靜電場描繪實驗數據處理方法的分析與改進*

周 勇 孟玉潔 姚關心 許新勝

(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241002)

1 引言

“靜電場的描繪”是大學物理實驗教學中的重要實驗[1].由于直接測量靜電場比較困難，一般用穩恒電流場來模擬靜電場.同軸圓柱形電容器電極間的等勢線呈同心圓狀分布，等勢線圓的半徑與電勢之間的關系滿足理論解析公式

(1)

2 傳統數據處理方法的定性分析

基于一組等勢點確定等勢線圓半徑的傳統做法是：首先取3個等勢點,根據幾何法作圖確定圓心的位置；然后測量圓心到各等勢點的距離并取所有距離的平均值.

傳統的“三點定圓心，求平均半徑”方法存在一些問題.例如：

問題1：幾何法作圖可能存在誤差，導致所確定的圓心位置不精確.即便對于同一份實驗記錄，每個人作圖得到的圓心位置間也會存在一定的差別.此外，在測量圓心到各等勢點距離時也存在誤差.

問題2：受實驗條件限制，各等勢線并非精確的圓形，而且記錄等勢點時也可能存在誤差，因此不同“三等勢點”組合所確定的圓心一般情況下并不重合，圓心位置的誤差也參差不齊.關于“三等勢點”組合選擇對圓心位置誤差的影響，目前尚未見有定量的研究.為減小誤差，一般建議所選組合中的3個等勢點應盡量均勻分布(即成近似的正三角形)[2]；該建議主要是經驗性的，尚無定量的測試結果予以驗證和支持.

為盡量減小上述問題對最終實驗結果精度的影響，本文中首先對記錄的等勢點進行數量化，然后在此基礎上對傳統數據處理方法的精度進行定量分析，最后針對傳統方法中所存在的問題提出一種基于“圓最小二乘法擬合”的數據處理方案并對結果進行定量分析.

3 傳統數據處理方法的定量分析

3.1 實驗條件及實驗記錄的數量化

實驗采用JD-LE-I型靜電場描繪儀.選用同軸圓柱形電容器(圓柱電極直徑Da≈12 mm；圓環電極內直徑Db≈90 mm，厚度d≈7 mm)，電極間電勢差U0=10 V，導電介質為自來水.等勢線電勢選定為0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0 V，對應每條等勢線記錄8個呈米字型分布的等勢點.電容器電極布局如圖1中陰影區域所示.

為方便后續的數據處理和定量分析，我們首先對實驗記錄的等勢點進行數量化，得到所有等勢點的坐標.具體方法：將等勢點記錄紙按100%比例掃描成圖片；在圖片上建立坐標系，借助計算機軟件(如Origin等)確定所有等勢點的坐標.圖1顯示了實驗所記錄等勢點的位置和數量化時所采用的坐標系.

圖1 電極布局及等勢點在等勢線上的分布

3.2 傳統數據處理方法的定量分析

首先，基于傳統數據處理方法，即任取“三等勢點”組合，來確定圓心的位置.已知等勢點坐標{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}，圓心的坐標(xc,yc)可以通過求解方程組

(2)

精確得到.這里借助SciPy[3]中optimize模塊的fsolve函數求該非線性方程組的數值解.基于實驗中記錄的對應某條等勢線的8個等勢點，通過編寫計算機程序，可以方便快捷地計算所有56個“半徑”的數值.相比于傳統方法，采用解析方法可有效地減小圓心的幾何作圖誤差和圓心到各等勢點距離(“半徑”)的測量誤差.這里我們用“半徑”的標準差來度量各圓心位置的精度(表1)，標準差越小說明圓心位置越精確(對嚴格的圓，標準差為零).

表1 基于傳統方法計算所得等勢線半徑R的誤差分布

對于電勢為0.5 V的情況，不同“三等勢點”組合計算所得“半徑”的標準差之間差別很大：最大標準差(2.26 mm)明顯大于直尺的測量誤差限(0.5 mm)，此時圓心位置誤差較大；最小標準差(0.31 mm)小于直尺測量誤差限，此時圓心位置較精確.對于其他電勢值，結論與0.5 V情況類似.這表明，基于傳統方法確定等勢線的圓心位置時，需慎重選擇“三等勢點”組合.只有“半徑”標準差小于直尺測量誤差限的“三等勢點”組合(“優質組合”)所給出的圓心位置才是可靠的.

經驗認為，當3個等勢點的連線接近正三角形時，其所確定的圓心位置誤差較小，即應為“優質組合”.計算了所有“三等勢點”組合所確定三角形內角的標準差，并用這些標準差來度量各“等勢點”三角形偏離正三角形的程度(標準差越小越接近正三角形，正三角形標準差為零).研究結果表明，當“等勢點”三角形最接近于正三角形的時候，其對應的“半徑”標準差也是最小的；除去個別特殊情況，按照“正三角形”規則選出的“三等勢點”組合均接近“優質組合”，即傳統經驗規則基本有效.需要指出的是，實驗中也發現：對于某些與正三角形偏離較大的情況，其對應的“三等勢點”組合也有可能是“優質組合”.

為盡可能地保證圓心位置的精度，可以對3個不同的“三等勢點”“優質組合”確定的圓心取平均.統計了不同電勢值情況下“優質組合”的數目，并在此基礎上計算了隨機抽取的3個不同組合全部為“優質組合”的幾率.結果表明，該幾率最高僅為50%左右，最低可至11%.即在完全隨機地選擇3個“三等勢點”組合來確定平均圓心位置情況下，得到可靠結果的可能性最高不超過50%，大概率情況下結果不甚可靠.這也說明，在選擇“三等勢點”組合時需要格外慎重.

4 改進的數據處理方法及定量分析

基于上述原因，提出一種利用“圓最小二乘法擬合”[4]的方案來確定圓心的位置.具體地，借助SciPy中optimize模塊的leastsq函數對試探圓心的位置進行優化，最優化結果對應所有8個“半徑”標準差的最小值.由于所有等勢點均參與“圓最小二乘法擬合”，這就避免了傳統方法中因“三等勢點”組合選擇方法的不同所引起的主觀誤差.擬合所得各等勢線如圖1中虛線所示.

與前一部分相同，我們用“半徑”標準差來度量圓心位置的精度，相關統計結果如表2所示.對于這里考察的所有7組不同電勢值情況，“半徑”標準差均小于直尺測量誤差限(0.5 mm)，其中最大標準差0.31 mm，最小標準差0.16 mm，平均標準差0.24 mm.比較可知，改進型方法的“半徑”標準差與傳統方法的最小標準差非常相近.對于大多數情況，二者之間的差別不超過0.01 mm；最大差別(4.0 V電勢情況)也僅為0.03 mm，遠小于直尺的測量誤差限，即采用改進型方法亦可達到傳統方法的最佳可能精度.由于計算機程序處理數據的高效性，我們可以通過記錄更多的等勢點來提高圓心位置的擬合精度，而由此導致的計算機計算時間可以忽略不計；傳統的幾何作圖方法不具有這方面的優勢.

表2 基于改進型方法計算得到的等勢線圓心坐標和半徑誤差分布

5 結論

對“靜電場的描繪”這一重要大學物理實驗中的數據處理方法進行了定性和定量的分析研究.分析的基礎是實驗中所記錄等勢點位置的數量化，這一步是整個數據處理過程中的主要誤差來源.對傳統數據處理方法的定量分析表明：“三等勢點”組合的選擇對所得圓心位置的精度有重大影響；基于定量的誤差分析，在具體選擇時可考慮遵循經驗性的“正三角形”選點規則；在隨機選擇“三等勢點”組合的情況下，得到可靠的平均圓心位置的概率很低.本文提出的基于“圓最小二乘法”擬合的數據處理方案，可在回避“三等勢點”組合選擇主觀隨意性的同時，充分利用所有等勢點的信息，并達到與傳統數值處理方法類似的精度，且該精度有望通過增加等勢點的數目來獲得進一步的提高.由于改進后的數據處理方法相比傳統方法所具有的優勢，我們建議師生在實驗教學過程中參考使用.

參 考 文 獻

1 方正華. 大學物理實驗教程(一級). 合肥：中國科學技術大學出版社，2010. 102～106

2 付芳芳, 李慶明, 侯雙印. 模擬法描繪靜電場實驗中數據處理方法比較. 物理通報, 2016, 35(7) ：101～102

3 Jones E, Oliphant E, Peterson P, et al. SciPy: Open Source Scientific Tools for Python. 2001-. http://www.scipy.org/

4 張韻華. 數值計算方法與算法. 北京：科學出版社，2006. 59～73