考慮相關性的串聯系統動態機會成組維修優化

徐孫慶, 耿俊豹, 魏曙寰, 劉凌剛

(1. 海軍工程大學艦船動力工程軍隊重點試驗室, 湖北 武漢 430033;2. 海軍工程大學動力工程學院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

多部件系統存在3種相關關系:經濟相關性、結構相關性、隨機相關性[1]。這些相關性的存在使得單部件的維修策略并不總是適合多部件的維修決策,因此機會維修被引進應用在多部件維修領域。文獻[2]首先提出機會維修模型,文獻[3]進一步分析了相關性對維修工作的影響,提出從時間相關性、故障相關性、結構相關性和功能相關性4個方面描述多部件系統的維修相關性。在多部件系統維修優化領域,成組維修已經被成功引進、發展、應用在一些機械系統,通過利用短期信息(部件故障或性能退化)改變原有維修計劃,建立動態模型實現維修優化[4-6]。文獻[7]提出動態分組的模型,使維修能夠實時更新,但是根據文獻[8]研究,該模型的成立受限于維修時間可忽略且在規定時間內任一部件至多進行一次預防性維修的假設。為了解決上述問題,文獻[9-10]對該模型進行了拓展,但維修資源的限制還未進行考慮。由于動態規劃的方法不能很好解決分組過程的非確定性多項式(non-deterministic polynomial,NP)難問題,粒子群算法[11]、遺傳算法[12]、蟻群算法[13]等被引進用于解決組合難題。在實際應用方面,文獻[14-15]將滾動計劃的動態機會維修策略應用于風電機組維修,但只考慮部件間的經濟相關性。文獻[16-23]對動態成組維修進行了系列研究,包括在可用度、維修資源、維修時間等方面的限制加以考慮的情況下,對不同的相關性模型進行維修優化研究,并且討論了復雜系統結構的一些情況,推進了相關理論的研究。文獻[24]對多部件的相關性模型加以研究,并用蒙特卡羅方法進行仿真,但樣本數較少,且在單獨考慮這種相關性時,現有的機會維修策略可能會導致次優的解決方案。文獻[25]針對部件的3種相關性利用Gamma過程進行仿真建模。文獻[26]以更新周期內平均維修費用最小為目標建模,并借助Matlab用枚舉法加以實現。

系統部件大多處于一種動態變化的環境之中,現有文獻研究基于無限時域的靜態模型的較多,即使部分文獻考慮了動態特性,但并沒有考慮到部件間的多種相關性。因此,本文提出一種新的基于動態成組的經濟、結構相關性維修模型,建立基于相關性的自適應的機會維修策略,將長期計劃與短期計劃相結合,從而能夠依據最新的任務要求或系統狀態更新維修方案,得到高效的維修計劃。

1 相關理論

考慮由n個部件組成的串聯系統,任一部件故障都將導致系統故障。由于多數故障的發生具有隨機性,為了防止系統故障出現,制定維修策略時必須考慮對隨機故障的處理,因此預防性維修與故障維修都是必要的維修手段。本文假設所有維修資源是充足的。

1.1 單部件維修費用

(1)

1.2 經濟相關性

1.3 結構相關性

(2)

2 機會成組維修模型

相對于各部件單獨維修費用之和,部件間存在的相關性使得成組維修的費用會少。為了尋找最優分組結構,得到最低系統維修費用,文獻[4]引進了滾動計劃,便于決策者能在長期計劃的基礎上依據新信息制定短期計劃。本文進一步考慮維修時間的影響,提出將機會成組維修分為4個階段進行實施,如圖1所示。

圖1 機會成組維修方法Fig.1 Grouping based opportunistic maintenance approach

首先根據各部件參數進行部件級優化,確定有限時域內各部件的維修間隔期及維修費用率;其次在此基礎上制定試行維修計劃,此時不考慮部件的相關關系;隨后針對部件間的經濟相關性和結構相關性構造模型,進行系統級維修優化,確定有限時域內最佳成組維修時間;最后根據新信息及滾動計劃,實時更新維修計劃,從而得到最佳維修方案。

2.1 階段1:部件級維修優化

本階段的目標是找到每個組件的最佳預防性維修周期。假設一個由n部件構成的串聯系統,任一部件故障都將導致系統停機,各部件間的故障互相獨立。以威布爾分布為例來描述組件的故障行為。部件i的故障率λi(t)為

(3)

式中,βi為形狀參數;ηi為尺度參數。

記Ci(x)為部件i的維修費用。當部件i在時刻x發生故障,對其進行最小維修,則Ci(x)為

(4)

式中,λi(t)為部件i的故障率。由式(3)、式(4)得

(5)

如果部件i在x時刻進行預防性維修,則其在[0,x+dt]時段內的預期費用為

(6)

根據更新理論,部件i的平均維修費用如式(7)所示。

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 階段2:試行維修計劃

記ti1為部件i第一次維修時間為

(11)

(12)

2.3 階段3:系統級維修優化

本階段的目標是為了尋找系統機會維修的最佳方案,從而使得總的維修費用最小。每次維修都是將一個組合Gk里的部件同時替換。每個組Gk同時維修節省的成本可劃分為3個部分。

(1) 懲罰成本

(13)

式(13)也可以表示為

(14)

記PGk(t)為成組維修的總懲罰費用,優化維修的時間記為tGk,此時PGk(t)取得最小值

(15)

(2) 拆裝節省成本,記為S(Gk)

(16)

(3) 停機損失節省成本,記為D(Gk)

當多個部件的預防性維修工作同時進行,可減少系統的停機時間,從而使得總停機損失降低。

D(Gk)=Cu·g(Gk)

(17)

Gk的節省費用為

(18)

如果QGk>0,則稱Gk為成本有效組。維修決策組合G1,G2,…,Gs是G的互斥子集,其中

(19)

2.4 階段4:維修計劃的動態更新

由于部件間存在經濟相關性和結構相關性,可用本文方法利用相關性進行分組維修優化。對維修活動進行分組優化,意味著部件維修時間的提前或延后。同一分組里的所有部件同時進行維修活動,分組里部件的維修時間從階段2單部件優化得到的維修時間提前或推遲至階段3得到的成組維修時間,使系統的維修成本最小。

大多數成組維修模型是建立在無限時域的基礎上,這些模型屬于靜態分析,無法根據新信息及時調整維修計劃。在有限時域內,采用滾動計劃的方法,階段3得到的維修計劃,可依據環境條件變化和計劃執行情況,動態地調整維修計劃和更新維修周期。此外,在一個計劃周期結束時,新的維修計劃與維修周期需要確定,因此重新返回階段2確定各部件在新的維修計劃周期內的維修時間。

3 遺傳算法

求解n部件系統分組優化屬于NP難問題,采用精確的方法去尋求n部件的所有分組結果會耗費大量時間,特別是當部件數量n較大時[27-28]。根據文獻[29]研究,當部件數量為16時,應用動態規劃方法求解,計算機計算運行時間將超過50天,而采用遺傳算法僅需要86.07 s,由此可見遺傳算法在處理多部件優化組合計算時的優越性,因此本文引進遺傳算法進行優化分組求解。

遺傳算法作為一種通用的搜索策略,經常被用于求解優化組合問題[30]。遺傳算法的主要步驟包括編碼、產生初始群體、個體適應度評估、選擇策略、交叉策略、變異策略。本文編碼采用數組表示,初始群體為100,交叉概率為0.80,變異概率為0.02,當迭代次數達到規定值4 000次時終止,以節省費用最高的組合作為最優解。

4 案例分析

以一個10部件的系統為例,其停機損失為1 000元/天,假設故障率服從兩參數的威布爾分布,各部件參數如表1所示。

表1 系統各部件參數

4.1 部件級維修優化

當不考慮相關性時,根據式(9)、式(10)對系統各部件進行維修優化,可得各部件的最佳維修間隔時間、最小費用率及各部件維修時間,如表2所示。

表2 單獨維修優化值

圖2 各部件維修時間Fig.2 Maintenance time of each component

4.2 考慮相關性的系統級維修優化

考慮動態成組維修策略,運用遺傳算法進行求解,所得優化分組情況如表3所示。

表3 只考慮經濟相關性的優化分組

分組后維修時間如圖3所示。

圖3 分組維修時間Fig.3 Grouping maintenance time

圖3描繪了不考慮結構相關性時分組維修的維修時間。由表3可得,僅考慮經濟相關性時,與單獨對部件維修優化相比,系統節省維修費用為2 636.74元,節省費用占原維修費用的2.95%。

由于結構相關性的存在,可使部件同時維修時所需的維修時間減少,從而降低維修費用,因此需同時考慮結構相關性與經濟相關性時。表4、表5分別顯示了不同結構相關性系數下節省維修費用、維修時間的數值。

表4 不同相關性系數下節省時間

綜合表4、表5數據不難發現,部件間的結構相關性對維修時間的節省有較大影響,當且僅當部件間的結構相關性系數為50%時,應用本文方法可節省維修時間2.45天,與不考慮結構相關性相比,維修時間降低12.89%;從費用方面考慮,減少維修費用5 086.74元,與不考慮相關性情況相比,費用降低5.68%;與僅考慮經濟相關性的情況相比,也即結構相關性系數為0時的情況相比,維修費用較僅考慮經濟相關性的情況又降低了2 450元。

表5 不同相關性系數下節省費用

為了更加直觀的展示相關關系,圖4、圖5描繪了系統部件的結構相關性系數與維修節省時間、維修節省費用的關系。

圖4 不同結構相關性系數下節省時間Fig.4 Saving time with different dependence parameter

圖5 不同結構相關性系數下節省費用Fig.5 Saving cost with different dependence parameter

結構相關性系數為0可代表僅考慮經濟相關性的情況,從圖4、圖5中不難發現,隨著部件間的結構相關性系數增加,節省的維修時間與維修費用也隨之增加。同時考慮經濟相關性和結構相關性的情況下,當結構相關性系數為0.9時,節省費用為7 046.74元,與只考慮經濟相關性節省的2 636.74元相比,又減少了4 410元,而且維修時間減少了4.41天。若只考慮經濟相關性可能得到次優的維修計劃,因此將結構相關性也加入到組合策略中,才能得到更科學的維修策略。

5 結 論

本文同時考慮部件的經濟相關性和結構相關性,提出多部件系統的機會成組維修決策優化模型;考慮長期計劃不能實時更新維修計劃所帶來的缺陷,采用滾動計劃方法,提出自適應的動態維修模型,將長期計劃與短期計劃相結合,能夠根據新信息實時地更新維修計劃。此外,針對成組維修過程中部件數量n較大造成的NP難問題,應用遺傳算法對各部件進行動態分組,根據得到的最優化維修結構分組進行維修不僅降低系統的維修費用、減少了維修所用時間,還能夠很好地解決NP難問題。案例表明,同時考慮經濟、結構相關性,將得到更優的維修策略,因此本文提出的方法值得在工程中應用。

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