2017年高考物理試題中線性關系的運用探討

徐東琴

(溫州中學 浙江 溫州 325000)

錢呈祥

(永嘉縣上塘中學 浙江 溫州 325100)

高中物理實驗中物理量之間有直接線性關系的并不少見，如“探究小車速度隨時間變化的規律”實驗中的速度與時間的關系，“探究加速度與物體質量、物體受力的關系”實驗中的加速度與力的關系，“用伏安法測干電池的電動勢和內電阻”實驗中的路端電壓與電流的關系以及“利用插針法測定玻璃的折射率”實驗中的sini-sinr關系都是直接的線性關系.物理量之間的非線性關系對實驗數據的分析和處理往往不便，對實驗結論的得出自然會增加難度，因此對物理量之間的關系要實施非線性向線性的轉化.高中物理實驗中，將物理量的非線性關系轉化為線性關系，不但有助于用圖像的方法直觀地對實驗數據進行分析和處理，從而得出實驗結論，而且對培養學生良好的實驗習慣，提高學生的解題能力，滲透物理思維方法，提升學生的科學素養大有裨益.實驗中利用圖像來處理實驗數據有直觀、簡便的特點，更受高考命題人的青睞.筆者認真對比2017年各地高考實驗試題，發現以下幾題，既符合新課程的實驗能力考查要求，又非常新穎，對大部分考生來說是一個不小的挑戰.筆者認真解答這些試題后發現,只有把握住線性關系這個技巧，才能有效突破這類圖像處理問題.

【例1】(2017年高考江蘇物理卷第10題)利用如圖1所示的實驗裝置探究恒力做功與物體動能變化的關系.小車的質量M=200.0 g，鉤碼的質量m=10.0 g，打點計時器的電源為50 Hz的交流電.

圖1 探究恒力做功與物體動能變化關系實驗裝置示意圖

(1)掛鉤碼前，為了消除摩擦力的影響，應調節木板右側的高度，直至向左輕推小車觀察到____________________.

(2)掛上鉤碼，按實驗要求打出的一條紙帶如圖2所示.選擇某一點為O，一次每隔4個計時點取一個計數點.用刻度尺量出相鄰計數點間的距離Δx，記錄在紙帶上.計算打出各計數點時小車的速度v，其中打出計數點“1”時小車的速度v1=______m/s.

圖2 掛上鉤碼后打出的一條紙帶

表1 W與ΔEk計算結果

請根據表中的數據，在答題卡的方格紙上(圖3)作出ΔEk-W圖像.

圖3 答題所用方格紙

(4)實驗結果表明，ΔEk總是略小于W， 某同學猜想是由于小車所受拉力小于鉤碼重力造成的.用題中小車和鉤碼質量的數據可算出小車受到的實際拉力F=______.

解析：(1)小車做勻速運動，則小車受到的摩擦力跟小車的下滑分力平衡，消除了摩擦力的影響.

(2)打出計數點“1”時小車的速度

代入數據得

v1=0.228 m/s

(3)ΔEk-W圖像如圖4所示.

圖4 ΔEk-W圖像

(4)由牛頓第二定律

F=Mamg-F=ma

解得

代入題給數據得

F=0.093 N

【例2】(2017年高考北京卷第21題)如圖5所示，用質量為m的重物通過滑輪牽引小車，使它在長木板上運動，打點計時器在紙帶上記錄小車的運動情況.利用該裝置可以完成“探究動能定理”的實驗.

(1)打點計時器使用的電源是______(選填選項前的字母).

A．直流電源

B．交流電源

圖5 探究動能定理實驗裝置示意圖

(2)實驗中，需要平衡摩擦力和其他阻力.正確的操作方法是______(選填選項前的字母).

A．把長木板右端墊高

B．改變小車的質量

在不掛重物且______(選填選項前的字母)的情況下，輕推一下小車，若小車拖著紙帶做勻速運動，表明已經消除了摩擦力和其他阻力的影響.

A．計時器不打點

B．計時器打點

(3)接通電源，釋放小車，打點計時器在紙帶上打下一系列點，將打下的第一個點標為O.在紙帶上依次取A，B，C，…若干個計數點，已知相鄰計數點間的時間間隔為T.測得A，B，C，…各點到O點的距離為x1，x2，x3，…，如圖6所示.實驗中，重物質量遠小于小車質量，可認為小車所受的拉力大小為mg，從打O點到打B點的過程中，拉力對小車做的功W=______，打B點時小車的速度v=______.

圖6 探究動能定理打出的紙帶

(4)以v2為縱坐標，W為橫坐標，利用實驗數據做出如圖7所示的v2-W圖像.由此圖像可得v2隨W變化的表達式為______________.根據功與能的關系，動能的表達式中可能包含v2這個因子；分析實驗結果的單位關系，與圖線斜率有關的物理量應是______.

圖7 v2-W圖像

(5)假設已經完全消除了摩擦力和其他阻力的影響，若重物質量不滿足遠小于小車質量的條件，則從理論上分析，下列選項中正確反映v2-W關系的是______.

解析：(1)打點計時器均使用交流電，故選項B正確.

(2)平衡摩擦力和其他阻力，是通過墊高木板右端，構成斜面，使重力沿斜面向下的分力跟它們平衡，故選項A正確；實驗時，是讓打點計時器工作，紙帶跟打點計時器之間會有滑動摩擦力，屬于實驗中小車受到的阻力之一，也需要平衡，故選項B正確.

(3)由圖可知，小車拖動紙帶移動的距離等于重物下落的距離，小車所受的拉力又約等于重物的重力，因此，W=mgx2；小車在運動時為勻變速直線運動，因此打B點時小車的速度為小車帶動紙帶打下AC段中間時刻的速度，也等于這段的平均速度，有

(4)由圖7知，圖像為一條過原點的傾斜直線，斜率為

故v2=4.74W，設小車的質量為M，根據動能定理有

變形得

對照上式可知

因此斜率的單位為kg-1.

所以圖像為過原點的傾斜直線，應選擇圖像A.

【例3】[2017年高考天津理綜卷第9題(3)]某探究性學習小組利用如圖8所示的電路測量電池的電動勢和內阻.其中電流表A1的內阻r1=1.0 kΩ，電阻R1=9.0 kΩ，為了方便讀數和作圖，給電池串聯一個R0=3.0 Ω的電阻.

圖8 測量電池電動勢和內阻電路圖

(1)按圖示電路進行連接后，發現aa′,bb′和cc′ 3條導線中，混進了一條內部斷開的導線.為了確定哪一條導線內部是斷開的，將開關S閉合，用多用電表的電壓擋先測量a和b′間電壓，讀數不為零，再測量a和a′間電壓，若讀數不為零，則一定是______導線斷開；若讀數為零，則一定是______導線斷開.

(2)排除故障后，該小組順利完成實驗.通過多次改變滑動變阻器觸頭位置，得到電流表A1和A2的多組I1，I2數據，作出圖像如圖9所示.由I1-I2圖像得到的電池的電動勢E=______V，內阻r=______Ω.

圖9 I1-I2圖像

解析：(1)用電壓表檢測電路故障，電壓表的表頭是電流計，原電路有斷路，回路中無電流，將電壓表接在a,b′間后有示數，說明電路被接通，即a,b′間有斷路故障，再測量a,a′間電壓，電壓表讀數不為零，說明斷路故障的范圍被縮小到a,a′間，則一定是a,a′間導線斷開；若讀數為零，則說明電路仍未被接通，斷路故障的范圍被確定在b,b′間.

(2)根據閉合電路歐姆定律

E=I1(R1+r)+(I1+I2)(R0+r)

I1?I2

上式可簡化為

E=I1(R1+r1)+I2(R0+r)

讀出兩點坐標(60，0.12)和(260，0.05)， 代入方程解得電動勢E=1.41 V，內阻r=0.5 Ω.

【例4】(2017年高考新課標Ⅱ卷第22題)某同學研究在固定斜面上運動物體的平均速度、瞬時速度和加速度之間的關系.使用的器材有斜面、滑塊、長度不同的擋光片、光電計時器.

實驗步驟如下：

①如圖10(a)所示，將光電門固定在斜面下端附近，將一擋光片安裝在滑塊上，記下擋光片前端相對于斜面的位置，令滑塊從斜面上方由靜止開始下滑；

②當滑塊上的擋光片經過光電門時，用光電計時器測得光線被擋光片遮住的時間Δt；

④將另一擋光片換到滑塊上，使滑塊上的擋光片前端與①中的位置相同，令滑塊由靜止開始下滑，重復步驟②、③；

⑤多次重復步驟④;

圖10 實驗步驟圖示

完成下列填空：

(2)由圖10(c)可求得vA=______cm/s，a=______cm/s2.(結果保留3位有效數字)

解析：(1)設擋光片末端到達光電門的速度為v，則由速度時間關系可知

v=vA+aΔt

且

聯立解得

(2)由圖10(c)可求得

vA=52.1 cm/s

a=16.6 cm/s2

【例5】(2017年高考江蘇卷第3題)一小物塊沿斜面向上滑動，然后滑回到原處.物塊初動能為Ek0，與斜面間的動摩擦因數不變，則該過程中，物塊的動能Ek與位移x關系的圖線是( )

解析： 向上滑動過程中，根據動能定理

Ek=Ek0-(Gsinθ+μGcosθ)x

同理，下滑過程，由動能定理可得

Ek=(Gsinθ-μGcosθ)(xm-x)xm=

故C正確，A,B,D錯誤.

對于包含非線性函數關系的系統來說, 非線性數學模型的建立和求解, 其過程是非常復雜的.為了繞過非線性系統在數學處理中的困難, 對于大部分非線性系統來說, 都可以近似地線性化, 即用線性化數學模型來代替非線性數學模型.以上幾道高考試題，命題者用新穎的角度展示了圖像中直線斜率的豐富內涵，不同的試題，賦予了不同的內容，抓住了圖像處理中的線性思維，所有問題都迎刃而解.物理實驗定性問題類型多種多樣，我們通過上述典型例子分析，可見這類問題的線性回歸分析很重要，更易于理解.對物理實驗數據的線性現象的討論和研究是物理實驗中極為重要的環節.筆者認為平時的實驗教學過程中，不但要注重動手能力的培養，也要注意思想方法的滲透，這樣才能真正提高學生的實驗能力.在平時的實驗復習中，要培養學生利用圖像解決問題的意識，當測量數據成非線性關系時，應洞察兩個物理量的變化關系，掌握這類問題的處理策略，從線性關系角度建立合適的坐標，解決相關的物理問題.利用線性關系圖像分析處理驗證性的實驗主要是驗證物理規律中物理量之間的關系.若它們之間的關系可以轉化為最簡單的正比關系，則用線性關系圖像法處理較為方便、直觀,可以利用線性關系圖像定性地分析實驗誤差.可以讓學生在數據處理過程中嘗試回答以下問題：

(1)根據你現有的認識，兩個變量之間存在哪些關系，有何異同？

(2)問題中的兩個變量有沒有關系？如果有，是什么關系？為什么？

(3)這樣的關系如何直觀體現？

(4)兩個變量可以近似成什么關系？

(5)如果考慮最簡單的直線擬合，怎樣確定一條直線最能反映這組數據的規律？

(6)公式的計算是比較繁瑣的，能否利用信息技術來幫助我們？

(7)我們得到這個模型有什么用？

具體計算時給學生提供兩種計算工具，即帶簡單統計功能的計算器和Excel工具軟件.

對具有線性關系的兩個變量進行統計分析的方法叫做線性回歸分析.運用線性回歸分析的方法來分析、處理數據的一般步驟是：

(1)收集數據，并制成表格；

(2)畫出數據的散點圖；

(3)利用散點圖直觀認識變量間的相關關系；

(4)運用科學計算器、Excel表格等現代信息技術手段求解回歸方程；

(5)通過研究線性回歸方程，提取有用信息，作出比較可靠的趨勢預測.

線性分析方法建立在對客觀事物觀察的基礎上，由于測量誤差的存在，確定性關系往往通過相關關系表現出來.但是，當對事物的規律了解得越來越深刻的時候，相關關系可能轉化為確定的線性關系.利用線性關系圖像減小實驗誤差,利用線性關系圖像處理實驗數據時，可剔除那些明顯不在直線上的點，以減小隨機誤差.自然界系統都是非線性的,非線性是世界的本質.線性的數學模型是人類建立的語言,線性的數學語言是人類了解自然界的重要手段.線性化簡化了復雜的世界，把世界線性化損失了許多有趣的現象，而非線性現象是世界進展的因素，非線性數學模型的線性化是人類了解自然、認識自然和研究自然的重要手段.