數形結合思想的應用

摘 要 本文主要介紹怎樣應用數形結合來解決一些數學問題。

關鍵詞 數形結合 數形結合思想 以形助數 以數解形

數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。

數形結合是數學解題中常用的思想方法，運用數形結合思想，使某些抽象的數學問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，發現解題思路，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。

實現數形結合，通常有以下途徑：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）有序數組與坐標平面（空間）上的點的對應關系；（3）函數與圖象的對應關系；（4）曲線與方程的對應關系；（5）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、復數、三角函數等；（6）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。

運用數形結合研究數學問題，加強了知識的橫向聯系和綜合應用，對于溝通代數與幾何的聯系，具有指導意義.縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果.數形結合的重點是研究“以形助數”，這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野。

以下我具體介紹數形結合思想方法在解題中的應用。

1在方程、函數問題中的應用

方程f（x） –g（x） = 0的解情況，可化為f（x）=g（x） 的解情況，也可看作函數y = f（x） 與y = g（x） 圖像的交點的橫坐標的情況，所以只要我們準確地畫出這兩個函數的圖像，再根據圖像就能很容易地看出它們有幾個交點，及交點大致的位置或坐標。

例1【2017江蘇】設f（x）是定義在R且周期為1的函數，在區間[0，1）上，

其中集合，

則方程f（x）lgx=0的解的個數是 .

【分析】畫出函數草圖，圖中交點除（1，0）外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期部分，且x=1處

，則在x=1附近僅有一個交點，因此方程的個數為8個。

【總結】對于方程解的個數（或函數零點個數）問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數范圍.從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等.

2在最值問題中的應用

最值問題，一般就是求某個代數式或函數的最大值或最小值了，當然有些題目是可以借助于重要不等式等知識直接解決的，但有些題目用這些方法都比較復雜，而且計算量很大。這時我們就要換一種方法來考慮問題了，不要思維定勢。我們可以考慮一下這些代數式的幾何意義了，再結合代數式中所隱含的幾何圖形，應用幾何知識來求其最大值或最小值。代數式的幾何意義有很多，在這我主要地介紹以下幾種：一是表示直線斜率的——轉化為求直線斜率的問題；二是表示兩點間的距離——轉化為求兩點距離的問題；三是表示直線的縱截距——轉化為求直線的截距問題；四是表示圓錐曲線的——轉化為利用圓錐曲線的定義來求的問題。

2.1用直線斜率公式求最值

例2.求函數y=的最值。

【分析】函數解析式可看作過點A（2，3）與B（cos%a，sin%a）的直線的斜率，動點B的軌跡是圓x2+y2=1。如圖，容易地看出，當且僅當過A點的直線與該圓相切時，直線AB的斜率才會取得最大值和最小值。設直線AB的方程為y3=k（x2），則由直線AB與圓x2+y2=1相切可知：=1解之得k=2彼詙max=2+和ymin=2

【總結】在考慮形如y=或y=的這一類代數式，我們可以結合它們的幾何圖形（如圖）圓與直線有交點的模型，用幾何的方法來求最值，它們的最值，就是當直線與圓相切時直線的斜率。

2.2轉化為兩點距離問題

例3.設P（x，y）是圓（x-2）2+y2=1上的任意一點，則（x-5）2+（y+4）2的最大值為（ ）

A.6 B.25 C.26 D.36

【分析】（x-5）2+（y+4）2表示點（5，-4）與圓上的點的距離的平方，故用數形結合法求解

因為圓（x-2）2+y2=1的圓心坐標為（2，0），該圓心到點（5，-4）的距離為=5，所以圓（x-2）2+y2=1上的點到（5，-4）距離的最大值為6，即（x-5）2+（y+4）2的最大值為36。

【總結】 （x，y）為圓上任意一點，求形如t=（x-a）2+（y-b）2的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的最值問題，即把（x-a）2+（y-b）2看作是點（a，b）到圓上的點（x，y）的距離的平方，利用數形結合法求解。

2.3轉化為直線的縱截距問題

例4.若x2+（y-1）2=1，則3x+4y的最大值是________，最小值是________。

【分析】設3x+4y=t，則當直線與圓相切時取得最值，即，=1，即|t-4|=5，解得t=9或t=-1，所以3x+4y的最大值為9，最小值為-1。

【總結】已知（x，y）滿足的平面區域，求z=ax+by的最值問題時，因為該式可化為y=x+z，且b是常數，所以求z的最值就是求z也就是直線在y軸上的縱截距的最值。因為已知（x，y）滿足的平面區域，區域是有范圍的，所以我們只要對直線做平移，移到區域的邊界即相切時，就可以求出其縱截距的最值。其實，這種問題就是一個線性規劃最優化問題，它的解法就是線性規劃最優化問題的解決方法之一。

2.4用圓錐曲線的定義來求最值

例5.設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F為拋物線的焦點，若B（3，2），則|PB|+|PF|的最小值為________。

【分析】將|PF|轉化為點P到準線的距離，然后利用三點共線時距離最短求解.

如圖，過點B作BQ垂直拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|=|P1F|。

再結合題意，則有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即|PB|+|PF|的最小值為4。

【總結】根據拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，再根據三角形中兩邊之和大于第三邊得出不等式，這是解決此類問題的一般方法。

作者簡介：黃文根（1974-），男，漢族，江西永豐縣人，學士，中學一級教師，主要從事高中數學教學。

參考文獻

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[3] 朱恩九.“以形輔數”的解題途徑[J].數學通報，1994（04）：33-35.