微積分中變與不變視角下的反函數教學研究

陶印修 徐云

【摘要】講反函數的目的是為了講三角函數的反函數嗎？由經濟數學中價格函數P=f（Q）的反函數是需求函數Q=f1（P）容易知道，講反函數的目的不單純是為了講三角函數的反函數，講三角函數的反函數——反三角函數只是講反函數的目的之一。基于反函數難學，因此有必要對反函數的教學進行研究。反函數中的變只是與反函數fl中的自變量用x、因變量用y的習慣記法有關，而反函數中的不變就是反函數記號f1n。把函數x=f1（y）稱為函數y=f（x）的本義反函數，實際中用此。把函數y=f-1（x）稱為函數y=f（x）的矯形反函數，理論中用此。本文一方面體現何時用本義反函數，何時用矯形反函數，另一方面通過首尾兩個例子突出本義反函數的實用性，讓同學真正掌握反函數。

【關鍵詞】變；不變；已知函數；矯形反函數；本義反函數

一、變視角下的反函數教學研究

（一）已知函數

由于函數y=f（x）是事先給出的函數，因此把函數y=f（x）叫作已知函數或直接函數。

（二）本義反函數

已知函數y=f（x）中是用x表示y，所謂函數y=f（x）的反函數就是反過來表示的函數，即用y表示x。函數y=f（x）反函數的專用記號為x= f-1（y），把函數x=f1（y）稱為函數y=f（x）的本義反函數。實際中用此。

例1：價格函數P=f（Q）的反函數需求函數Q=f“（P）就是本義反函數（實用中用）。

例1也可理鋸為需求函數Q=cp（P）的反函數價格函數P=cp-l（Q）就是本義反函數。

（三）矯形反函數

本義反函數x=f-1（y）中的白變量與因變量的記法與習慣表示不一致，為了與習慣表示保持一致，需要把本義反函數x=f“（y）中的白變量與因變量互換位置，得y=f-1（x），把函數y = f-1（x）稱為函數y=f（x）的矯形反函數，此為變視角下的反函數。理論中用此。

例2：冪函數v=Xa的反函數開方函數x= （a為大于1的正整數）就是本義反函數（實用中用），而開方函數y=

就是矯形反函數（理論中用）。

順便指出：指數函數y= ax的反函數對數函數x= log。y就是本義反函數，而對數函數y= logx就是矯形反函數。

由上述內容可以引申出了解的內容：冪函數與指數函數都可以理解為乘方函數，乘方函數的反函數可以是開方函數（當乘方函數為指數大于1的正整數的冪函數時），也可以是對數函數（當乘方函數為指數函數時）。

例3：余弦函數y=cosx的反函數反余弦函數x= arccosy就是本義反函數（實用中用），而反余弦函數y= areeosx就是矯形反函數（理論中用）。

二、不變視角下的反函數教學研究

（一）反函數的實質

先說明函數y=f（x）的實質，即對應法則f是作用在函數y=f（x）定義域上的函數。

再說明反函數y=f-1（x）（或x=f-1（y））的實質，即對應法則f-l是作用在反函數y=f-1（x）（或x=f-1（y））定義域上的反函數。

（二）本義反函數與矯形反函數的關系

本義反函數與矯形反函數是同一反函數f-1，此為不變視角下的反函數。正如趙本山與宋丹丹小品中所說，你脫了馬甲我也認識你啊！

三、反函數中的變與不變

反函數中的變是為了美，反函數中的不變才是其本質，說明反函數即要面子又要里子。

四、互為反函數

當已知函數f時，其反函數為f-l：當已知函數f-l時，其反函數為f。f與f-1互為反函數。

五、強調本義反函數的意義

強凋本義反函數的意義就在于實用。請見例1。

下面借助例4的解題過程再次看一看本義反函數的實用性。

例4：求反正切函數y= aretanx（理論中用）的導數。

解因為y= arctanx（y=aretanx是已知函數），

顯見x=tany（x= tany是y=are，tanx本義反函數，實用中用），

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1997