高考函數試題中的轉化與化歸思想

慶曉國

摘 要 本文針對高考函數試題中的轉化與化歸思想研究，將從函數性質的相互轉化與劃歸概述入手，結合高考函數試題的考察重點，對轉化與劃歸思想在試題中的體現展開探討。希望本文的研究，能為使劃歸思想更加深入各種類型高考數學試題中提供參考性建議。

關鍵詞 高考試題 數學函數 轉化與劃歸方法

中圖分類號：O174 文獻標識碼：A

0前言

所謂“化歸”思想，就是指轉化與歸結。通過轉化過程，將有待解決或者難以解決的問題，歸結到一個已經解決或者的容易解決的問題中，以此求得解決，這樣的解題思維就是“化歸”思想。在數學解題思想方法中，化歸思想是常用的方法之一，同時也是高考數學試題的考察重點。因此，加強高考函數試題中的轉化與化歸思想研究具有重要意義。

1函數性質的相互轉化與化歸概述

近幾年，在高考數學中，化歸思想一次次在不同類型試題中得到體現。可見，化歸思想是近年來的考核重點。在高中數學科目中，函數問題是高考的重要分支。函數特性，是通過函數的性質反映出來的，比如周期性、對稱性、單調性、奇偶性等，而在解決數學試題中，只有充分讀懂題干中所給的條件，并利用條件分析出函數的性質，才能夠將已知條件進行靈活轉化與運用。一個復雜的數學函數問題，往往通過化歸思想中的問題轉化，就可以使函數問題峰回路轉，化難為易。

2高考函數試題的考察重點

函數問題是數學高考中的重點內容，高中數學關于函數問題的知識點繁多，題型的變化也多種多樣，考生僅掌握函數基本知識并不夠，只有在此基礎上會靈活運用各種解題方法和技巧，才能夠在高考中應用各種各樣的題型。高考對函數試題的考察重點主要包括以下內容：

（1）抽象函數與二次函數。具體考察的是二次函數單調性與最值問題，包括不等式與其結合應用，在解答時需要結合函數解析式與圖像特性。（2）函數性質與圖像。具體考察的是學生對奇偶性的掌握，解題時需要這兩點性質的結合。（3）函數綜合應用。考察的是學生基礎知識與函數思想的結合能力，包括對函數變化性、制約性等加以靈活運用。

3轉化與劃歸思想在試題中的體現

3.1將抽象問題轉化為直觀問題

對于復合型與抽象類型函數，一般不進行直接計算，而是將抽象函數轉換為簡單、直觀的函數加以解決，主要應用在三角函數類型試題中，如例題1。

例1：已知函數f（x）=Cos x*Sin（x+ /3）-Cos 2x+/4，x∈R

求解：（1）函數f（x）最小周期。（2）函數f（x）在[-，]區間上的最值。（2015年天津卷）

本題的解題思路為：通讀題干發現復合型三角函數無法直接看出周期，因此對該函數進行變形以求出函數f（x）周期。然后，將區間邊界值帶入常規函數，求出最值。

3.2不規則問題轉化為規則問題

不規則函數問題的考察，主要形式是將函數與不等式相結合，組成抽象的、不規則的、復雜的函數問題。此類型函數問題的第一步驟就是將函數轉化為規則類型函數。該轉化思想應用最為典型的就是恒成立問題，如例題2。

例2：已知函數f（x）=ex+e-x，e為自然底數。

求解：（1）f（x）是R的偶函數，請證明。（2）若不等式mf（x）≤e-x+m-1在大于0的區間內恒成立，此時m的取值范圍。（2016年江蘇卷）

本題的解題思路為：首先確定該題型為方程式與不等式的結合類型，對考生來說有一定難度。因此，應當先將不規則問題進行簡單轉化。比如，第二個問題，首先假設t=ex，分析出t>1，然后將t帶入到不等式當中，求出t的值，再還原到假設中去求出x值，最后，確定m取值范圍。

3.3將一般問題轉化為特殊問題

將一般問題轉化為特殊問題的化歸思想，主要處理方法是賦值，再利用特殊值求得具體的函數值，如例題3。

例3：已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，g（x）為奇函數，并且，g（x）=x3+x2+1，

求解g（1）+f（1）。（2016年天津卷）

本題的解題思路為：確定函數為抽象函數類型，可以對變量進行賦值，以此對函數的性質進行判斷。比如，在例題當中，應當首先對x賦值，分別賦值為1和-1，帶入函數后推出f（1）和與f（-1）之間的關系，然后得出f（1）和f（-1）的值。

3.4數形轉化法

對于一般的函數而言，函數性質可以由圖像表示，也可以用表達式表示。因此，利用樹形轉化法解題，是函數題中常用的方法，見例題4。

例4：已知函數f（x）=|x2+3x|，x∈R，若f（x）-a|x-1|=0，且4個實數根彼此互異。

求解實數a的取值范圍。（2016年上海卷）

本題的解題思路是：將數形結合思想與函數思想進行結合，以此發現該函數的性質及其變化規律，進而使函數的解答更加容易。比如該例題中，首先需要利用數形結合法，將函數|x2+3x|的圖像繪畫出來，然后，根據a>0，列出a與x的關系式。將t賦值為x-1，用t的關系式表達a。根據t+4/t的取值范圍，確定t+4/t+5的范圍。最后，結合函數圖像，得出a的取值范圍。

4結論

為了將劃歸思想更好的應用的數學問題解決中，本文將高考函數試題中的轉化與化歸思想作為主要研究內容，在對高考函數試題考察重點進行分析的基礎上，從數形間轉化法、將抽象問題轉化為直觀問題、不規則問題轉化為規則問題、將一般問題轉化為特殊問題、轉化與劃歸思想在試題中的體現等方面做出系統探究。研究結果表明，高考函數數學中函數的最值、單調性、恒成立等問題，都是可以用劃歸思想進行解答的。在未來，還需進一步加強對轉化與劃歸思想在數學中的應用研究，為學生提供更快更清晰的解題思路。

參考文獻

[1] 王佩其.轉化與化歸思想第二篇：轉化與化歸思想在握，何愁函數問題[J].廣東教育：高中版，2015，25（02）：34-36.

[2] 殷玉波.從教材到高考，從基礎到能力——以“函數的零點問題”為例[J].中學數學教學參考，2015，12（28）：47-49.

[3] 陳華麗.高中生使用化歸思想進行數學函數解題的心理分析[J].教育：文摘版，2015，25（09）：00119-00119.

[4] 肖凌戇.新課程全國卷“函數與導數”的命題研究——以近三年高考數學理科試題為例[J].中國數學教育，2016，24（08）：47-52.

[5] 黃嚴生.基于教材談高考試題——對2016年高考新課標I卷解析幾何題的剖析與思考[J].中學數學研究：華南師范大學版，2016，14（17）：224-226.