單軸應變鍺帶隙特性和電子有效質量計算

底琳佳， 戴顯英， 苗東銘， 吳淑靜， 郝 躍

(1. 西安電子科技大學 微電子學院，陜西 西安 710071；2. 西安電子科技大學 寬帶隙半導體國家重點學科實驗室，陜西 西安 710071)

單軸應變鍺(Ge)具有載流子遷移率提升高、與硅(Si)集成工藝兼容等優勢，在Si基高遷移率器件與集成電路應用方面引起了人們的廣泛關注[1-3]．能帶結構是進一步研究應變Ge電學、光學性能的理論基礎，而k·p方法不僅具有高效的計算效率，且能夠準確地描繪出在布里淵區給定點附近的導帶和價帶結構，通常用于計算載流子的有效質量和運輸特性．

目前，針對應變Ge能帶結構和運輸特性的研究主要集中在價帶和空穴遷移率增強方面[4-5]，關于導帶結構，特別是與電子散射和運輸密切相關的有效質量的理論研究相對較少．此外，已有研究表明雙軸應變Ge可以從間接帶隙轉變為直接帶隙半導體，并具有與Ⅲ-Ⅴ化合物半導體相比擬的光增益，可用于光電子器件的設計[6-7]．與雙軸應變相比，單軸應變具有一些顯著的優點，例如，在高垂直電場下維持空穴遷移率增益，為納米級短溝道器件提供大的驅動電流提升等[8]．因此，有關單軸應變Ge是否存在帶隙轉換以及單軸應力如何影響電子輸運的研究具有重要的意義．

筆者采用30k·p方法，計算了不同單軸應力(方向、類型和量級)作用下Ge的能帶結構，定量分析了Ge導帶能谷分裂與偏移、縱向和橫向電子有效質量及電子態密度有效質量隨應力的變化情況．

1 30 k·p方法

應變系統的薛定諤方程可由下式表征[9]:

(1)

其中，p=-i(h/(2π))，為動量算符，m為自由電子質量，V0(r)為未形變晶格的周期勢，i、j代表x、y、z，ε為應變張量．將布洛赫波函數φnk(r)= exp(ik·r)unk(r) 代入式(1)，可得

式(2)中的哈密頓量即為包含應變效應的k·p哈密頓量．

如果未形變系統哈密頓量的特征值En0及特征函數un0已知，如下式所示:

(5)

可將式(3)中的k·p乘積項及式(4)看作微擾量，并以已知的特征函數為基展開unk，根據微擾理論可以得到一系列k·p久期方程:

式(6)中的前兩項用于建立未形變系統的k·p哈密頓矩陣，第3項用于建立應變引起的微擾矩陣．

對于Ge，選取來自[000]、(2π/a)[111]和(2π/a)[200]平面波的15個Γ態[10]，并根據群論選擇規則可將由式(6)中第2項決定的動量矩陣參數減小到10個:

圖1 30 k·p模型原理圖

此外，由于自旋軌道相互作用的存在，根據15個Γ態所屬原子態的不同，可將其分為3類[11]:Γ1l、Γ2′l、Γ1u和Γ2′u屬于s原子態，自旋軌道相互作用使它們變為二度簡并態;Γ12′屬于d原子態，自旋軌道相互作用，使其變為四度簡并態;Γ25′l、Γ25′u和Γ15屬于p原子態，自旋軌道相互作用使它們分裂為一組四度簡并態和一組二度簡并態，相應的分裂能分別為Δ25′l、Δ25′u和Δ15，且在Γ25′l和Γ25′u之間存在非零的耦合系數Δ25u，25l．圖1給出了30k·p模型的原理圖，并列出了相應的Γ態及其對應的原子態波函數、動量矩陣參數、自旋軌道相互作用系數．

因此，根據以上Γ態可以建立包含應變效應的30k·p哈密頓矩陣，因為矩陣形式相對復雜，文中并未列出，相應的矩陣可在文獻[12]中找到．根據已有的單軸應變張量模型[13]，通過對角化 30k·p哈密頓矩陣可得到單軸應變Ge的能帶結構．計算過程中各參數的具體數值列在表1和表2中，由式(7)決定的應變微擾矩陣系數和文獻[12]中的一致．

表1 鍺在Γ點處的能量本征值及自旋軌道相互作用系數

表2 鍺的動量矩陣參數

圖2 弛豫Ge(實線)和[111]方向2 GPa單軸應變Ge(虛線)能帶結構

2 單軸應變Ge帶隙特性

圖2給出了弛豫Ge(實線)和沿[111]方向的2 GPa單軸應變Ge(虛線)的能帶圖．對于弛豫Ge，計算得到的L和Δ能谷能量分別為 0.662 eV 和 0.851 eV．從圖2可以看出，單軸應變Ge的各能級均發生了明顯的偏移和翹曲，說明帶隙寬度和有效質量會隨著應力而變化．此外，由于應力的引入，晶格對稱性遭到破壞，原有的L和Δ能谷簡并度將發生改變．

圖3 單軸應變Ge導帶各能谷隨應力的變化情況

值得注意的是，在單軸應力的作用下，Ge導帶帶邊能級會發生改變．圖4給出了不同方向單軸應力作用下Ge導帶各能谷帶隙寬度隨應力的變化情況，可以更直觀反應帶邊能級的轉換．由圖4(a)可見，當沿[001]方向的單軸壓應力大于 2.1 GPa 后，導帶帶邊能級變為Δ能谷，但Ge仍為間接帶隙半導體;而在張應力作用下，由于Γ能谷帶隙寬度隨應力增大而減小的趨勢遠大于L能谷，使得在應力增大到一定程度后，Γ能谷將成為導帶帶邊能級，根據計算結果，當張應力大于 4.8 GPa 后，Ge從原來的間接帶隙半導體變為直接帶隙半導體，禁帶寬度為 0.402 eV．類似地，由圖4(c)可見，沿[111]方向的單軸張應力大于 6.2 GPa 后，Ge變為直接帶隙半導體，禁帶寬度為 0.244 eV．

圖4 單軸應變Ge導帶各能谷帶隙寬度隨應力的變化情況

文中結果與文獻[13]結果不同，這是由于文獻[13]未考慮應力作用下高能量能級對導帶能谷的影響，且其形變勢參數并不充分[6]．此外，文獻[14]采用第一性原理對張應變Ge能帶結構進行了計算，發現[001]和[111]方向單軸張應力均可使Ge由間接帶隙轉變成直接帶隙．文獻[15]報道的[001]方向懸浮Ge納米線結構在產生的5.7% (5.87 GPa) 的單軸張應變作用下，已轉變為直接帶隙半導體．這些相關結論可以間接驗證文中所得結果的準確性．

3 單軸應變Ge電子有效質量

電子有效質量取決于其所處狀態下的能帶結構，可由下式表征:

(8)

根據單軸應變Ge能帶結構，采用二次函數擬合方法可以得到Ge導帶各能谷電子有效質量．為了驗證計算的有效性，表3列出了實驗測量[16]、贗勢法[17]、緊束縛法[18]以及文中 30k·p方法計算得到的弛豫Ge導帶能谷電子有效質量．表中，ml表示縱向有效質量，mt表示橫向有效質量，可以看出，所得結果基本一致．

表3 弛豫Ge導帶各能谷電子有效質量

圖5分別給出了不同方向單軸應力作用下Ge導帶L和Δ能谷縱向、橫向有效質量隨應力的變化情況．單軸應力破壞了晶體對稱性，使導帶能谷產生分裂和偏移，有效質量也會隨之改變．總體而言，導帶L能谷在各方向單軸應力作用下，縱向、橫向有效質量變化并不明顯，而Δ能谷在[110]、[111]單軸應力作用下有大幅改變，這意味著剪切應力對于Δ能谷的作用比L能谷更為顯著．

圖5 單軸應變Ge導帶L、Δ能谷縱向和橫向有效質量隨應力的變化情況

態密度有效質量與有效狀態密度、載流子散射幾率密切相關，也是應變Ge的重要參數．應變Ge電子態密度有效質量可由下式給出[19]:

(9)

其中，mc=(mlmt2)1/3為導帶某一能谷的態密度有效質量，ΔEc，split為導帶能谷分裂能，kB為玻爾茲曼常數，a和b分別表示能級分裂后產生的能量較低能谷的簡并度和能量較高能谷的簡并度，例如[111]單軸張應力作用下，對于Δ能谷，a、b分別為6、0，對于L能谷，a、b分別為3、1．

圖6 單軸應變Ge導帶電子態密度有效質量

圖6為不同方向單軸應力作用下Ge導帶L和Δ能谷的電子態密度有效質量隨應力的變化情況．由圖6(a)可見，沿[110]和[111]方向的單軸應力可以有效降低L能谷電子態密度有效質量，并在應力大于 1 GPa 后，趨近為常數，其中沿[111]方向的單軸壓應力可使L能谷電子態密度有效質量取得最小值 0.22m0．類似地，由圖6(b)可見，Δ能谷的電子態密度有效質量在沿[001]方向單軸壓應力大于 1 GPa 后取得最小值 0.52m0．

態密度有效質量的顯著降低，是由于單軸應力使導帶能谷發生分裂，能級簡并度降低，隨著分裂能的增大，電子越來越集中于低能量能谷．態密度有效質量的減小，可以有效降低載流子的散射幾率，提高遷移率，從這一角度考慮，為了得到更高的電子遷移率，沿[111]方向的單軸壓應變Ge可作為N溝道金屬氧化物半導體(N-channel Metal Oxide Semiconductor，NMOS)器件導電溝道材料的最佳選擇．

4 結 束 語

文中采用30k·p方法，對沿[001]、[110]、[111]方向的單軸應變Ge能帶結構進行了計算．單軸應力的引入使得各能級發生不同程度的翹曲與偏移，進而改變了單軸應變Ge的帶隙特性和電子有效質量．結果表明:在[001]、[111]方向單軸張應力作用下，Ge由間接帶隙轉變為直接帶隙，帶隙性質的轉變使得單軸應變Ge可用于光電集成器件; 導帶L和Δ能谷電子縱向、橫向有效質量并不明顯地依賴于單軸應力，但沿[111]和[001]方向的單軸壓應力可分別使L和Δ能谷態密度有效質量取得最小值，這有利于減小電子散射幾率，提升電子遷移率．所得相關結論可為設計高性能單軸應變鍺器件應力和溝道方向選擇提供理論參考．

[1] LIU Y, NIU J B, WANG H J, et al. Strained Germanium Quantum Well PMOSFETs on SOI with Mobility Enhancement by External Uniaxial Stress[J]. Nanoscale Research Letters, 2017, 12(1): 120-124.

[2] LEE C F, HE R Y, CHEN K T, et al. Strain Engineering for Electron Mobility Enhancement of Strained Ge NMOSFET with SiGe Alloy Source/Drain Stressors[J]. Microelectronic Engineering, 2015, 138(C): 12-16.

[3] LIU J S, CLAVEL M B, HUDAIT M K. An Energy-efficient Tensile-strained Ge/InGaAs TFET 7T SRAM Cell Architecture for Ultralow-voltage Applications[J]. IEEE Transactions on Electron Devices, 2017, 64(5): 2193-2200.

[4] MA J L, FU Z F, LIU P, et al. Hole Mobility Enhancement in Uniaxial Stressed Ge Dependence on Stress and Transport Direction[J]. Science China: Physics, Mechanics and Astronomy, 2014, 57(10): 1860-1865.

[5] 白敏, 宣榮喜, 宋建軍, 等. 壓應變Ge/(001)Si1-xGex空穴散射與遷移率模型[J]. 物理學報, 2015, 64(3): 038501-038506.

BAI Min, XUAN Rongxi, SONG Jianjun, et al. Hole Scattering and Mobility in Compressively Strained Ge/(001)Si1-xGex[J]. Acta Physica Sinica, 2015, 64(3): 038501-038506.

[6] KURDI M E, FISHMAN G, SAUVAGE S, et al. Band Structure and Optical Gain of Tensile-strained Germanium Based on a 30 Bandk·pFormalism[J]. Journal of Applied Physics, 2010, 107(1): 013710-013717.

[7] TANI K, SAITO S, ODA K, et al. Room-temperature Direct Band-gap Electroluminescence from Germanium(111)-Fin Light-emitting Diodes[J]. Japanese Journal of Applied Physics, 2017, 56(3): 032102.

[8] DAI X Y, SHAO C F, HAO Y. Uniaxially Strained Silicon on Insulator with Wafer Level Prepared by Mechanical Bending and Annealing[J]. Applied Physics Express, 2013, 6(8): 081302.

[9] SUN Y, THOMPSON S E, NISHIDA T. Strain Effect in Semiconductors:Theory and Device Applications[M]. New York: Springer, 2010: 118.

[10] CARDONA M, PQLLAK F H. Energy-band Structure of Germanium and Silicon: thek·pMethod[J]. Physical Review, 1966, 142(2): 530-543.

[11] RICHARD S, ANIEL F, FISHMAN G. Energy-band Structure of Ge, Si, and GaAs: a Thirty-bandk·pMethod[J]. Physical Review B, 2004, 70(23): 18976-18984.

[12] RIDEAU D, FERAILLE M, CIAMPOLINI L, et al. Strained Si, Ge, and Si1-xGexAlloys Modeled with a First-principles-optimized Full-zonek·pMethod[J]. Physical Review B, 2006, 74(19): 195208-195227.

[13] 戴顯英, 李金龍, 郝躍. 應變鍺的導帶結構計算與分析[J]. 西安電子科技大學學報, 2014, 41(2): 120-124.

DAI Xianying, LI Jinlong, HAO Yue. Calculation and Analysis of the Conduction Band-structure of Strained Germanium[J]. Journal of Xidian University, 2014, 41(2): 120-124.

[14] LIU L, ZHANG M, HU L, et al. Effect of Tensile Strain on the Electronic Structure of Ge: a First-principles Calculation[J]. Journal of Applied Physics, 2014, 116(11): 113105.

[15] SUKHDEO D S, NAM D, KANG J H, et al. Direct Bandgap Germanium-on-Silicon Inferred from 5.7%100Uniaxial Tensile Strain[J]. Photonics Research, 2014, 2(3): A8-A13.

[16] MADELUNG O, R?SSLER U, SCHULZ M. Semiconductors·Group Ⅳ Elements, Ⅳ-Ⅳ and Ⅲ-Ⅴ Compounds. Part b - Electronic, Transport, Optical and Other Properties[M]. Berlin: Springer, 2002: 2854.

[17] KIM J, FISCHETTI M V. Electronic Band Structure Calculations for Biaxially Strained Si, Ge, and Ⅲ-Ⅴ Semiconductors[J]. Journal of Applied Physics, 2010, 108(1): 013710.

[18] NIQUET Y M, RIDEAU D, TAVERNIER C, et al. Onsite Matrix Elements of the Tight-binding Hamiltonian of a Strained Crystal: Application to Silicon, Germanium, and Their Alloys[J]. Physical Review B, 2009, 79(24): 245201-245213.

[19] SONG J J, CHAO Y, ZHANG H M, et al. Longitudinal, Transverse, Density-of-states, and Conductivity Masses of Electrons in (001), (101) and (111) Biaxially-strained-Si and Strained-Si1-xGex[J]. Science China: Physics, Mechanics and Astronomy, 2012, 55(11): 2033-2037.