基于位錯理論的距離正則化水平集圖像分割算法

張帆 張新紅

水平集方法是在活動輪廓模型的基礎上發展而來的一種分割算法.水平集方法將低維曲線嵌入到高一維的空間中并將嵌入位置當作零水平集位置,使用連續曲線來表達目標邊緣,由閉合曲線演化理論得到曲線演化方程.定義一個與曲線參數有關的能量泛函,因此分割過程就轉變為求解能量泛函最小值的過程.在圖像分割應用中,最終零水平集截面上點的集合就是初始輪廓曲線的演化結果,該點集為圖像分割結果.

Caselles算法是最早的水平集模型,水平集函數基于圖像梯度和曲線曲率進行演化[1].該模型在本質上和Snake模型相似,是基于能量泛函的優化問題.所以運用該模型解決圖像分割問題時不可避免地存在對初始輪廓過分依賴的缺點.在對能量泛函求解的過程中,由于局部極值問題,導致初始輪廓的選取直接影響到是否能得到正確的分割結果.CV(Chan-Vese)模型是基于區域分割的水平集模型[2].該模型利用能量泛函最小值進行曲線演化得到分割結果.CV模型的缺點是需要不斷初始化,這個過程大大增加了計算量,降低了演化效率.Bernard算法利用二維三階B樣條基函數把水平集表示成離散的形式[3],能夠有效抑制噪聲.Shi算法采用雙鏈表的方式來實現曲線的演化,無需重新初始化、無需求解偏微分方程,是一種快速水平集算法[4].Li等提出了一種新的基于區域的水平集圖像分割方法,能夠在圖像強度分布不均勻的情況實現分割[5].Min等針對復雜自然圖像的分割,提出一種新穎的基于灰度和紋理信息的模型,主要融合了灰度信息和紋理信息兩方面的特征.相比傳統的水平集圖像分割方法,能夠更好地捕獲圖像灰度信息[6].Wang等提出了一種新的復雜圖像分割水平集方法,其中局部統計分析和全局相似性度量都納入到能量泛函的構建中[7].Zhao等應用二次區域生長法進行初步分割,構造新的邊緣指示函數和水平集能量函數,有效地解決了肝臟分割問題[8].周則明等采用水平集方法進行圖像預處理,提出了一種基于能量最小化的星載SAR(Synthetic aperture radar)圖像建筑物分割方法[9].張迎春等提出了一種基于粗糙集和新能量公式的水平集圖像分割方法[10].

在圖像分割中,如果目標邊界比較模糊且灰度分布不均勻,使用傳統的水平集方法進行圖像分割難以準確地分割出目標輪廓.本文在水平集方法中引入位錯理論,把水平集函數的演化視為位錯線的運動,提出了一種基于位錯理論的水平集方法.

1 距離正則化水平集方法

假設由y=f(x)表示平面曲線,也可寫為隱函數形式,y?f(x)=0,表示了x與y的對應關系.

給定一個初始封閉曲線C,該曲線可以不斷沿其法線方向朝外或朝內以一定的速度進行演化,引入時間變量t后,則形成了隨時間變化的曲線族C(t).可以把曲線族看作是更高維空間曲面函數φ的零水平集{φ=0,t},φ(x,y,t)就是隨時間變化的水平集函數,而水平集就是曲面上具有相同函數值的點的集合,零水平集就是曲面上函數值為0的所有點的集合.

給定水平集函數φ(C,t),則φ(C(t),t)=0為t時刻演化曲線C(t)的零水平集,根據復合函數求導對φ(C(t),t)=0進行求導可得(求關于時間的偏導數):

其中,?為漢密爾頓算子,?φ為φ的梯度.

由平面內曲線性質可知,初始輪廓曲線的單位法向矢量為

曲線演化方程可簡寫為

其中,F為法向速度函數.

將曲線演化理論中的式(3)與式(4)代入式(2)中,可得到水平集的基本演化方程:

水平集方法的實質就是求解一個隨時間變化的偏微分方程,該演化方程屬于Hamilton-Jacobi方程,可以通過分離變量法求解,即按照對時間項4t和空間項(將圖像按像素進行網格化)分開處理的方法對此類方程進行數值求解.

為了保證數值計算的精度,水平集函數應具備如下兩個性質:

1)水平集函數必須具有一定的光滑性.從水平集演化方程中可以得知,演化時需要計算水平集函數的梯度|?φ|,而梯度對數值變化是非常敏感的.且大部分方法中的速度函數F都會包含有常數項和曲率項,曲率項在數值求解時需要計算水平集函數的二階導數,而常數項也要計算一階導數.因此水平集函數的計算精度由水平集函數的光滑性直接決定.

2)水平集函數應保持為符號距離函數(Signed distance function,SDF).當函數φ滿足|?φ|=1時,φ即為符號距離函數.要求水平集函數保持為符號距離函數的原因有兩方面,一方面因為曲線的隱式表達與符號距離函數是等價的,另一方面從數值計算的角度來說,由于符號距離函數的梯度|?φ|=1,因此可以保證離散網格的大小為1,使得數值計算具有較高的精度.

所以,運用水平集方法進行圖像分割時需要把零水平集函數初始化為符號距離函數[11].當水平集函數在二維空間中演化時,設C(t=0)為初始輪廓曲線,則零時刻的水平集函數為

其中,sgn(·)是符號函數,sgn(x,y,C(t=0))的取值為+1或?1.當點(x,y)在C(t=0)的外部時,sgn(x,y,C(t=0))=+1,當點(x,y)在C(t=0)時,sgn(x,y,C(t=0))=?1.dist(x,y,C(t=0))為點(x,y)到初始曲線C(t=0)的最短距離.所以,計算SDF函數分為兩步:1)判斷點在初始輪廓曲線的內部還是外部;2)計算點到曲線的最短距離.

在基于水平集方法處理圖像分割問題時,初始輪廓會隨演化而發生震蕩,導致其逐漸失去光滑性及符號距離函數的特征,演化過程中的誤差積累將直接使演化結果嚴重偏離目標輪廓.為了解決這一問題,需要定時為零水平集重新初始化.標準的重新初始化方法是通過解以下的Hamilton-Jacobi方程實現:

零水平集重新初始化雖然保證了演化的準確性,但計算量非常大,犧牲了效率.為了解決這一問題,Li等提出了距離正則化水平集模型(Distance regularized level set,DRLSE)[12?13].在該模型中引入了能量懲罰項使水平集函數自我約束為符號距離函數,避免了需要不斷初始化零水平集函數的問題,并構造一個距離正則化項,與外部能量相結合驅動初始輪廓到達目標輪廓位置.該模型能量泛函可定義為

其中,Rp(φ)為水平集函數φ的正則化項,μ>0為常數,Eext(φ)為外部能量泛函,取決于具體應用.在圖像處理應用中,Eext(φ)為圖像區域或曲線的能量.

正則化項Rp(φ)定義為

其中,p為正則化項Rp(φ)的勢能(能量密度)函數,定義為

外部能量泛函Eext(φ)定義為

其中,λ和α為常數,δε(x)為狄拉克(Dirac)函數,Hε(x)為海氏(Heaviside)函數.δε(x)和Hε(x)分別定義為

正則化水平集模型的目標是最小化能量函數(式(8)).合理地選擇正則項Rp(φ),也就是合理選擇勢能函數p,可以使水平集函數φ(x,y)保持符號距離函數性質,即|?φ|=1.

令|?φ|=s,p=(s?1)2/2,則正則化項Rp(φ)可表示為

其中,div是散度.

在變分法中,最小化一個能量函數E(φ)的方法是找到梯度下降流方程的穩定解:

式中,負號表示水平集函數φ(C,t)的方向與能量函數E(φ)的偏導數相反,是能量函數E(φ)的最陡下降方向(最陡梯度下降流).

對能量函數式(8)求偏導:

根據式(15)與式(17),

式(19)就是距離正則水平集演化方程.

如果取p=(s?1)2/2,則dp(s)=1?(1/s),距離正則水平集演化方程可以表示為

結合式(11),距離正則化水平集演化方程可以表示為

式中,等號右邊第一項μdiv(dp(|?φ|)?φ)具有距離正則化的作用,避免了一般水平集方法在演化過程中需要不斷對零水平集函數進行初始化的問題.后兩項為外部能量項,其中第二項λδε(φ)div(g?φ/|?φ|)為零水平集曲線的能量項,當它最小時就說明初始輪廓已演化至目標輪廓位置.第三項αgδε(φ)可以確定演化過程中曲線的方向.α∈R,當α<0,曲線將向外演化,當α>0時,曲線將向內演化.

在水平集演化方程后兩項中都用到了邊緣檢測函數g.在圖像分割應用中,邊緣檢測函數主要由圖像梯度控制,使曲線在圖像梯度大的地方緩慢演化,而在梯度小的地方快速演化.g的表達式為

其中,Gσ是方差為σ的高斯函數,I表示圖像,?表示卷積運算.

2 位錯理論

位錯(Dislocation)是原子的一種特殊組態.在材料科學中,位錯是指原子間局部不規則排序(晶體學缺陷).由于外力或內部應力的影響,使晶體內部質點排列變形、原子行列間相互滑移,不再符合理想晶格的有序排列而形成線狀的缺陷,稱為位錯.從幾何角度分析,可把位錯視為材料內部已發生滑移部分和未發生滑移部分的分界線,即線缺陷.從數學理論方面分析,位錯就是材料拓撲結構上的缺陷[14?15].

位錯的理想形式主要有兩種,分別是刃位錯(Edge dislocations)和螺位錯(Screw dislocations)[16?17].刃位錯是指晶體在大于屈服值的切應力τ的作用下發生滑移.已滑移部分和未滑移部分的交線叫位錯線.位錯線猶如砍入晶體中一把刀的刀刃,所以這種位錯稱為刃位錯(或棱位錯).螺位錯是指一個晶體的某一部分相對于其余部分發生滑移,原子平面沿著一根軸線盤旋上升,每繞軸線一周,原子面上升一個晶面間距,在中央軸線處形成一個螺位錯.

位錯在滑移面上受到垂直于位錯線的作用力,當此力足以克服運動阻力時,位錯便可以沿著作用力方向移動,這種沿著滑移面移動的位錯運動稱為滑移.通常用柏格斯矢量(Burgers vector,簡稱柏氏矢量)表示晶體滑移的方向和大小.柏氏矢量是一個反映由位錯引起的點陣畸變大小的物理量.該矢量的模表示畸變的程度,稱為位錯的強度.位錯運動導致晶體滑移時,滑移量大小即柏氏矢量b,滑移方向即為柏氏矢量的方向.

位錯在切應力作用下發生運動.在刃位錯中,由于位錯移動的方向總是與位錯線垂直,故可設想有一個作用在位錯線上且垂直于位錯線的力造成了位錯的移動.如果把位錯這個原子組態抽象為一個實體,本文把作用在這個實體上并使之運動的力稱為位錯組態力,以Fd表示.

假設作用在滑移面上的應力為τ,當使長度為l的位錯線移動距離ds之后,晶體正好位移了位錯的一個柏氏矢量b,設此面上切應力使晶體滑移b所做的功為W1:

位錯組態力所做的功為2:

根據虛功原理:

因此在外力場中單位長度位錯的受力大小為

由此可見,對任意位錯線,在滑移面上沿柏氏矢量方向施加一個均勻應力τ,則單位長度位錯線上要受到一個作用力Fd,其大小為τb,方向是沿該點的法線方向.位錯線在這個作用力Fd的驅使下移動.

在主動輪廓模型中,活動曲線在速度函數F的驅動下沿著曲線法線方向演化,導致曲線發生變形.在水平集方法中,零水平集函數在圖像梯度和邊緣檢測函數的驅使下向物體邊界靠攏.它們與位錯理論中位錯線的移動有相似之處,在刃位錯中,位錯線在位錯組態力Fd的驅使下移動.

3 基于位錯理論的水平集方法

距離正則化水平集方法大大減小了對初始輪廓選取的依賴性,選擇簡單的初始輪廓形式便可得到較好的分割結果.引入了懲罰項的距離正則化水平集方法,避免了需要不斷初始化零水平集函數而帶來的計算量增加的問題.

在距離正則化水平集方法的圖像分割中,耦合了圖像信息的邊緣檢測函數g,在驅動初始輪廓向目標輪廓演化時起到了重要作用.邊緣檢測函數g主要依賴于圖像的梯度信息,對于圖像梯度信息不明顯的圖像,即包含弱邊緣的圖像,采用距離正則化水平集方法無法得到令人滿意的分割結果.

為了解決水平集方法對梯度信息不明顯的弱邊緣圖像的分割問題,本文引入材料物理學中的位錯理論,將水平集算法中曲線的移動看作刃位錯中位錯線的滑移過程,并運用位錯機制中的彈性性質、能量關系、位錯動力學等理論,推導出驅使初始輪廓曲線移動的位錯組態力.

首先定義一個位錯能量函數,根據水平集方法的思想,將二維圖像平面放在一個三維空間中,然后在這個三維空間中定義曲線的能量[18?19].將三維空間中的曲線γ(s)參數化,與γ(s)相關的能量為

約束條件為

其中,?為哈密爾頓算子,是在三維空間中作用在曲線上的應力,?× w是w在三維空間中的旋度,δ(γ)是曲線的δ函數,τ是δ(γ)上的切向量.

應力w可如下求解:

其中,dl是曲線γ上的線元,r=(x?x(s),y=y(s),z?z(s))是點(x,y,z)與點(x(s),y(s),z(s))之間的向量,這兩點間的距離為

位錯線可以看作是零水平集φ表示的曲線,曲線的單位切向量τ為

曲線γ的δ函數可以表示為

曲線的線元dl可以表示為

把式(33)代入到式(29)可得:

位錯線在位錯組態力的驅使下沿著曲線法線方向移動.設I是圖像灰度函數,圖像中目標邊界的方向可以定義為

虛擬的位錯組態力的大小可以表示為

位錯線或零水平集曲線φ在位錯組態力的驅使下沿著曲線法線方向移動.當位錯線接近目標邊界時,圖像梯度較大,位錯組態力Fd也較大,遠離目標邊界時,圖像梯度較小,位錯組態力Fd也較小.本文方法的目標是使曲線在接近目標邊界時緩慢演化,而在遠離目標邊界時快速演化,即當活動曲線靠近目標邊界時,演化速度逐漸減小直到停止.

所以本文建立如下的速度停止函數(邊界檢測函數):

本文用速度停止函數gd取代邊緣檢測函數g,則引入位錯理論后新的距離正則化水平集函數演化方程如式(38)所示.

在距離正則化水平集方法中,水平集函數的演化主要取決于圖像梯度.在圖像分割中,如果目標邊界比較模糊且灰度分布不均勻,使用傳統的水平集方法難以在弱邊緣處準確地分割出目標輪廓.另外,圖像梯度對噪聲非常敏感,因此經常會造成邊界泄漏.本文提出的基于位錯理論的水平集方法中,水平集函數的演化主要取決于位錯組態力和速度停止函數gd.位錯組態力包含了更多的圖像信息.其中,?(Gσ?I)表示了圖像的梯度信息.r表示了活動曲線之間的距離信息.

首先,位錯組態力包含了圖像梯度信息,使得本文方法可以像傳統水平集方法一樣具有正確分辨邊緣的能力.另外,位錯組態力中比傳統水平集方法多了一個參數r,反映了位錯組態力的作用范圍.靠近位錯線(活動曲線)的區域位錯組態力較大,反之較小.在圖像弱邊緣處或灰度不均勻區域,位錯組態力由于包含了更多的圖像信息,與傳統水平集方法相比可以更精確地控制水平集函數的演進.

其次,位錯組態力的表達式是一個積分公式,所以實際上是表示了單位長度曲線上的平均受力情況.這種平均力可以在曲線受力不均的情況下抑制局部受力突變對整體的影響,并對曲線的形狀進行約束,使得曲線在較窄的圖像弱邊緣處不至于發生局部邊界泄漏,或者在由于噪聲引起的局部圖像梯度異常的情況下避免曲線停止演進.

4 實驗結果

為了驗證基于位錯理論的水平集方法的有效性,本文進行了圖像分割實驗,并與其他經典水平集算法的分割結果進行了比較.實驗環境如下:CPU型號為AMD Phenom II X4 B97,CPU頻率3.2GHz,8GB內存.操作系統為Windows 7,編程環境為Matlab 2014a.部分實驗測試圖像來自加州大學伯克利分校的公開圖像數據庫.

本文提出的基于位錯理論的水平集方法中,水平集函數演化方程(式(38))含有三個控制參數,分別是μ、λ和α.其中參數μ用于控制水平集函數的正則化,本文實驗中設置為0.005.參數λ用于控制水平集曲線的演化,本文實驗中設置為1.非零參數α用于控制水平集曲線的收縮與膨脹.本文實驗中,如果初始輪廓在目標對象內部,設置α=?1;否則,α=1.本文實驗中,高斯核函數標準差σ=9,時間步長?t=0.2.初始輪廓曲線按式(38)進行演化.在距離正則化項(內部能量項)的約束下整個迭代過程無需重新初始化.當曲線靠近目標邊界時,速度停止函數(式(37))快速減小,曲線演進緩慢直到停止.當達到最大預設迭代次數或曲線已收斂時,迭代停止.判斷曲線收斂的條件是前后間隔10次迭代中曲線內部面積之差小于一個閾值,本文中閾值取為0.02.

圖1是本文算法的圖像分割結果.第一列是原始圖像.第二列、第三列和第四列分別是迭代20次、50次和100次后圖像的分割結果.實驗結果表明,本文算法可以較好地跟蹤出目標輪廓.

本文算法也適用于含有多個目標主體的圖像分割.圖2是本文算法的多目標主體圖像分割結果.實驗結果表明,即使在目標主體較多、目標主體之間距離較遠的情況下本文算法也可以取得較好的分割效果.

圖1 圖像分割結果Fig.1 Image segmentation results

圖2 多目標主體圖像分割結果Fig.2 Multi-object image segmentation results

圖3是在加入噪聲的情況下本文算法的圖像分割結果.第一列是無噪聲圖像,第二列的圖像中加入了方差為4的高斯白噪聲,第三列的圖像中加入了椒鹽噪聲,第四列的圖像中加入了脈沖噪聲,第五列的圖像中同時加入了高斯白噪聲和椒鹽噪聲.實驗結果表明,在加入上述各種噪聲的情況下,本文算法仍可以較好地跟蹤出目標輪廓.

圖3 加噪聲圖像分割結果Fig.3 Noise image segmentation results

本文對在不同參數情況下的迭代次數和運算時間進行了比較.實驗圖像為模擬樹葉圖像,默認參數為λ=1、μ=0.005、α= ?1、σ=9、?t=0.2.每次實驗中修改其中一個參數,而其他參數保持默認值.實驗結果如圖4和圖5所示.

圖4 不同參數情況下的迭代次數Fig.4 The number of iterations with different parameters

在其他參數不變的情況下,λ增大時,迭代次數減少.水平集曲線或位錯線能量較大,圖像分割比較精確.但是λ較大時,會導致迭代次數急劇增加,迭代無法收斂.在其他參數不變的情況下,μ增大時,迭代次數和運算時間出現波動.當μ較大時,水平集函數無法正確正則化,迭代緩慢.當高斯核函數標準差σ較小時,容易發生邊界泄漏.當σ增大時,迭代變慢,運算時間比較長.

圖5 不同參數情況下的運算時間Fig.5 Operation time with different parameters

本文也把采用本文算法的圖像分割實驗結果與其他經典水平集算法的分割結果進行了比較.這些經典水平集算法包括Caselles算法[1]、CV(Chan-Vese)模型[2]、Bernard 算法[3]、Shi算法[4]、Min 算法[6]以及距離正則化水平集方法(DRLSE)[11].

當圖像的邊緣有比較好的對比度,邊緣梯度信息明顯時,經典水平集算法都可以有較好的分割效果.但是在實際應用中,經常要處理邊緣梯度信息不明顯的圖像分割問題,即弱邊緣圖像分割.下面通過實驗來驗證本文算法對弱邊緣的圖像分割效果.圖6和表1是對具有弱邊緣的模擬圖像分割實驗的對比結果.圖6中,(a)初始輪廓;(b)Caselles算法[1],收斂閾值設置為2,推動曲線運動的氣球力設置為1;(c)CV算法[2],收斂閾值設置為2,控制水平集函數正則化的曲率項設置為0.2;(d)Bernard算法[3],收斂閾值設置為2,控制水平集曲線演化平滑程度的尺度因子設置為1;(e)Shi算法[4],曲線演化迭代次數設置為300,正則化迭代次數設置為30,高斯濾波器方差設置為4;(f)DRLSE算法[11],λ=1、μ=0.003、α= ?3、高斯核函數方差σ設置為7;(g)Min算法[6];(h)本文算法,λ=1、μ=0.005、α=?1、σ=9、?t=0.2.圖7所示實驗對比實驗中用到的各個經典水平集算法的參數設置均與此相同.實驗結果表明,只有本文算法正確地跟蹤出了主體的邊界,其他算法均在弱邊緣處停止演化或發生了邊界泄漏.

圖6 弱邊緣圖像分割對比實驗結果Fig.6The comparison of experimental results of weak boundary image segmentation

表1 圖6所示實驗中各算法的迭代次數和運算時間的對比Table 1The comparison of the iteration number and the operation time for the experiments shown in Fig.6

經典的水平集算法中,除了少數算法(如CV算法)采用曲線能量泛函最小化進行曲線演化以外,多數算法都依賴于圖像梯度信息進行曲線演化,如Caselles算法和DRLSE算法等.在具有弱邊緣的圖像中,弱邊緣處的圖像梯度較小,采用基于圖像梯度信息的水平集算法進行圖像分割難以取得良好效果.這些算法在弱邊緣處會出現不能完整地跟蹤出邊界以及邊界泄漏現象.本文提出的基于位錯理論的距離正則化水平集方法,位錯線或零水平集曲線φ在位錯組態力Fd和速度停止函數gd的驅使下沿著曲線法線方向移動.因為位錯組態力Fd和速度停止函數gd綜合了圖像梯度、曲線能量、距離等信息,因此本文算法對弱邊緣圖像的分割更加有效.從圖6中可以看出,采用本文方法對模擬的弱邊緣圖像進行分割時,沒有在弱邊緣處出現邊界泄漏現象.

為了能夠定量地對本文算法的圖像分割性能進行評價并與其他經典算法進行更有效的比較,本文參考了Jaccard similarity(JS)等圖像分割性能指標[20?22],提出如下兩個圖像分割性能評價指標.

1)面積重疊誤差

其中,A和M分別代表水平集算法分割區域和手動分割區域的像素數量.

這個面積重疊誤差指標取值為零時表示完美分割,取值為100%時表示算法分割區域與真實目標區域完全不重疊.

2)邊界平均距離

設C是算法分割出的目標邊界,對于邊界C上的每一點Pi(i=1,2,···,N)計算Pi與真實目標邊界S的距離dist(Pi,S),然后求平均值.

基于上述兩個圖像分割性能評價指標,本文算法與其他經典算法的對比實驗結果如圖7和表2所示.

圖7所示實驗中各算法的迭代次數、運算時間、面積重疊誤差以及邊界平均距離如表2所示.實驗結果表明,DRLSE算法、Wang算法和本文算法完整地跟蹤出了血管輪廓.本文算法在面積重疊誤差、邊界平均距離性能指標上與DRLSE算法和Wang算法基本相當,在迭代次數、運算時間上優于DRLSE算法.

圖7 圖像分割對比實驗結果Fig.7 The comparison of experimental results of image segmentation

表2 圖7所示實驗中各算法的迭代次數、運算時間、面積重疊誤差以及邊界平均距離的對比Table 2 The comparison of the iteration number,the operation time,area overlap error,and average boundary distance for the experiments shown in Fig.7

5 結論

1)本文把材料科學中的位錯理論引入到水平集方法中,水平集函數演化被看作刃位錯中位錯線的滑移過程,構建了新的速度停止函數(邊界檢測函數)和基于位錯理論的距離正則化水平集演化方程.

2)運用位錯機制中的彈性性質、能量關系、位錯動力學等理論,推導出驅使初始輪廓曲線移動的位錯組態力.

3)采用基于距離正則化的算法,使水平集函數自我約束為符號距離函數,不需要不斷重新初始化零水平集函數,提高了運算效率.

4)本文算法中零水平集曲線在位錯組態力的驅使下移動,與多數水平集算法依賴圖像梯度信息進行曲線演化不同,本文算法中的位錯組態力不僅包括圖像梯度信息,也包括曲線能量信息、位錯組態力的作用范圍等信息,因此采用本文算法可以有效地避免在局部圖像梯度異常的情況下發生曲線停止演進的現象,或者在弱邊緣處由于圖像梯度較小發生局部邊界泄漏的現象.

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