Nakagami-m衰落下中繼系統性能分析

李興旺， 李靜靜， 靳 進， 李立華

(1. 河南理工大學 物理與電子信息學院，河南 焦作 454000； 2. 北京郵電大學 網絡與交換技術國家重點實驗室，北京 100876; 3. 鄭州大學 信息工程學院，河南 鄭州 450001)

近年來，中繼系統因其能夠擴展覆蓋范圍、提高系統可靠性和服務質量而受到學術界和產業界的廣泛關注[1-2]． 然而，現有文獻主要集中在理想硬件條件下的中繼系統． 在實際系統中，射頻設備受到各類硬件損傷的影響，例如非線性功率放大器[3]、同相和正交相位(In-phase and Quadrature， I/Q)非平衡[4]以及相位噪聲[5]． 上述損傷雖然可以通過適當的補償和校準算法來減少硬件損傷對系統性能的影響，但是由于估計誤差和校準不準確的原因，仍存在一些殘留損傷，而這些殘留損傷對系統性能仍產生重要的影響[6]． 此外，上述研究均是針對某單一損傷類型的，沒有統一考慮各種損傷類型對系統性能的影響．

鑒于文獻[3-5]研究中存在的不足，文獻[7]中研究了硬件損傷對雙跳中繼系統性能的影響，推導出通用衰落信道下系統中斷概率和容量性能的閉式表達式． 針對雙向中繼系統，文獻[8]中分析了發送端存在硬件損傷條件下中繼系統的性能，推導出雙向中繼系統中斷概率和誤符號率確切性能的閉式表達式． 利用有限維度和大維度隨機矩陣理論，文獻[9]中研究了收發端硬件損傷條件下雙跳放大轉發(Amplify-and-Forward， AF)中繼系統的遍歷容量性能，推導出系統遍歷容量及上下界的閉式表達式．

上述文獻為研究硬件損傷對中繼系統性能的影響打下了堅實的基礎．實際上，文獻[7，9]中考慮了硬件損傷對雙跳中繼系統性能的影響，文獻[8]研究了硬件損傷對雙向中繼系統的影響． 但是硬件損傷對存在直連情況的協作中繼系統性能的影響上述文獻沒有涉及，從而也沒有考慮接收端處理算法． 鑒于此，筆者研究了存在直連情況的雙跳放大轉發中繼系統的中斷概率性能． 在此考慮Nakagami-m衰落信道模型，原因在于Nakagami-m是一個通用模型，能夠有效地表征多種衰落信道．例如，α=1/2，表示單邊帶高斯信道；α=1，表示瑞利衰落信道；α=∞，表示無衰落的加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道等． 另外，筆者考慮兩種通信場景:源節點和目的節點不僅通過中繼系統進行連接，而且兩者之間存在直連路徑;源節點和目的節點通過雙跳固定增益放大轉發中繼系統連接，不存在直連路徑． 在第1種場景中，接收端使用選擇合并(Selection Combining， SC)算法． 推導出兩種場景下系統中斷概率性能的確切閉式表達式，所得閉式表達式適用于任意衰落參數以及損傷參數，同時在整個信噪比(Signal-to-Noise Ratio， SNR)范圍內所得理論分析結果能夠充分逼近蒙特卡羅仿真結果．

1 系統模型

考慮存在直連情況下的中繼模型，包括一個源節點、一個中繼節點和一個目的節點，所有節點配置單天線． 定義源節點與中繼節點、中繼節點與目的節點以及源節點與目的節點之間的傳輸參數下標分別為1，2和3， 則中繼節點和目的節點接收信息可以表示為

yi=hi(si+ηt，i)+ηr，i+vi，i∈{1， 2， 3} ,(1)

其中，κt，i和κr，i分別表示發送端和接收端硬件損傷參數，κt，i≥0，κr，i≥0．

(3)

其中，αi和βi分別為伽馬函數的形狀和尺度參數，βi=E{ρi}αi; Γ(αi)為伽馬函數[11]． 利用文獻[11]，可得伽馬分布的累計分布函數為

(4)

結合式(2)，式(1)可以重新表述為以下簡單形式[7]:

yi=hi(si+ηi)+vi,(5)

對于上述系統模型，考慮源節點與目的節點通過兩種場景進行通信:源節點和目的節點不僅通過放大轉發中繼系統連接，而且兩者之間存在直連情況;源節點和目的節點僅通過放大轉發中繼系統連接，不考慮兩者直連情況． 以下分別給出兩種場景的具體傳輸過程．

1.1 第1種場景

在此場景下，整個通信過程分為兩個時隙．

第1時隙: 源節點同時向中繼節點和目的節點發送信息． 結合式(5)，中繼節點和目的節點接收到的信息可分別表示為

第2時隙: 中繼節點接收到源節點發送的信息，進行放大后轉發到目的節點，則目的節點接收的信息為

y2=h2G(h1(s1+η1)+v1)+η2+v2=Gh1h2s1+Gh1h2η1+Gh2v1+h2η2+v2,(8)

其中，G為硬件損傷下的放大系數[7]，其定義為

(9)

當κ1=0時，式(9)退化為理想硬件下的放大系數．

因此，目的節點處的接收信噪比可分別表述為

在接收端通過選擇合并算法處理目的節點接收的信息．選擇合并算法即輸出信噪比最高的那個支路上的信號． 所以，采用選擇合并算法輸出的信噪比等于各支路信噪比的最大值，即接收端信噪比可表示為

γsc=max(γ2，γ3) ,(12)

其中，γ2和γ3分別由式(11)和式(10)決定．

1.2 第2種場景

在以上場景的基礎上，第2種場景僅考慮源節點和目的節點間通過放大轉發中繼系統連接，不考慮源節點與目的節點直連的情況． 第1時隙傳輸過程與上述場景不同．

第1時隙: 源節點僅向中繼節點發送信息．

第2時隙: 中繼節點將接收到的信息進行放大后轉發到目的節點，則目的節點接收到的信息為

y2=Gh1h2s1+Gh1h2η1+Gh2v1+h2η2+v2．(13)

因此，目的節點處的接收信噪比可表述為

(14)

2 中斷概率

中斷概率是用于評價通信系統服務質量的重要性能指標，其定義為端到端的瞬時信噪比低于某一固定閾值γth的概率[12]，即

Pout(γth)=P(γ≤γth) ．(15)

2.1 第1種場景

在第2個時隙，目的節點選擇合并來自中繼節點和源節點的信息． 因此，當中繼節點和源節點發送信息的信噪比均小于閾值時，將發生中斷．

定理1 在Nakagami-m衰落信道下，存在直連情況的硬件損傷雙跳放大轉發中繼系統中斷概率可表示為

證明 結合式(3)、式(4)和式(11)，源節點與目的節點通過中繼通信鏈路的中斷概率可表示為

當γth≥1d時，式(17)等于0; 當γth<1d時，式(17)可以化簡為

(18)

為了便于計算，利用變量代換z=ρ2-b1γth(1-dγth)，則式(18)可進一步化簡為

利用二項式展開定理，可得

將I1和I2代入式(19)， 然后利用文獻[11]的積分等式:

(20)

式(19)可進一步表示成閉合形式:

(21)

結合式(4)和式(10)，直連路徑處的中斷概率表達式可表示為

存在直連情況的中繼系統對應的中斷概率為

將式(21)和式(22)代入式(23)，即可得到第1種場景下系統中斷概率的表達式． 證畢．

2.2 第2種場景

定理2 在Nakagami-m衰落信道下，硬件損傷雙跳放大轉發中繼系統的中斷概率可表示為

(24)

證明 第2種場景是在第1種場景的基礎上考慮源節點與目的節點不存在直連路徑的情形． 因此，定理2的證明可參考定理1的證明過程．

3 仿真結果

圖1仿真了兩種場景下系統中斷概率隨信噪比變化的曲線．兩種場景參數設置如下: 損傷參數κ= 0.1(理想硬件參數是κ=0)，衰落參數α=2，閾值γth= 22-1= 3和γth= 25-1= 31[7]． 由圖1可知兩種場景下，式(16)和式(24)的理論分析表達式的結果能夠與蒙特卡羅仿真結果充分擬合，從而驗證了筆者理論分析的正確性． 此外，圖1還表明: 當取較低的閾值 (γth=3) 時，收發端硬件損傷對系統中斷概率性能的影響較小． 隨著閾值增大 (γth=31)，非理想硬件(實線)與理想硬件(虛線)之間的間隙隨之增大，這表明隨著中斷閾值的增大，收發端硬件損傷對系統性能的影響越來越顯著，并且系統的中斷性能也隨著閾值的增大而下降． 圖1表明，由于直連路徑的存在，第1種場景的性能要優于第2種場景的．

圖1 不同閾值下中斷概率與信噪比的關系圖圖2 不同衰落信道下中斷概率與信噪比的關系圖

圖2仿真了第1種場景下基于不同衰落參數值下存在直連情況的中繼系統的中斷概率隨信噪比的變化曲線．具體參數設置如下: 損傷參數κ= 0.1(理想硬件參數κ=0)，閾值γth=31，衰落參數α= {1， 2， 10}． 由圖2可知，在各種衰落參數下，理論分析值和蒙特卡羅仿真值充分一致． 此外，圖2表明，存在直連情況的中繼系統的中斷概率性能隨著衰落參數α的值增加而增加． 圖2還表明，非理想硬件(實線)與理想硬件(虛線)之間的間隙隨著α的增大而增大，這表明收發端硬件損傷對系統中斷性能的影響隨著衰落參數的增大而越發顯著． 最后，由圖2可以看出，非理想和理想硬件性能之間的差別隨著信噪比增加而逐漸增大．

圖3 不同損傷程度下中斷概率與信噪比的關系圖

圖3仿真了第1種場景不同硬件損傷下存在直連情況的中繼系統的中斷概率隨信噪比的變化曲線．具體參數設置如下: 損傷參數κ= {0， 0.10， 0.17， 0.20}，衰落參數α=1，閾值γth=31． 由圖3可知，當損傷參數κ=0.2 時，中斷概率幾乎為1，即系統一直處于中斷狀態． 隨著損傷參數的減小，存在直連情況的中繼系統的中斷概率性能逐漸增強． 當損傷參數κ=0 時，系統退化成理想硬件系統． 圖3還表明，硬件損傷在低信噪比時的影響較小，但是在高信噪比時對系統中斷性能有較大的影響．

4 結 束 語

筆者研究了基于Nakagami-m衰落信道兩種場景下硬件損傷中繼系統的性能，推導出了兩種場景下系統中斷概率的閉式表達式． 研究表明，存在直連情況的中繼系統的中斷概率受中斷閾值、硬件損傷以及衰落信道的影響；系統性能隨著中斷閾值與損傷參數值的增加而減少，隨著衰落參數值的增加而增加． 在任意參數設置下，理論分析結論與蒙特卡羅仿真結論一致，驗證了理論分析的正確性．

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