué)生理解絕對值概念的本質(zhì)，正確進(jìn)行有關(guān)絕對值的計(jì)算。也展示了數(shù)學(xué)聯(lián)系觀點(diǎn)的教學(xué)。

當(dāng)教學(xué)進(jìn)入“乘方”一節(jié)時，可進(jìn)一步提出：任何平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)。這樣做，有助于學(xué)生掌握平方數(shù)的特點(diǎn)，正確進(jìn)行有關(guān)平方數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步加強(qiáng)聯(lián)系的觀點(diǎn)。

在講到“用字母表示數(shù)”時，應(yīng)該而且必須復(fù)習(xí)已經(jīng)涉及的兩種非負(fù)數(shù)，并提出|a|≥0和a2≥0的形式，使學(xué)生掌握這兩種非負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，為以后應(yīng)用非負(fù)數(shù)概念解決問題做好準(zhǔn)備。

配合七年級上學(xué)期的非負(fù)數(shù)教學(xué)，可以穿插補(bǔ)充如下一些類型的練習(xí)題目供學(xué)生思考和練習(xí)：

①小于6的非負(fù)整數(shù)有（）；

②求不等式3x5<15的非負(fù)整數(shù)解；

③求代數(shù)式3+（x2）2+5的最小值；

④求代數(shù)式 的最大值；

⑤若|x5|+|y+1|=0，求x+y的值；

⑥若（a+2）2+（b+1）2=0.求ba的值。

（2）七年級下學(xué)期的課本沒有新的非負(fù)數(shù)的引入，但八年級前半部分是“二次根式”的教學(xué)，配合這一部分的學(xué)習(xí)，一方面應(yīng)該強(qiáng)調(diào)只有正數(shù)才有平方根，也就是說，對于，被開方數(shù)a一定是非負(fù)數(shù)，即a≥0；但另一方面，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)算術(shù)平方根的非負(fù)性，即≥0，從而揭示算術(shù)平方根的最本質(zhì)的特性。這對于研究二次根式是極其重要的基本概念。而關(guān)于二次根式的兩個重要公式：（）2=a（a≥0）；=|a|，也能更好地記憶、理解、掌握，進(jìn)而自覺運(yùn)用。

而且，初中階段涉及的三種非負(fù)數(shù)也能自然而然地聯(lián)系起來。配合這一階段的教學(xué)，可以安插如下類型的習(xí)題供學(xué)生思考、練習(xí)：

①分別求下列各式中x的取值范圍：

；；

②化簡：。

③求下面代數(shù)式的最小值：

3+； （x2）2+5

④若|x+5|+|y1|=0，求x、y；

若+ （y2）2=0，求yx的值.

配合二元一次方程組和乘法公式（完全平方公式）的教學(xué)，可以安排以下類型的習(xí)題供學(xué)生練習(xí)，起到復(fù)習(xí)和深化的作用。

①若|x+y3|+|xy1|=0，求x和y的值；

②求證：不論m為何值，關(guān)于的方程（m2+1）x22（m1）x1=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。

通過這一階段的教學(xué)，要求學(xué)生對絕對值、平方數(shù)、算術(shù)平方根這樣三種涉及非負(fù)數(shù)概念有明確而清晰的認(rèn)識，這樣，在處理具體問題就有的放失了。

（3）整個初中階段的代數(shù)教學(xué)，內(nèi)容繁多，不可能也不必要都穿插非負(fù)數(shù)的概念，并應(yīng)用非負(fù)數(shù)解題，應(yīng)該而且可能在九年級有目的有意識地安排一些習(xí)題供學(xué)生研究。

例如，在“根式”復(fù)習(xí)中，已知實(shí)數(shù)x、y滿足y=++3，求xy的值。要求xy的值，需先求x、y的值，而由已知條件，聯(lián)系偶次根式被開方數(shù)的非負(fù)性可知：x=，y=3，問題即可得以解決。

如在求函數(shù)最值的復(fù)習(xí)中，求函數(shù)y=+1最小值時，顯然就可以利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到≥0，求出x=3，即=0時，y最小值=0+1=1。

再比如解決圖形問題：四邊形四條邊的長為a，b，c，d，它們滿足等式a4+b4+c4+d4=4abcd。試判斷四邊形的形狀。通過確定四邊形的邊角關(guān)系，進(jìn)而確定四邊形的形狀。由條件有：（a42a2b2+b4）+（c42c2d2+d4）（2a2b24abcd+2c2d2）=0

變形為：（a2b2）2+（c2d2）2+2（ab+cd）2=0

則：（a2b2）2=0且（c2d2）2=0且（ab+cd）2=0

從而得到：a=b=c=d，故四邊形是菱形。

綜合以上幾點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)，從掌握非負(fù)數(shù)概念到應(yīng)用非負(fù)數(shù)概念解題，當(dāng)然應(yīng)該有一個過程，教學(xué)中必須緊扣教材，自然聯(lián)系，合理引申，但要在學(xué)生可接受范圍內(nèi)進(jìn)行。只要注意由淺入深，步步為營，那么，到初中代數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)束時，就完全有可能解決一些綜合型的習(xí)題。這樣做，表面上看似越出了教材的要求，但由于整個非負(fù)數(shù)教學(xué)是分散在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的各大環(huán)節(jié)中進(jìn)行的，學(xué)生一般不會感到多大困難，而這對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無疑奠定了良好的基礎(chǔ)。值得一提的是，教材直到九年級總復(fù)習(xí)題中才出現(xiàn)為數(shù)不多的幾個應(yīng)用非負(fù)數(shù)概念解決的習(xí)題，這是否為時太晚，對需要明確建立非負(fù)數(shù)概念階段的學(xué)生來說，這類習(xí)題早在七年級學(xué)習(xí)階段即可解決；而如果沒有建立明確的非負(fù)數(shù)概念，即使到初中畢業(yè)，也可能會面對此類習(xí)題感到困難。

縱觀初中階段不同階段的非負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)，既教授了學(xué)生非負(fù)數(shù)的概念、應(yīng)用，也加強(qiáng)了學(xué)生對非負(fù)數(shù)與絕對值、平方根、完全平方等概念的聯(lián)系觀點(diǎn)；既豐富了解決數(shù)學(xué)問題的方法和手段，也養(yǎng)成了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必須的意志品質(zhì)和良好地思維模式。數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的不可回避的難點(diǎn)，而非負(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要一環(huán)，不該被“邊緣化”的非負(fù)數(shù)，應(yīng)該引起每個數(shù)學(xué)老師的重視。

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