考慮相關(guān)性的串聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)機(jī)會(huì)成組維修優(yōu)化

徐孫慶, 耿俊豹, 魏曙寰, 劉凌剛

(1. 海軍工程大學(xué)艦船動(dòng)力工程軍隊(duì)重點(diǎn)試驗(yàn)室, 湖北 武漢 430033;2. 海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

多部件系統(tǒng)存在3種相關(guān)關(guān)系:經(jīng)濟(jì)相關(guān)性、結(jié)構(gòu)相關(guān)性、隨機(jī)相關(guān)性[1]。這些相關(guān)性的存在使得單部件的維修策略并不總是適合多部件的維修決策,因此機(jī)會(huì)維修被引進(jìn)應(yīng)用在多部件維修領(lǐng)域。文獻(xiàn)[2]首先提出機(jī)會(huì)維修模型,文獻(xiàn)[3]進(jìn)一步分析了相關(guān)性對(duì)維修工作的影響,提出從時(shí)間相關(guān)性、故障相關(guān)性、結(jié)構(gòu)相關(guān)性和功能相關(guān)性4個(gè)方面描述多部件系統(tǒng)的維修相關(guān)性。在多部件系統(tǒng)維修優(yōu)化領(lǐng)域,成組維修已經(jīng)被成功引進(jìn)、發(fā)展、應(yīng)用在一些機(jī)械系統(tǒng),通過利用短期信息(部件故障或性能退化)改變?cè)芯S修計(jì)劃,建立動(dòng)態(tài)模型實(shí)現(xiàn)維修優(yōu)化[4-6]。文獻(xiàn)[7]提出動(dòng)態(tài)分組的模型,使維修能夠?qū)崟r(shí)更新,但是根據(jù)文獻(xiàn)[8]研究,該模型的成立受限于維修時(shí)間可忽略且在規(guī)定時(shí)間內(nèi)任一部件至多進(jìn)行一次預(yù)防性維修的假設(shè)。為了解決上述問題,文獻(xiàn)[9-10]對(duì)該模型進(jìn)行了拓展,但維修資源的限制還未進(jìn)行考慮。由于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法不能很好解決分組過程的非確定性多項(xiàng)式(non-deterministic polynomial,NP)難問題,粒子群算法[11]、遺傳算法[12]、蟻群算法[13]等被引進(jìn)用于解決組合難題。在實(shí)際應(yīng)用方面,文獻(xiàn)[14-15]將滾動(dòng)計(jì)劃的動(dòng)態(tài)機(jī)會(huì)維修策略應(yīng)用于風(fēng)電機(jī)組維修,但只考慮部件間的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性。文獻(xiàn)[16-23]對(duì)動(dòng)態(tài)成組維修進(jìn)行了系列研究,包括在可用度、維修資源、維修時(shí)間等方面的限制加以考慮的情況下,對(duì)不同的相關(guān)性模型進(jìn)行維修優(yōu)化研究,并且討論了復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一些情況,推進(jìn)了相關(guān)理論的研究。文獻(xiàn)[24]對(duì)多部件的相關(guān)性模型加以研究,并用蒙特卡羅方法進(jìn)行仿真,但樣本數(shù)較少,且在單獨(dú)考慮這種相關(guān)性時(shí),現(xiàn)有的機(jī)會(huì)維修策略可能會(huì)導(dǎo)致次優(yōu)的解決方案。文獻(xiàn)[25]針對(duì)部件的3種相關(guān)性利用Gamma過程進(jìn)行仿真建模。文獻(xiàn)[26]以更新周期內(nèi)平均維修費(fèi)用最小為目標(biāo)建模,并借助Matlab用枚舉法加以實(shí)現(xiàn)。

系統(tǒng)部件大多處于一種動(dòng)態(tài)變化的環(huán)境之中,現(xiàn)有文獻(xiàn)研究基于無(wú)限時(shí)域的靜態(tài)模型的較多,即使部分文獻(xiàn)考慮了動(dòng)態(tài)特性,但并沒有考慮到部件間的多種相關(guān)性。因此,本文提出一種新的基于動(dòng)態(tài)成組的經(jīng)濟(jì)、結(jié)構(gòu)相關(guān)性維修模型,建立基于相關(guān)性的自適應(yīng)的機(jī)會(huì)維修策略,將長(zhǎng)期計(jì)劃與短期計(jì)劃相結(jié)合,從而能夠依據(jù)最新的任務(wù)要求或系統(tǒng)狀態(tài)更新維修方案,得到高效的維修計(jì)劃。

1 相關(guān)理論

考慮由n個(gè)部件組成的串聯(lián)系統(tǒng),任一部件故障都將導(dǎo)致系統(tǒng)故障。由于多數(shù)故障的發(fā)生具有隨機(jī)性,為了防止系統(tǒng)故障出現(xiàn),制定維修策略時(shí)必須考慮對(duì)隨機(jī)故障的處理,因此預(yù)防性維修與故障維修都是必要的維修手段。本文假設(shè)所有維修資源是充足的。

1.1 單部件維修費(fèi)用

(1)

1.2 經(jīng)濟(jì)相關(guān)性

1.3 結(jié)構(gòu)相關(guān)性

(2)

2 機(jī)會(huì)成組維修模型

相對(duì)于各部件單獨(dú)維修費(fèi)用之和,部件間存在的相關(guān)性使得成組維修的費(fèi)用會(huì)少。為了尋找最優(yōu)分組結(jié)構(gòu),得到最低系統(tǒng)維修費(fèi)用,文獻(xiàn)[4]引進(jìn)了滾動(dòng)計(jì)劃,便于決策者能在長(zhǎng)期計(jì)劃的基礎(chǔ)上依據(jù)新信息制定短期計(jì)劃。本文進(jìn)一步考慮維修時(shí)間的影響,提出將機(jī)會(huì)成組維修分為4個(gè)階段進(jìn)行實(shí)施,如圖1所示。

圖1 機(jī)會(huì)成組維修方法Fig.1 Grouping based opportunistic maintenance approach

首先根據(jù)各部件參數(shù)進(jìn)行部件級(jí)優(yōu)化,確定有限時(shí)域內(nèi)各部件的維修間隔期及維修費(fèi)用率;其次在此基礎(chǔ)上制定試行維修計(jì)劃,此時(shí)不考慮部件的相關(guān)關(guān)系;隨后針對(duì)部件間的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性構(gòu)造模型,進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)維修優(yōu)化,確定有限時(shí)域內(nèi)最佳成組維修時(shí)間;最后根據(jù)新信息及滾動(dòng)計(jì)劃,實(shí)時(shí)更新維修計(jì)劃,從而得到最佳維修方案。

2.1 階段1:部件級(jí)維修優(yōu)化

本階段的目標(biāo)是找到每個(gè)組件的最佳預(yù)防性維修周期。假設(shè)一個(gè)由n部件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng),任一部件故障都將導(dǎo)致系統(tǒng)停機(jī),各部件間的故障互相獨(dú)立。以威布爾分布為例來(lái)描述組件的故障行為。部件i的故障率λi(t)為

(3)

式中,βi為形狀參數(shù);ηi為尺度參數(shù)。

記Ci(x)為部件i的維修費(fèi)用。當(dāng)部件i在時(shí)刻x發(fā)生故障,對(duì)其進(jìn)行最小維修,則Ci(x)為

(4)

式中,λi(t)為部件i的故障率。由式(3)、式(4)得

(5)

如果部件i在x時(shí)刻進(jìn)行預(yù)防性維修,則其在[0,x+dt]時(shí)段內(nèi)的預(yù)期費(fèi)用為

(6)

根據(jù)更新理論,部件i的平均維修費(fèi)用如式(7)所示。

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 階段2:試行維修計(jì)劃

記ti1為部件i第一次維修時(shí)間為

(11)

(12)

2.3 階段3:系統(tǒng)級(jí)維修優(yōu)化

本階段的目標(biāo)是為了尋找系統(tǒng)機(jī)會(huì)維修的最佳方案,從而使得總的維修費(fèi)用最小。每次維修都是將一個(gè)組合Gk里的部件同時(shí)替換。每個(gè)組Gk同時(shí)維修節(jié)省的成本可劃分為3個(gè)部分。

(1) 懲罰成本

(13)

式(13)也可以表示為

(14)

記PGk(t)為成組維修的總懲罰費(fèi)用,優(yōu)化維修的時(shí)間記為tGk,此時(shí)PGk(t)取得最小值

(15)

(2) 拆裝節(jié)省成本,記為S(Gk)

(16)

(3) 停機(jī)損失節(jié)省成本,記為D(Gk)

當(dāng)多個(gè)部件的預(yù)防性維修工作同時(shí)進(jìn)行,可減少系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間,從而使得總停機(jī)損失降低。

D(Gk)=Cu·g(Gk)

(17)

Gk的節(jié)省費(fèi)用為

(18)

如果QGk>0,則稱Gk為成本有效組。維修決策組合G1,G2,…,Gs是G的互斥子集,其中

(19)

2.4 階段4:維修計(jì)劃的動(dòng)態(tài)更新

由于部件間存在經(jīng)濟(jì)相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性,可用本文方法利用相關(guān)性進(jìn)行分組維修優(yōu)化。對(duì)維修活動(dòng)進(jìn)行分組優(yōu)化,意味著部件維修時(shí)間的提前或延后。同一分組里的所有部件同時(shí)進(jìn)行維修活動(dòng),分組里部件的維修時(shí)間從階段2單部件優(yōu)化得到的維修時(shí)間提前或推遲至階段3得到的成組維修時(shí)間,使系統(tǒng)的維修成本最小。

大多數(shù)成組維修模型是建立在無(wú)限時(shí)域的基礎(chǔ)上,這些模型屬于靜態(tài)分析,無(wú)法根據(jù)新信息及時(shí)調(diào)整維修計(jì)劃。在有限時(shí)域內(nèi),采用滾動(dòng)計(jì)劃的方法,階段3得到的維修計(jì)劃,可依據(jù)環(huán)境條件變化和計(jì)劃執(zhí)行情況,動(dòng)態(tài)地調(diào)整維修計(jì)劃和更新維修周期。此外,在一個(gè)計(jì)劃周期結(jié)束時(shí),新的維修計(jì)劃與維修周期需要確定,因此重新返回階段2確定各部件在新的維修計(jì)劃周期內(nèi)的維修時(shí)間。

3 遺傳算法

求解n部件系統(tǒng)分組優(yōu)化屬于NP難問題,采用精確的方法去尋求n部件的所有分組結(jié)果會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間,特別是當(dāng)部件數(shù)量n較大時(shí)[27-28]。根據(jù)文獻(xiàn)[29]研究,當(dāng)部件數(shù)量為16時(shí),應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解,計(jì)算機(jī)計(jì)算運(yùn)行時(shí)間將超過50天,而采用遺傳算法僅需要86.07 s,由此可見遺傳算法在處理多部件優(yōu)化組合計(jì)算時(shí)的優(yōu)越性,因此本文引進(jìn)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化分組求解。

遺傳算法作為一種通用的搜索策略,經(jīng)常被用于求解優(yōu)化組合問題[30]。遺傳算法的主要步驟包括編碼、產(chǎn)生初始群體、個(gè)體適應(yīng)度評(píng)估、選擇策略、交叉策略、變異策略。本文編碼采用數(shù)組表示,初始群體為100,交叉概率為0.80,變異概率為0.02,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到規(guī)定值4 000次時(shí)終止,以節(jié)省費(fèi)用最高的組合作為最優(yōu)解。

4 案例分析

以一個(gè)10部件的系統(tǒng)為例,其停機(jī)損失為1 000元/天,假設(shè)故障率服從兩參數(shù)的威布爾分布,各部件參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)各部件參數(shù)

4.1 部件級(jí)維修優(yōu)化

當(dāng)不考慮相關(guān)性時(shí),根據(jù)式(9)、式(10)對(duì)系統(tǒng)各部件進(jìn)行維修優(yōu)化,可得各部件的最佳維修間隔時(shí)間、最小費(fèi)用率及各部件維修時(shí)間,如表2所示。

表2 單獨(dú)維修優(yōu)化值

圖2 各部件維修時(shí)間Fig.2 Maintenance time of each component

4.2 考慮相關(guān)性的系統(tǒng)級(jí)維修優(yōu)化

考慮動(dòng)態(tài)成組維修策略,運(yùn)用遺傳算法進(jìn)行求解,所得優(yōu)化分組情況如表3所示。

表3 只考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的優(yōu)化分組

分組后維修時(shí)間如圖3所示。

圖3 分組維修時(shí)間Fig.3 Grouping maintenance time

圖3描繪了不考慮結(jié)構(gòu)相關(guān)性時(shí)分組維修的維修時(shí)間。由表3可得,僅考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性時(shí),與單獨(dú)對(duì)部件維修優(yōu)化相比,系統(tǒng)節(jié)省維修費(fèi)用為2 636.74元,節(jié)省費(fèi)用占原維修費(fèi)用的2.95%。

由于結(jié)構(gòu)相關(guān)性的存在,可使部件同時(shí)維修時(shí)所需的維修時(shí)間減少,從而降低維修費(fèi)用,因此需同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)相關(guān)性與經(jīng)濟(jì)相關(guān)性時(shí)。表4、表5分別顯示了不同結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)下節(jié)省維修費(fèi)用、維修時(shí)間的數(shù)值。

表4 不同相關(guān)性系數(shù)下節(jié)省時(shí)間

綜合表4、表5數(shù)據(jù)不難發(fā)現(xiàn),部件間的結(jié)構(gòu)相關(guān)性對(duì)維修時(shí)間的節(jié)省有較大影響,當(dāng)且僅當(dāng)部件間的結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)為50%時(shí),應(yīng)用本文方法可節(jié)省維修時(shí)間2.45天,與不考慮結(jié)構(gòu)相關(guān)性相比,維修時(shí)間降低12.89%;從費(fèi)用方面考慮,減少維修費(fèi)用5 086.74元,與不考慮相關(guān)性情況相比,費(fèi)用降低5.68%;與僅考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的情況相比,也即結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)為0時(shí)的情況相比,維修費(fèi)用較僅考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的情況又降低了2 450元。

表5 不同相關(guān)性系數(shù)下節(jié)省費(fèi)用

為了更加直觀的展示相關(guān)關(guān)系,圖4、圖5描繪了系統(tǒng)部件的結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)與維修節(jié)省時(shí)間、維修節(jié)省費(fèi)用的關(guān)系。

圖4 不同結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)下節(jié)省時(shí)間Fig.4 Saving time with different dependence parameter

圖5 不同結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)下節(jié)省費(fèi)用Fig.5 Saving cost with different dependence parameter

結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)為0可代表僅考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的情況,從圖4、圖5中不難發(fā)現(xiàn),隨著部件間的結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)增加,節(jié)省的維修時(shí)間與維修費(fèi)用也隨之增加。同時(shí)考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性的情況下,當(dāng)結(jié)構(gòu)相關(guān)性系數(shù)為0.9時(shí),節(jié)省費(fèi)用為7 046.74元,與只考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性節(jié)省的2 636.74元相比,又減少了4 410元,而且維修時(shí)間減少了4.41天。若只考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性可能得到次優(yōu)的維修計(jì)劃,因此將結(jié)構(gòu)相關(guān)性也加入到組合策略中,才能得到更科學(xué)的維修策略。

5 結(jié) 論

本文同時(shí)考慮部件的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性,提出多部件系統(tǒng)的機(jī)會(huì)成組維修決策優(yōu)化模型;考慮長(zhǎng)期計(jì)劃不能實(shí)時(shí)更新維修計(jì)劃所帶來(lái)的缺陷,采用滾動(dòng)計(jì)劃方法,提出自適應(yīng)的動(dòng)態(tài)維修模型,將長(zhǎng)期計(jì)劃與短期計(jì)劃相結(jié)合,能夠根據(jù)新信息實(shí)時(shí)地更新維修計(jì)劃。此外,針對(duì)成組維修過程中部件數(shù)量n較大造成的NP難問題,應(yīng)用遺傳算法對(duì)各部件進(jìn)行動(dòng)態(tài)分組,根據(jù)得到的最優(yōu)化維修結(jié)構(gòu)分組進(jìn)行維修不僅降低系統(tǒng)的維修費(fèi)用、減少了維修所用時(shí)間,還能夠很好地解決NP難問題。案例表明,同時(shí)考慮經(jīng)濟(jì)、結(jié)構(gòu)相關(guān)性,將得到更優(yōu)的維修策略,因此本文提出的方法值得在工程中應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1] THOMAS L. A survey of maintenance and replacement models for maintainability and reliability of multi-item system[J]. Reliability Engineering, 1986, 16(4): 297- 309.

[2] BERG M. Optimal replacement policies for two-unit machines with increasing running costs[J]. Stochastic Processes and Their Applications, 1976, 4(1): 89-106.

[3] 楊元, 黎放, 侯重遠(yuǎn), 等. 基于相關(guān)性的多部件系統(tǒng)機(jī)會(huì)成組維修優(yōu)化[J]. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng), 2012, 18(4): 827-832.

YANG Y, LI F, HOU C Y, et al. Opportunistic group maintenance optimization of multi-unit system under dependence[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems,2012,18(4):827-832.

[4] BOUVARD K, ARTUS S, BéRENGUER C, et al. Condition-based dynamic maintenance operations planning and grouping. Application to commercial heavy vehicles[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2011, 96(6): 601-610.

[5] SHAFIEE M, FINKELSTEIN M. A proactive group maintenance policy for continuously monitored deteriorating systems: application to offshore wind turbines[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part O Journal of Risk and Reliability, 2015, 229(5): 373-384.

[6] HORENBEEK A V, PINTELON L. A dynamic predictive maintenance policy for complex multi-component systems[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013, 120(12): 39-50.

[7] WILDEMAN R E, DEKKER R, SMIT A. A dynamic policy for grouping maintenance activities[J]. Econometric Institute Research Papers, 1997, 99(3): 530-551.

[8] NGUYEN H S H, VAN P D, IUNG B, et al. A dynamic grouping maintenance strategy for geographically dispersed production systems[C]∥Proc.of the International Conference on Mathematical Methods in Reliability, 2017.

[9] WANG Y, PHAM H. A multi-objective optimization of imperfect preventive maintenance policy for dependent competing risk systems with hidden failure[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2011, 60(4):770-781.

[10] NGUYEN K A, DO P, GRALL A. Condition-based maintenance for multi-component systems using importance measure and predictive information[J]. International Journal of Systems Science Operations and Logistics, 2014, 4(1): 228-245.

[11] 於世為,魏一鳴,諸克軍.基于粒子群-遺傳的混合優(yōu)化算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,8(8):265-274.

YU S W, WEI Y M, ZHU K J. Hybrid optimization algorithms based on particle swarm optimization and genetic algorithm[J]. Systems Engineering and Electronics, 2011, 8(8): 265-274.

[12] HEISSCZEDIK D. Introduction to genetic algorithms[J]. Energija, 2014, 3(1):63-65.

[13] 李積英, 黨建武. 基于量子空間的蟻群算法及應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2013, 35(10): 2229-2232.

LI J Y, DANG J W. Ant colony algorithm and application based on quantum space[J]. Systems Engineering and Electronics, 2013, 35(10): 2229-2232.

[14] 蘇春,陳武.基于滾動(dòng)窗口方法的風(fēng)力機(jī)動(dòng)態(tài)機(jī)會(huì)維修優(yōu)化[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2014,50(14):62-68.

SU C, CHEN W. Dynamic opportunistic maintenance optimization for wind turbine system based on rolling horizon approach[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(14): 62-68.

[15] 蘇春,陳武.考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)維修優(yōu)化[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,46(5): 1007-1012.

SU C, CHEN W. Optimization of condition based maintenance for wind turbine system considering economic dependence among components[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2016, 46(5): 1007-1012.

[16] DO P, VU H C, BARROS A, et al. Maintenance grouping for multi-component systems with availability constraints and limited maintenance teams[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2015, 142: 56-67.

[17] DO P, VU H C, BARROS A, et al. Opportunistic maintenance based on multi-dependent components of manufacturing system[J].CIRP Annals-Manufacturing Technology,2016, 65(1): 401-404.

[18] VAN P D, HAI C V, BARROS A, et al. Grouping maintenance strategy with availability constraint under limited repairmen[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2012, 45(20): 486-491.

[19] HAI C V, VAN P D, BARROS A, et al. Dynamic grouping maintenance for complex structure systems with non-negligible replacement time[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2012, 45(31): 79-84.

[20] VAN P D, BARROS A, BéRENGUER C, et al. Dynamic grouping maintenance with time limited opportunities[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013, 120(120): 51-59.

[21] HAI C V, DO P, BARROS A. A stationary grouping maintenance strategy using mean residual life and the birnbaum importance measure for complex structures[J]. IEEE Trans.on Reliability, 2016, 65(1): 217-234.

[22] HAI C V, DO P, BARROS A, et al. Maintenance planning and dynamic grouping for multi-component systems with positive and negative economic dependencies[J]. IMA Journal of Management Mathematics, 2015(2):145-170.

[23] HAI C V, VAN P D, BARROS A. A comparison of different maintenance grouping strategies for multi-component systems with complex structure[C]∥Proc.of the European Safety and Reliability Conference, 2015.

[24] GENG J, AZARIAN M, PECHT M. Opportunistic maintenance for multi-component systems considering structural dependence and economic dependence[J]. Systems Engineering and Electronics, 2015, 16(3): 493-501.

[25] 葛小凱, 胡劍波, 張博鋒. 考慮依賴性的多部件系統(tǒng)狀態(tài)維修優(yōu)化仿真建模[J]. 航空學(xué)報(bào), 2013, 34(8): 1854- 1863.

GE X K, HU J B, ZHANG B F. Simulation modeling for condition based maintenance optimism of multi-component systems with dependencies[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2013,34(8): 1854-1863.

[26] 宋之杰, 常建美, 侯貴賓, 等. 多部件串聯(lián)系統(tǒng)機(jī)會(huì)維修策略優(yōu)化[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2015, 1(4): 259-262.

SONG Z J, CHANG J M, HOU G B, et al. Optimized opportunistic maintenance strategy for multi-components series system[J]. Machinery Design and Manufacture, 2015, 1(4): 259-262.

[27] LI P, SHRIVASTAVA A, MOORE J, et al. B-bit minwise hashing for large-scale learning[J]. Computer Science, 2011, 54(8): 101-109.

[28] MOGHADDAM K S, USHER J S. Sensitivity analysis and comparison of algorithms in preventive maintenance and replacement scheduling optimization models[J]. Computers and Industrial Engineering, 2011, 61(1): 64-75.

[29] DO P, VU H C, BARROS A, et al. Maintenance grouping strategy for multi-component systems with dynamic contexts[J]. Reliability Engineering and System Safety,2014,132:233-249.

[30] MEMBER S A S, NON-MEMBER B K, MEMBER M G. Optimal design of two-stage logistics network considered inventory by boltzmann random key-based GA[J]. IEEJ Trans.on Electrical and Electronic Engineering, 2010, 5(2):195-202.