淺談微分中值定理在證明中的應用

李娜

摘 要 本文結合幾道有關中值定理方面的典型例題，針對學生在學習中的難點進行詳細的分析，從三個方面進行總結和歸納。

關鍵詞 微分中值定理 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 構造法

中圖分類號：O172.1 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.02.025

Application of Differential Mean Value Theorem in Proof

LI Na

（Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract In this paper， some typical examples of the mean value theorem are discussed， and the difficulties in learning are analyzed in detail and summarized from three aspects.

Keywords differential mean value theorem； rolle's theorem； lagrange's mean value theorem； cauchy mean value theorem； construction method

在“高等數學”這門課中，微分中值定理是微分學部分應用的基礎，是用微分法研究函數性態的重要工具，是從研究函數的局部性質到研究函數的整體性質的橋梁，因此能恰當地應用微分中值定理就顯得尤為重要。

微分中值定理是羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理等的統稱，利用微分中值定理可以證明方程根的存在性，證明等式或不等式的成立。由于它的應用難度較大，很多學生在學習這部分的內容時一頭霧水，下面從幾個方面對微積分定理在證明中的應用進行詳細的分析。

1 利用中值定理證明方程根的唯一性

例 證明方程有且只有一個小于1的正根。

析 “有”表示方程的根存在，需用到零點定理，“只有一個”表示方程的根是唯一的，需用到羅爾定理來做。

證 （1）存在性 令，則在[0，1]上連續，且，由零點定理可知， （0，1），使得。

即是方程的小于1的正根。

（2）唯一性（反證法） 設方程另有一根（0，1），且使得。不妨設，由于在上滿足羅爾定理的條件，至少存在一個，使得。這與矛盾。

故方程有且只有一個小于1的正根。

2 利用中值定理證明等式的成立

例 證明恒等式，。

析 要想證明該等式成立， 需分兩步來證：首先需證等式左邊的函數是一個常值函數，然后證明這個常數就是等式右邊的數值。

證 設，則

。由拉格朗日中值定理的推論可知， 。又因當時，，故，。

例 設在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且，證必有一點，使得。

析 要使成立，即需成立。變形得，即。因此需要構造輔助函數，利用羅爾定理來進行證明。

證 設，則在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且（0）=（1）=0，由羅爾定理可知（0，1）， 使得。又因，得，也即成立。

例 設在上連續，在內可導，求證存在一點，使得。

析 所證結論可看作

，也即。故需利用拉格朗日中值定理進行證明。

證 設，在[a，b]上連續，在（a，b）內可導。由拉格朗日中值定理可知，使得。又因，得，得證。

例 設，在上連續，在內可導，求證存在一點，使得

析 要證，即證。因此需設，利用柯西中值定理進行證明。

證 設，則均在上連續，在內可導，且。。由柯西中值定理可知，，使得。

代入整理即得，即，證畢。

3 利用中值定理證明不等式的成立

例 證明不等式 成立。

析 對于此類的不等式，一般都是從中間項入手，結合拉格朗日中值定理進行證明。之所以可以用拉格朗日中值定理進行證明不等式的成立，主要是因為拉格朗日中值定理的結論中含有不確定的。

證 設則在[0， ]上連續，在（0， ）內可導。由拉格朗日中值定理可知， ，使得。又因 。即。

又，成立。

例 設在（a，b）內，試證：對于（a，b）內的任意2個不同點，有。

析 一般來說，題設條件中具有二階或二階以上的導數時，往往需要應用泰勒公式（介于和之間）來證。

證 將在處展開，得

，其中介于和之間。

上式中分別取及，得

上面兩式相加，得

由于，故。

即成立。

注 若題中條件改為，而其余條件不變，則結論改為。

微分中值定理的應用是重點，也是難點，因此在學習的過程中，需要學生去多多觀察。用心體會，化難為易，便會收獲滿滿。

參考文獻

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