基于SVD和熵優化頻帶熵的滾動軸承故障診斷研究

李華 劉韜 伍星 陳慶

摘要： 針對在奇異值分解（Singular Value Decomposition， SVD）中，隨機噪聲對各階的貢獻幾乎相等，導致單一SVD降噪效果不理想的問題，提出了基于SVD和頻帶熵（Frequency Band Entropy， FBE）相結合的軸承故障特征提取方法。針對基于FBE的帶通濾波器的階數和帶寬需經驗確定的問題，提出了基于信息熵最小值原則的參數優化方法。首先，對原始振動信號在相空間重構Hankel矩陣并利用SVD進行降噪處理，采用奇異值相對變化率來確定模型的階次；然后，對降噪后的信號進行基于FBE的帶通濾波，并采用基于信息熵最小值原則的優化方法確定帶通濾波器的階數和帶寬。最后，對濾波信號進行包絡譜分析，提取軸承故障特征頻率，并用峭度指標證明了帶通濾波器的有效性。通過數值仿真和實際軸承故障數據分析，證明了該方法提取軸承故障特征頻率的有效性。

關鍵詞： 故障診斷； 滾動軸承； 奇異值分解； 頻帶熵； 帶通濾波

中圖分類號： TH165+.3； TN911.7文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）02-0358-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.021

引言

滾動軸承是旋轉機械的重要元件，其故障是造成旋轉機械故障的重要原因之一。因此，對軸承的狀態監測與故障診斷是機械設備故障診斷的研究熱點[1]。

當滾動軸承發生故障時，其振動信號包含了大量的運行狀態信息，表現為非平穩性和多分量性的調制信號，故障信號中大量的突變以及短期的叢集成分也包含在其中，特別在故障早期，由于調制源弱，故障信號微弱，并且受周圍設備、環境的噪聲干擾，導致故障特征頻率難以提取、識別[2-3]。因此，如何提取出故障軸承的故障特征頻率，對保障機械設備的正常運行具有重要意義[4]。

奇異值分解技術在故障診斷領域已有大量成果的應用，冷永剛等[5]提出了SVD分量包絡檢測方法，成功應用于軸承故障檢測。王樹青等[6]提出了基于奇異值相對變化率的模型定階方法。B Yang等[7]將稀疏表示和位移不變K-SVD相結合應用于風力發電機的軸承故障診斷。Golafshan R等[8]將SVD和Hankel矩陣成功應用于滾動軸承，并實現故障檢測。針對單獨的SVD降噪效果往往不佳，張曉濤等[9]將奇異值分解與快速譜峭度算法相結合，應用于聲發射監測齒輪箱軸承故障。王建國等[4]提出了將奇異值分解和局部均值分解相結合的故障特征提取方法，取得了良好的效果。

本文針對軸承早期故障微弱、低信噪比的特點，提出將SVD和基于FBE的自適應濾波技術相結合的方法，并應用于軸承的故障特征提取；針對帶通濾波器的階數和帶寬參數的確定問題，提出了基于信息熵最小值的參數優化方法。對原信號進行SVD分解，并對重構信號進行基于FBE的帶通濾波（利用信息熵優化其參數），包絡解調分析，提取軸承故障特征頻率。與理論故障特征頻率比較，判斷軸承故障狀態。

1基礎理論〖2〗1.1SVD假設有采集的軸承原始離散信號Y=[y（1），y（2），…，y（N）]，基于相空間重構理論，構造Hankel矩陣如下[4]

X=y（1）y（2）…y（n）

y（2）y（3）…y（n+1）

…………

y（N-n+1）y（N-N+2）…y（N）（1）

式中1

矩陣X通過重構吸引子的特征揭示了其在重構空間的動態特性，故可將X表示為X=D+W，其中，D表示光滑信號在重構空間的（N-n+1）×n矩陣，W表示噪聲干擾信號的（N-n+1）×n矩陣。

對矩陣X進行奇異值分解，則有X=USVT（2）式中上標“T”表示矩陣轉置。U和VT分別為（N-n+1）×（N-n+1）和n×n矩陣，S為（N-n+1）×n的對角陣，主對角線元素為λi（i=1，2，…，k），且k=min（（N-n+1），n），即有S=diag（λ1，λ2，…，λk）（3）式中λ1，λ2，…，λk是矩陣X的奇異值，且有λ1≥λ2≥…≥λk≥0，U和VT表示左右奇異陣。

奇異值在模型的階次k處會產生突降，但信號受到強噪聲干擾時，非零奇異值的個數遠遠大于模型的階數k，并且使得奇異值在模型階次處的突降不明顯，本文采用文獻[6]提出的奇異值相對變化率進行模型的定階。即定義模型階次的指標如下MOi=λi-λi+1λi+1， i=1，2，…，k-1（4）由于奇異值降序排列，在突降點大的位置，模型階次指標MOi將出現峰值，所以，認為MOi最大值，即最大峰值處的值為模型的階次。

1.2頻帶熵

T Liu等[10]結合時頻分析和信息熵提出了頻帶熵的方法，并應用于軸承故障診斷。

1.2.1頻帶熵

基于幅值譜熵的頻帶熵分析方法，計算如下[10]：

首先，對信號做時頻變換（STFT實現）。對原信號x（i），i=1，2，…，N進行STFT分析，其時頻分布如下TER=r1，1…r1，C

…

rM，1…rM，C（5）式中M為頻率點數，C=NL，L為窗函數沿時間軸移動的步長。

其次，第i個頻率分量的幅值沿時間的變化定義為Xfi=（ri，1，ri，2，…，ri，C），則單個頻率分量的頻帶熵可以由下式估計Hsi=-∑Cm=1pm，iln（pm，i）/lnC

pm，i=Xfi（Fm）/∑Cm=1Xfi（Fn）

∑Cm=1pm，i=1（6）式中F為頻率分量Xfi沿時間軸的譜分布，其變化揭示了該頻率分量沿時間軸的變化情況。

最后，計算每個頻率分量的頻帶熵值，得到全頻帶的各個頻率分量的頻帶熵分布如下Hsf=（Hs1，Hs2，…，HsM）（7）第2期李華，等： 基于SVD和熵優化頻帶熵的滾動軸承故障診斷研究振 動 工 程 學 報第31卷如果頻率分量Xfi隨時間的變化較平緩或規律變化，則該頻率分量的頻帶熵值較小；若在某段時間內有復雜的波動，則頻帶熵值較大。在軸承故障診斷中可用于尋找軸承的共振頻率[11]，即頻帶熵值最小處的頻率分量（H=min（Hsf）），為自適應濾波的參數設計提供參考。

1.2.2基于頻帶熵的包絡分析

利用頻帶熵設計自適應濾波器，對濾波后的信號進行Hilbert包絡分析獲取軸承的故障特征頻率。

首先計算不同窗長度下的頻帶熵值，窗長度為Nw=2k，k=1，2，…，M。

然后設計帶通濾波器。選擇頻帶熵值最小處對應的頻率分量作為濾波器的中心頻率f0，利用STFT的窗長度Nw估計濾波器的帶寬Δf≈a·fs/Nw，fs為信號采樣頻率[12]。

最后，對濾波后的信號進行包絡分析提取軸承故障特征頻率。

1.3信息熵

假設一個隨機序列x（n）=（x1，x2，…，xn）含有N個可能值，取得這些值的概率分布為P=（p1，p2，…，pn），則序列的信息熵為[13]H（x）=-∑Ni=1pilgpi（8）信息熵描述了系統的不確定程度。當概率分布P的不確定度越大時，對應的熵值就會越大；反之，當P的不確定度越小時，熵值也越小。因此，若分解得到的頻帶包含故障信息，由于周期沖擊的緣故，其表現的越有序，熵值小。基于此，本文提出利用信息熵優化基于FBE的帶通濾波器參數。

1.4基于SVD-FBE的故障特征提取

在SVD分析中，隨機噪聲對各階的貢獻幾乎相等，即隨機噪聲幾乎均勻分布在各階，這造成了單獨使用SVD降噪效果往往不理想。基于此，本文提出了SVD與FBE相結合的軸承故障診斷方法，將FBE的自適應帶通濾波器設計能力與SVD的通頻帶降噪能力結合，對微弱軸承故障特征頻率進行提取。并且，文中還對基于FBE的帶通濾波器的帶寬和階數進行了基于信息熵最小值的優化。算法流程圖如圖1所示。

本文所述方法的具體步驟如下：

（1）對采集的軸承原始振動信號進行基于相空間重構，獲得Hankel矩陣；

（2）對信號進行SVD分解降噪處理，并利用奇異值相對變化率進行模型定階；

（3）對降噪信號進行FBE分析，設計自適應帶通濾波器，并利用信息熵最小值原則優化帶通濾波器的帶寬和階數；

（4）對上述濾波后的信號進行包絡解調分析，提取軸承故障特征頻率，并與理論值進行比較，判斷軸承故障部位。

圖1診斷方法流程圖

Fig.1The flow chart of fault diagnosis2信號仿真分析

為驗證上述分析方法的有效性，本文將軸承內圈故障的仿真信號進行分析，滾動軸承的仿真信號可通過下式得到[10]x（t）=∑Mi=1Ais（t-iT-τi）+n（t）

Ai=A0cos（2πQt+φA）+CA

s（t）=e-Btsin（2πfnt+φw）（9）系統采樣頻率fs=12000 Hz，結構共振頻率fn=3000 Hz，內圈故障頻率fi為100 Hz，轉頻fr=28 Hz，阻尼比B=500。為了驗證算法的有效性，添加信噪比為-5 dB的隨機噪聲。圖2為仿真信號時域波形和包絡譜。由圖2（a），該信號中包含復雜噪聲信息。圖2（b）的原始信號包絡譜，雖然能提取到故障特征頻率，但存在很嚴重的噪聲影響。因此，需要進一步提高信噪比。

圖2內圈故障仿真信號

Fig.2Simulated signal with inner race defect2.1SVD分析

對原始振動信號進行SVD分析，首先相空間重構Hankel矩陣，利用SVD對信號進行降噪處理，采用奇異值相對變化率確定模型階次。為了能清楚地顯示奇異值的相對變化率，本文僅給出前50個點的奇異值相對變化率，如圖3所示。由圖3可知，在第二個奇異值處出現最大突降。故將前2個分量進行疊加重構，得到降噪后的信號。

圖3奇異值相對變化率

Fig.3The relative rate of change in singular values

對上述的重構信號進行包絡分析，其包絡譜如圖4所示。由圖4可知，其重構信號包絡譜可以提取出故障特征頻率且相比于原信號包絡圖2（b），通

圖4重構信號包絡譜

Fig.4Envelope spectrum of reconstructed signal頻帶噪聲有明顯的減少，故障特征頻率的幅值增大，但仍被噪聲包圍。因此，需要對重構信號進行再降噪處理。

2.2基于頻帶熵的帶通濾波分析

2.2.1頻帶熵分析

為了能更加清晰地提取故障特征，提高信號信噪比，在原始信號經過SVD降噪后，采用基于FBE的自適應帶通濾波器對原信號進行進一步的降噪處理，并對帶通濾波器的帶寬和階數進行信息熵最小值的優化。

從圖5可知，共振頻率為3000 Hz，即帶通濾波器中心頻率為fn=3000 Hz。且最優的窗長Nw=128。

圖5內圈故障仿真信號頻帶熵分析

Fig.5Analysis of FBE of the simulated signal of the inner fault2.2.2帶通濾波器參數優化

利用信息熵最小值優化帶通濾波器的階數和帶寬。經過分析，在不影響精度的前提下，首先在經驗的帶寬基礎上優化帶通濾波器階數，然后在此最優階數下確定濾波器的帶寬，有利于提高運行效率。故取帶寬系數Δf=a·fs/N*w，a=1.5。可得當濾波器階數M=23時具有信息熵最小值（0.5546），因此，選取濾波器最優階數為M=23。然后，利用信息熵最小值原則，在最優階數M下優化帶寬參數a。

當a取0.8時，具有熵最小值（0.554）。因此，最優帶寬系數取a=0.8。帶寬系數a和信息熵的關系如圖6所示。

圖6帶寬系數與熵的關系

Fig.6The relationship between bandwidth coefficient and entropy

優化后的帶通濾波器參數對為[M，a]=[23，0.8]。對上述重構信號進行濾波降噪，然后進行包絡解調分析。如圖7所示的包絡譜，能夠清晰地提取軸承的故障特征頻率及其轉頻，邊帶也很清晰。與圖4比較可知，經過帶通濾波極大地剔除了寬頻帶噪聲，提高了信噪比。證明了本文提出方法的有效性。

圖7濾波信號包絡譜

Fig.7Envelope spectrum of filtered signal

為說明效果，分別求取SVD重構信號和濾波信號的時域波形及其所對應的峭度指標，如圖8（a），（b）所示。從8（a）中，無法清晰地提取沖擊特征。而圖8（b）中，沖擊特征明顯，可見濾波降噪具有良好效果。從峭度指標看，SVD重構信號的峭度值為3.4419，而帶通濾波后的峭度值為8.3888，有明顯的增幅。因此，證明了本文提出的信息熵優化帶通濾波器參數的有效性。圖8對比分析

Fig.8Comparative analysis3實驗驗證及分析

為了驗證本文方法的有效性，對實際軸承數據進行了分析。數據來源于美國西儲大學電氣工程實驗室的軸承數據[14]，軸承的型號為6205RS JEM SKF，采樣頻率fs=12000 Hz，試驗數據選擇轉速為1730 r/min，負載為3 hp（2.205 kW），故障尺寸為0.021″，驅動端軸承在內圈故障狀態下的數據。理論計算得到的滾動軸承轉頻fr=28.83 Hz和內圈故障特征頻率fi=155.7 Hz。

圖9內圈故障時域波形及頻譜

Fig.9Time domain waveform and spectrum of inner fault

如圖9（a），（b）所示為軸承內圈故障的原始信號時域波形和頻譜，雖然在時域波形中有比較明顯的沖擊特征，但仍含有復雜的噪聲信息。而頻譜中無法提取故障特征頻率。因此，有必要對信號進行預處理，提高其信噪比。

3.1SVD分析

如圖10所示，為了能清楚地顯示奇異值的相對變化率，畫出前50個點的奇異值相對變化率。在第二個奇異值處出現最大突降。所以，將前2個分量進行疊加重構，即可得到降噪后的信號。

圖10奇異值相對變化率

Fig.10The relative rate of change in singular values

圖11內圈故障重構包絡譜

Fig.11The envelope spectrum of reconstructed signal of inner fault將重構信號進行包絡分析，其包絡譜如圖11所示。由圖11可知，對原始軸承內圈振動信號進行SVD 降噪，可以提取出軸承故障特征頻率，但故障特征頻率被噪聲包圍。需要進一步對信號進行降噪處理。

3.2基于FBE的帶通濾波器分析及參數優化

為了能夠更加清晰地提取故障特征，在原始信號經過SVD降噪后，采用基于FBE的自適應帶通濾波器對重構信號進行再降噪處理，并對濾波器的參數進行信息熵最小值的優化。

基于FBE，此處選擇最優窗長度為Nw=128來設計帶通濾波器，計算得自適應濾波器的參數為：中心頻率取f0=2830 Hz，帶寬為Δf=a·fsNw。同樣地，首先經驗的取a=1.5，可得濾波器階數M=24時具有信息熵最小值（0.6909），因此，選取濾波器最優階數為M=24；然后在此最優階數M下優化帶寬參數a。可得當a取3時，具有熵最小值（0.6896）。因此，最優帶寬系數取為a=3。帶寬系數a和信息熵的關系如圖12所示。

由以上分析，可得優化后的帶通濾波器參數對為[M，a]=[24，3]。對重構信號進行濾波降噪，然后進行包絡解調分析。如圖13所示的包絡譜，能夠清晰地提取軸承的故障特征頻率、倍頻及其轉頻，邊帶也很清晰。與圖11比較可知，經過帶通濾波極大地剔除了寬頻帶噪聲，提高了信噪比。同樣證明了本文提出方法的有效性。

圖12帶寬系數與熵的關系

Fig.12The relationship between bandwidth coefficient and entropy圖13濾波信號包絡譜

Fig.13Envelope spectrum of filtered signal同樣地，在這里分別求取了SVD重構信號和濾波信號的時域波形及其峭度指標，如圖14（a），（b）所示。從圖14（a）可知，SVD重構信號沖擊薄弱，對原信號有一定的失真，而在經過信息熵優化的帶通濾波器濾波后，如圖14（b）所示有明顯的沖擊特征。從峭度指標看，峭度從重構信號的3.2672增加到帶通濾波后的5.3342，有明顯的增幅。因此，也說明了本文方法的有效性。

為了說明信息熵最小值優化參數的優勢，在這里人為的取帶通濾波器參數[M，a]=[20，1.5]，

圖14對比分析

Fig.14Comparative analysis圖15參數為[20，1.5]的包絡譜

Fig.15Envelope spectrum with parameters [20， 1.5]設計帶通濾波器對重構信號進行帶通濾波，濾波后的包絡譜如圖15所示。與圖13相比，雖然能夠提取故障特征頻率，但明顯存在更多的噪聲影響，所以相比于人為決策，本文提出的信息熵優化帶通濾波器參數的方法具有較高的可靠性，優勢較為明顯。

4結論

本文針對滾動軸承故障信號容易受周圍環境噪聲等的干擾、信噪比低等問題，單一的SVD方法往往達不到良好的降噪效果，提出了將SVD和基于FBE的自適應濾波相結合的解決方案，并且針對基于FBE的帶通濾波器帶寬和階數需經驗確定的問題，提出了基于信息熵最小值原則的參數優化方法。通過對仿真信號和實際軸承故障振動信號的處理及對比分析，結果表明該方法能夠有效地濾除噪聲干擾，提取各狀態故障特征頻率，達到比單一的SVD更好的效果。同時，以峭度為指標進行對比分析，也證明了本文提出的FBE帶通濾波器參數優化方法的有效性。本文提出的滾動軸承故障診斷方法，對比理論故障特征頻率可以將各種故障狀態清晰地分離出來。參考文獻：

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[14]http：//www.cwru.edu/laboratory/bearing/welcome_over view. htm.

Research on fault diagnosis of rolling bearing based on SVD

and optimized frequency band entropy by entropy

LI Hua， LIU Tao， WU Xing， CHEN Qing

（Faculty of Mechanical and Electrical Engineering， Key Laboratory of Vibration & Noise under Ministry of

Education of Yunnan Province， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）

Abstract： According to the problem that in singular value decomposition （SVD）， the contributions of random noise to each order are almost equal， which results in the unsatisfactory effect of noise reduction using SVD alone， a fault feature extraction method based on SVD and frequency band entropy （FBE） is proposed. Aiming at the order and bandwidth of the FBE-based band-pass filter which need to be determined by experience， a novel method of parameters optimization based on the principle of information entropy minimum is proposed. Firstly， the Hankel matrix is reconstructed from the original vibration signal in the phase space and the SVD method is used to reduce the noise. The singular value relative change rate is used to determine the order of the model.Then， FBE-based band-pass filtering is performed on the noise-reduced signal， and an optimization method based on the principle of information entropy minimum is used to determine the order and bandwidth of band-pass filter.Finally， the filtered signal is subjected to envelope analysis to extract the characteristic frequency of the bearing fault， and the effectiveness of the band-pass filter is proved by the kurtosis index. Through the numerical simulation and the analysis of the actual bearing fault data， the effectiveness of the method to extract the characteristic frequency of the bearing fault is validated.

Key words： fault diagnosis； rolling element bearing； singular value decomposition（SVD）； frequency band entropy； band-pass filtering