地面堆載條件下交叉穿越隧道的豎向位移計算方法研究

高繼錦， 黃 彪， 張 威， 陳錦劍

(上海交通大學土木工程系， 上海 200240)

0 引言

城市地下空間分布有大量的地鐵隧道、地下快速路以及各類市政管道，其建設呈現網絡化趨勢。不同地下結構空間交叉現象增多，形成各類隧道穿越交叉節點[1-3]。隧道-土層-隧道之間的相互作用導致交叉節點處受力變形復雜，不僅在隧道穿越施工過程中需要特別注意交叉節點處的受力變形[4]，而且在長期使用中交叉節點處的受力變形也會對隧道安全產生影響[5-8]。隧道的運營安全容易受到鄰近巖土工程活動的影響，特別是鄰近荷載引起的地層內應力變化和土體位移，會引起隧道的附加變形和應力，嚴重時會導致隧道發生水滲漏、不均勻沉降和開裂破壞等結構病害[9]。為了滿足隧道的正常使用維護要求，開展鄰近荷載對隧道的影響分析非常重要。

針對隧道受鄰近荷載的影響，現理論研究方法主要有2類： 一類是采用數值方法，結合實際情況開展不同工況下的模擬分析，研究隧道響應規律并評估其安全性，采用此方法可以開展細致的分析，但計算較為復雜，不便于快速評估和應用推廣； 另一類是對實際情況進行簡化，將荷載-土體響應和土體-隧道響應分別進行計算[10-12]，地下結構與土體的相互作用采用Winkler地基梁來模擬。目前大部分學者主要關注鄰近荷載特別是基坑開挖對單獨隧道的影響[13-15]，關于相鄰隧道穿越交叉節點在鄰近荷載作用下受力變形的研究鮮見報道。本文采用解析方法分析地面堆載對交叉隧道的沉降變形影響規律，通過與模型試驗和數值模擬結果的對比驗證本文方法的合理性，并研究土層參數和隧道間距對交叉隧道縱向變形的影響。

1 解析控制方程與求解

交叉穿越隧道受地面堆載作用時的受力變形情況復雜，交叉隧道的相互影響分析必須考慮以下條件： 隧道結構在復雜荷載作用下的彎曲變形分析、隧道與相應位置土體的位移協調、土體位移綜合考慮上部荷載和交叉隧道反力共同作用的影響。因此，在求解隧道結構彎曲變形的反力和位移時，需要同時考慮上部荷載、隧道本身對土體位移的抗力作用、鄰近交叉隧道反力作用的影響。本文分別采用Boussinesq解和Mindlin解考慮相關荷載作用，提出解析分析方法。

1.1 簡化分析模型與假設

交叉穿越隧道的位移響應分析模型如圖1所示。圖中鄰近荷載為任意荷載形式的地面荷載，大小為p0(x,y,0)，作用面積為Ω。當p0(x,y,z)中z≠0時即為土體內部荷載，荷載方向可以是向下的加載或向上的卸載。地面堆載下方為交叉隧道，上部隧道的截面直徑為D1，壁厚為d1，彈性模量為E1； 下部隧道的截面直徑為D2，壁厚為d2，彈性模量為E2。上部和下部隧道的中心埋深分別為h1和h2。

假設原有外界條件已趨于穩定，即交叉隧道在地面堆載施加前處于平衡狀態，僅考慮新增地面堆載下交叉隧道的附加豎向位移。分析基于以下假設： 1)土體為成層分布的均質土體； 2)不考慮隧道與土體分離的情況。將隧道的變形問題分為3方面： 1)不考慮隧道的存在，分析隧道所在位置的土體在上部荷載作用下產生的豎向位移； 2)分析隧道本身剛度反作用引起的土體位移，隧道反力通過對隧道變形進行求解； 3)考慮交叉隧道與土體相互作用的變形協調分析。

圖1 鄰近荷載對交叉隧道影響示意圖

1.2 隧道結構受力變形分析

隧道埋設于土體中，其橫向尺寸遠遠小于其縱向尺寸，隧道的力學特性與土體中地基深的力學特性類似，在縱向將隧道結構等效為均勻材質的連續梁模型，如圖2所示。隧道結構受到土體位移引起的接觸壓力(pi)作用而產生的彎曲變形，可通過連續梁變形分析得到。將連續梁離散為n個單元，其彎曲變形控制方程為：

[K]·S=F。

(1)

圖2 等效連續地基梁模型

1.3 無隧道結構的地層響應

利用彈性半空間表面荷載的Boussinesq解作為基本解，可以分析地面堆載作用下任意位置土體的應力大小和位移。對于鄰近荷載作用平面不規則的情況，很難直接得到土體內部的豎向應力分布及位移，因此可通過采用半理論半數值方法進行分析。任意形狀的鄰近荷載面積可被細分為很小面積的矩形均布荷載，通過數值積分的方式得到土體內部任意點處的應力與位移。由于計算主要用到豎向位移，可以得到如下公式：

(2)

(3)

(4)

式中：σz(x,y,z)和ωsz(x,y,z)分別為荷載土體中(x，y，z)點處產生的豎向應力和位移；Ω為任意形狀的鄰近荷載作用區域；p0為鄰近荷載大?。沪螢榻涷炐拚禂担瑓⒖嫉鼗两到涷炏禂颠x?。籈zi為影響深度范圍內第i層土的壓縮模量；ωszi為第i層土體豎向位移。

1.4 隧道反力引起的土體變形

當土體因地面堆載作用發生變形與位移時，土體內部的隧道結構因剛度不同而會對土體產生反作用力。將隧道結構沿軸線方向離散為若干單元，任意單元i對土體的接觸反力近似假設為隧道中心深度處的矩形均布力，其合力大小為pi。pi在土體中任意點(x，y，z)引起的豎向應力可通過引入Mindlin基本解得到：

式中：pi為隧道單元i對土體的荷載；zi=z-h；h為隧道中心深度；ν為土體泊松比；Ri為計算點到隧道單元的距離；R為計算點與坐標原點的距離。

考慮2條隧道共同作用影響，對其作用力進行疊加，可得到計算點總的豎向應力

(6)

式中：n、m分別為2條隧道單元數；σz1,i和σz2,j分別為根據式(5)計算得到的2條隧道單元i和j引起的豎向應力。

進而可以計算得到土體豎向位移

(7)

式中：hi為影響深度范圍內各分層土體厚度；σzti和Esi分別為hi厚度范圍內根據式(5)計算得到的土體豎向應力和彈性模量。

1.5 隧道-土體-隧道位移協調分析

最后考慮交叉隧道之間的相互作用，兩者應保持變形協調，假定隧道與土體完全接觸，即隧道與周圍土體變形一致，且它們變形是連續的。

根據式(4)，隧道軸線位置處土體在不存在隧道情況下由上部荷載引起的豎向位移向量為：

(8)

(9)

根據式(7)，隧道軸線位置處土體由于隧道抗力作用引起的豎向位移向量為：

(10)

(11)

地面堆載與隧道抗力共同作用下，隧道單元的豎向位移等于相應位置土體位移，即：

St1=Ss1=ωs1+ωt1,

(12)

St2=Ss2=ωs2+ωt2。

(13)

式中：St1和St2分別為隧道1和隧道2的豎向位移向量；Ss1和Ss2分別為隧道相應位置處的土體豎向位移向量。

1.6 控制方程與求解

通過位移協調分析，將式(12)和(13)分別代入式(1)即可分別針對隧道1和隧道2的彎曲變形進行求解。實際上，聯合求解方程組(1)、(4)、(7)、(12)和(13)可以得到交叉隧道單元的豎向位移及結構內力，其中式(1)應分別對2條隧道建立控制方程。

上述方程的建立考慮了2條隧道交叉的相互影響情況，兩隧道的交叉角度及間距可為任意，且在式(6)求解隧道疊加應力時可以考慮更多條隧道共同作用的影響，同時需要以式(1)分別建立多條隧道的彎曲變形控制方程。此外，在土體彈性模量參數選取時，可以采用更為復雜的模型及參數來考慮土體的非線性特征。

計算流程如圖3所示。首先輸入隧道信息、鄰近荷載信息和地質資料，計算交叉隧道的豎向位移，通過迭代進行交叉隧道位移求解。如果2次迭代中隧道的豎向位移差的標準差<ε，則輸出計算結果，否則將上步計算結果作為初始信息輸入求解。

圖3 交叉隧道豎向位移分析程序系統框圖

Fig. 3 Flowchart of vertical displacement analysis program system for crossed tunnels

2 計算方法驗證分析

本文通過地面堆載下交叉隧道豎向位移的模型試驗來驗證上述計算方法的合理性。為了模擬隧道接縫的影響以及試驗模型制作與操作的方便要求，隧道模型采用一種由內襯環和管片組成的雙層復合隧道模型結構[16]。模型結構采用PVC管制作，其彈性模量為3.5 GPa，拼接好后的隧道模型內徑為156 mm，外徑為164 mm。

試驗模型箱平面尺寸為1.2 m×1.2 m，在模型箱內布置上下2層隧道模型，上下2層隧道模型在空間上形成垂直交叉關系。選取上部隧道交叉點及其左右兩側距交叉點10 cm和20 cm的模型節作為豎向位移測量節和傳感器布置位置，如圖4(a)所示。確定隧道交叉節點上方40 cm×40 cm的加載區域，在加載區域布置加載板以保證堆載均勻。在加載板上逐步放置砝碼進行加載，分6級加載，每級加載后板底平均壓力增量為1 275 Pa，在每級荷載作用下隧道的頂部豎向變形和應變測量值穩定后再施加下一級荷載。通過逐級加載，最終達到7 650 Pa，模型試驗情況如圖4(b)所示。

(a) 試驗示意圖及測點布置

(b) 模型試驗照片

同時采用三維有限元對模型試驗進行整體模擬分析，采取摩爾-庫侖本構模型模擬砂土的應力應變關系，砂土的彈性模量為31.7 MPa ，內摩擦角為34.6°。隧道采用彈性模型，彈性模量為3 500 MPa，泊松比為0.38。模型尺寸與實際模型試驗尺寸相同，砂土采用實體單元模擬，隧道模型采用殼單元模擬，隧道與土體之間設置摩擦接觸，摩擦角為20°，并通過減小殼單元厚度來模擬隧道模型接縫，得到隧道豎向位移沿隧道縱向分布的結果，具體有限元模型如圖5所示。采用本文簡化解析算法對模型試驗進行計算，其參數取值與數值模擬取值相同。將本文簡化解析算法結果和模型試驗及數值計算結果進行對比，如圖6所示。結果表明： 本文解析算法結果與試驗實測數據和數值計算結果相差不大，分布規律吻合較好； 除最大位移點外，解析算法結果相對于試驗實測數據的誤差在10%左右。

(a) 整體模型網格圖

(b) 交叉隧道結構模型

圖6 上部隧道豎向位移結果對比

3 參數分析與討論

應用本文簡化解析算法可以分析不同因素對交叉隧道豎向位移的影響。假設隧道直徑均為6 m，上部隧道中心埋深為10 m，下部隧道中心埋深為20 m，隧道剛度均為30 000 MN·m2，隧道之間夾角為90°。鄰近荷載區域為正方形平面，其邊長為20 m，鄰近荷載大小為50 kPa，且鄰近荷載區域中心與交叉隧道的交點在地表的投影重合。

3.1 交叉隧道間距對交叉隧道的影響

保持上部隧道埋深不變，改變下部隧道埋深來模擬隧道間距的影響。圖7示出交叉隧道正交情況下隧道間距變化對交叉隧道豎向位移的影響。由圖7可以發現： 隧道的埋深對隧道的豎向變形有顯著的影響，埋深越大，隧道的豎向位移受鄰近荷載的影響越小，交叉隧道的間距越大，相互影響越小。隨著隧道間距的減小，上部隧道的豎向位移有微小減小，而下部隧道位移增大，這說明上部隧道受下部隧道的影響較小。

圖7 隧道間距對交叉隧道最大豎向位移的影響

Fig. 7 Influence of span of crossed tunnels on maximum vertical displacement

3.2 隧道交叉角度對交叉隧道的影響

保持上部隧道和下部隧道埋深不變，改變上部隧道和下部隧道之間夾角來模擬隧道交叉角度的影響，結果如圖8所示。由圖8可知： 交叉角度對隧道位移的影響顯著，隨著隧道交叉角度的減小，上部隧道的位移減小而下部隧道的位移增大。當交叉隧道從正交(交叉角度90°)變為上下平行(交叉角度0°)時，上部隧道的豎向位移減小約30%。當隧道交叉角度接近90°時，交叉隧道的豎向變形均變化不大。這是因為當交叉角度逐漸增大時，上部隧道與下部隧道重合面積減小。隧道之間的相互作用隨角度的減小而增加，在交叉角度接近90°時，隧道重合面積隨交叉角度變化不明顯。同時由于下部隧道埋深較大，其受鄰近荷載的影響較小，改變隧道交叉角度時其受到的影響小于上部隧道。因此，在實際工程中，當隧道交叉角度大于60°時，可以按照正交情況進行分析； 在交叉角度較小時，更應注意相互影響。

圖8 隧道交叉角度對交叉隧道最大豎向位移的影響

Fig. 8 Influence of angle between crossed tunnels on maximum vertical displacement

4 結論與討論

1)本文針對地面堆載引起的交叉隧道受力變形問題，考慮土體與隧道、隧道與隧道的相互作用，通過引入Boussinesq解和Mindlin解，提出簡化的解析分析方法。通過與模型試驗和三維有限元結果對比，驗證了本文解析方法的合理性。

2)在地面堆載作用下，隧道交叉穿越的相互影響導致上部隧道位移減小、下部隧道位移增大。交叉隧道的相互影響隨著隧道間距和交叉角度的減小而增加，上部隧道受交叉角度的影響更顯著、下部隧道則更多受隧道間距影響。交叉隧道由正交變為上下平行時，上部隧道最大位移減小30%； 當隧道交叉角度接近正交時，交叉角度的影響較小。因此，建議在實際工程中，當隧道交叉角度大于60°時，可以按照正交情況進行簡化分析； 在交叉角度較小時，更應注重交叉隧道的相互影響。

3)本文解析方法計算方便快速，適用于工程問題的快速評估與初步分析； 考慮荷載作用方向和位置不同情況時，也可以用于分析土體內部加載與卸載問題，即基坑開挖和樁基荷載作用的影響。本文重點考慮了土體與隧道、隧道與隧道之間的相互作用，分析了隧道間距和隧道交叉角度對鄰近荷載作用下交叉隧道豎向位移的影響，但對隧道的具體構造形式和鄰近荷載進行了適當的簡化，在今后的研究中可以進一步的細化和深入探討。

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