船舶二維測距定位中的GDOP分析

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(重慶交通大學 航運與船舶工程學院，重慶 400074)

定位系統GDOP的研究一般分為定位系統的GDOP研究和GNSS(global navigation satellite system)定位系統的GDOP研究。前者主要研究定位系統中GDOP隨幾何位置關系的變化情況[1-2]，定位區域內GDOP的最小值出現的位置[3-4]；后者主要研究導航系統定位過程中，GDOP的計算方法和定位結果精度的評估方法[5-7]。如文獻[8]指出在GPS定位中，若用戶采用4顆衛星定位，則GDOP值與用戶到4個衛星的單位向量所構成的四面體的體積成反比。從研究內容的不同，可以將研究內容分成以下兩類；一類是研究定位系統中GDOP的計算方法，如文獻[9-10]給出了不同定位系統中，GDOP的計算方法；另一類是研究定位系統中如何優化錨點的布置，以降低定位系統的GDOP值，如文獻[11-13]以GDOP值的大小為依據，對GNSS系統中不同星座內的衛星選擇問題進行了研究。從上述分析不難看出，現有的研究只是對GDOP的計算方法及錨點的優化布置問題進行了研究，但是沒有指出GDOP所反映的直觀物理意義，這對于定位系統中錨點的布置和選擇是不利的。因此，擬對二維測距定位系統中的GDOP計算方法，以及與GDOP值相關聯的直觀物理意義進行分析，以加深對GDOP的理解，為測距定位系統中錨點的布置提供理論依據。

1 幾何精度因子GDOP

假設測距定位系統中錨點的個數為N，且每個錨點Ai坐標分別為(xi,yi)(i=1,2，…，N)，未知點U的坐標為(x,y)，未知點到第i個錨點Ai的單位向量為ei(hi，ki)，r表示坐標原點到未知點的向量，ri表示坐標原點到第i個錨點Ai的向量，rui表示未知點到第i個錨點Ai的向量。錨點和未知點的關系見圖1[6]。由此得式(1)。

(1)

化簡可得等式(3)。

kix+hiy=kixi+hiyi-|rui|

(2)

將式(3)改寫成矩陣形式

(3)

式中：Ci=[ki,hi]

(4)

Si=[xi,yi]T

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

則式(4)可轉化成下式。

BX=CS-RU

(11)

求解方程組的最小二乘解得到：

X=(BTB)-1BT(CS-RU)

(12)

則有X的協方差矩陣CovX如(13)所示。

CovX=(BTB)-1BTCov(CS-RU)[(BTB)-1BT]T

(13)

假設距離|ru1|、|ru2|，…，|ruN|的測量值相互獨立，且各距離測量的均方差為δ2，則有下式成立，其中E表示數學期望。

Cov(CS-RU)=E{[(CS-RU)-E(CS-RU)]

·[(CS-RU)-E(CS-RU)]T}=

E{[RU-E(RU)][RU-E(RU)]T}=Iδ2

(14)

將式(14)代入式(13)有式(15)成立。

CovX=(BTB)-1BT[(BTB)-1BT]Tδ2=

(BTB)-1BT{B[(BTB)-1]T}δ2=

[(BTB)-1]Tδ2=(BTB)-1δ2

(15)

(16)

(17)

由式(18)可知，當定位系統中錨點的數量一定時，GDOP只由ki和hi決定，即GDOP只受未知點到已知點的方向影響，與偽距測量誤差無關。

(18)

2 幾何精度因子GDOP分析

未知點到錨點的各單位向量見圖3。各向量的長度均為1。任何兩個單位向量的終點Fi、Fj以及未知點U勾勒的三角形的面積如式(19)所示。

(19)

由式(19)可得

(20)

將式(20)代入式(18)得

(21)

例如，當N=3時，有式(22)成立，各三角形的關系見圖4。

(22)

當N=4時，有式(23)成立，各三角形的關系見圖5。

(23)

3 N=4時GDOP值分析

通過前面的分析可以知道，當錨點的數量N一定時，定位結果的幾何精度因子GDOP的平方與所有未知點到錨點的單位向量所構成的三角形面積的平方和成反比。

假設該定位系統中有4個錨點，它們的坐標分別是A1(100,100)、A2(0,100)、A3(0,0)和A4(100,0)，各點的位置關系見圖6。

圖6顯示的是由這4個點所構成的正方形的內部GDOP值的平方的分布情況。由圖6可見，正方形的中心GDOP值最小，因此越靠近中心，定位精度越高；沿著正方形的對角線方向，GDOP值增加較快，且在錨點處達到最大值，在平行于邊的對稱軸方向GDOP值變化緩慢。

所有從未知點到各錨點的單位向量所構成的三角形面積的平方和在4個錨點所構成的正方形內的分布見圖7。

從圖7可以看出，面積的平方和在正方形的中心達到最大值；沿正方形對角線的方向面積的平方和變化較快，在正方形的中心面積的平方和最大，且在錨點處面積的平方和最小，沿著平行與邊的對稱軸方向面積的平方和變化緩慢。圖6、7表明，在正方形內部GDOP的平方與單位向量所構成的三角形面積的平方和的變化趨勢相反。

4 結論

在二維測距定位系統中，假設未知點到各個錨點距離測量誤差大小相同且錨點的數量一定，各未知點的GDOP值僅與未知點到各錨點的單位向量相關，位置點到錨點的距離無關，且GDOP值的平方與從未知點到錨點的單位向量構成的所有三角形面積的平方和成反比。

根據上述結論，在二維測距定位系統布置錨點應遵循以下原則：所有錨點應盡可能均勻地分布在未知點或待定位區域的周圍，以保證較小的幾何誤差。

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