關于定積分求解的一個注記

【摘 要】定積分是微積分學教學中的重點與難點，它的求解方法與技巧有很多，本文主要以實例分析的形式談談定積分求解的一個注記。

【關鍵詞】換元法；區間再現；分部積分法

中圖分類號：O177.6 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）08-0069-001

A Note on Solving Definite Integral

LI Qing-juan

（Dalian University of Finance and Economics，Dalian Liaoning 116622，China）

【Abstract】Definite integral is a key and difficult point in the calculus teaching.There are many methods and techniques for solving it. This article mainly discusses a definite integral solution in the form of case analysis.

【Key words】Substitution method； Interval reproduction； Fractional integration method

定積分是積分學的一個重要組成部分，它在自然科學與生產實踐中有著非常廣泛的應用，因此定積分的計算與應用都是積分學教學中的重點。定積分的計算方法與技巧非常之多，除了常用的方法如換元法、分部積分法、遞推公式法、有理函數的積分法等等，有時還可以利用函數的奇偶性，周期性、對稱性等求解相應的定積分。其中，定積分的換元法主要有湊微分（第一換元法）、三角代換、根式代換，倒代換等。在利用換元法計算定積分時，我們發現有一類題目可在換元的過程中采用區間重現的方法求解，我們可將此方法進行推廣。

例1：計算I= dx

解：從被積函數的形式來看，采用換元法，為了在換元的過程中，積分區間不變，故

令x=π-t，x=0，t=π；x=π，t=0.

I=- dt= dt=- dx=-I所以I= .

例2：計算I= dx

解：此題與例1相同，采用換元法，并保證上下限的數值不變，只需做如下變量代換

令x=-t，x=-2，t=2；x=2，t=-2.

I=- dt= dt= dt= dx=I1，

又I+I1= x2dx= ，所以I= .

例3：計算I= dx

解：令x= -t，x=0，t= ；x= ，t=0.

I= d -t，

= dt= dx=I

又I+I1= dx= ，所以I= .

注：此題也可以采用三角有理分式的積分計算方法.

例4：計算I= ln（1+tanx）dx

解法1：觀察特點，直接代換，令

x= -t，x=0，t= ；x= ，t=0

I= ln（1+tanx）dx= ln1+tan（ -t）d（-t）

= ln1+ dt= ln dt

= ln2dt- ln（1+tanx）dx

所以，2I= ln2，即I= ln2.

解法2：先變形再代換

I= ln（1+tanx）dx= ln dx

= ln dx

= ln dx+ lnsin +xdx- lncosxdx

令x= -t，x=0，t= ；x= ，t=0

lnsin +xdx=- lncostdt= lncosxdx

所以I= ln dx= ln2

例5：證明：若函數f（x）在閉區間[0，1]上連續，則 xf（sinx）dx= f（sinx）dx

證明：令x=π-t，x=0，t=π；x=π，t=0

xf（sinx）dx

=- （π-t）f（sin（π-t））dt

= （π-t）f（sint）dt

=π f（sinx）dx- xf（sinx）dx

所以2 xf（sinx）dx=π f（sinx）dx，即 xf（sinx）dx= f（sinx）dx

通過上述例子，可以看出利用換元法，使得原來的定積分的積分區間再現，從而將積分求解出來，這種方法在處理一類問題時很好用，它是定積分換元計算的一個典型方法，做這種題目時，首先要進行分析，然后采用相應的變量代換，重點是要保證在代換過程中積分的上下限的兩個數值重復出現，即區間重現，從而進一步的求解與證明。值得一提的是，在學習定積分的計算方法時，要善于總結歸納，只有熟練掌握了各種計算方法與技巧，碰到任何情況，才能得心應手。

【參考文獻】

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